Catatan Kuliah
KALKULUS II
BAB V. INTEGRAL • Anti-turunan dan Integral TakTentu • Persamaan Diferensial Sederhana • Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva • Integral Tentu • Teorema Dasar Kalkulus • Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut • Substitusi dalam Penghitungan Integral Tentu
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
1
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Anti-turunan dan Integral Tak Tentu Fungsi F disebut anti-turunan f pada I apabila F’(x) = f(x) untuk setiap x є I. Sebagai contoh, F(x) = x4 + 1 adalah anti-turunan f(x) = 4x3 pada R. Secara umum, keluarga fungsi F(x) = x4 + C merupakan anti-turunan f(x) = 4x3 pada R, karena F’(x) = 4x3 = f(x) untuk setiap x є R. Keluarga fungsi anti-turunan f(x) disebut integral tak tentu dari f(x), dan dilambangkan dengan ∫f(x) dx. Jadi, sebagai contoh, ∫ 4x3 dx = x4 + C. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
2
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Secara grafik, keluarga fungsi anti-turunan f(x) adalah keluarga fungsi yang anggotanya merupakan pergeseran ke atas atau ke bawah dari anggota lainnya. Semua anggota keluarga fungsi tersebut mempunyai turunan yang sama, yaitu f(x).
Keluarga fungsi yang turunannya sama Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
3
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Terkait dengan perbendaharaan turunan yang telah dipelajari sebelumnya, diperoleh beberapa teorema berikut tentang integral taktentu.
Teorema 1 (AturanPangkat). Jika r є Q dan r ≠ -1, maka ∫ xr dx = xr+1/(r+1) + C. Contoh 1 (a) ∫ x2 dx = x3/3 + C.
(b) ∫ x-2 dx = -x-1 + C.
Teorema 2 (Integral Tak Tentu sin x dan cos x) ∫ sin x dx = -cos x + C; ∫ cos x dx = sin x + C. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
4
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Teorema 3 (Kelinearan Integral TakTentu) Jika f dan g fungsi dan k adalah konstanta, maka ∫ k.f(x) dx = k.∫ f(x) dx dan ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx. Contoh 3. ∫ (6x2 + 1) dx = 2 ∫ 3x2 dx + ∫1 dx = 2.x3 + x + C. Teorema 4 (Aturan Pangkat yang Diperumum) Jika r є Q dan r ≠-1 dan g adalah fungsi yang mempunyai turunan, maka ∫ [g(x)]r.g’(x) dx = [g(x)]r+1/(r+1) + C. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
5
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Contoh 4. ∫ (x2+ 1)5.2x dx = (x2+ 1)6/6 + C. (Disini kita menerapkan Aturan Pangkat yang Diperumum dengan g(x) = x2 + 1, g’(x) = 2x.) Contoh 5. Jika g(x) = sin x, maka g’(x) = cos x. Jadi, menurut Aturan Pangkat yang Diperumum, diperoleh ∫ sin x.cos x dx = (sin x)2/2 + C. Latihan. Tentukan integral tak tentu di bawah ini. 1. ∫(x2+ x-2) dx. 2. ∫(x3+ 1).x2 dx. 3. ∫sin2x.sin2x dx. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
6
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Persamaan Diferensial Sederhana Jika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx= F(x) + C. Dalam bahasa diferensial: jika F’(x) = f(x), maka (*) dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx sehingga ∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C. Persamaan(*) merupakan contoh persamaan diferensial yang (paling) sederhana. Persamaan diferensial banyak dijumpai dalam matematika, fisika, maupun bidang ilmu lainnya. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
7
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Contoh 6. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik(1, 2) dan mempunyai turunan 2 x di setiap titik (x, y) yang dilaluinya. Jawab. Misalkan persamaan kurva tersebut adalah y = f(x). Maka, dalam bahasa diferensial, informasi di atas mengatakan bahwa dy = 2x dx. Integralkan kedua ruas, ∫ dy = ∫ 2x dx. Sehingga diperoleh y + C1 = x2+ C2 atau y = x2 + C, C = C2 – C1. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
8
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Persamaan y = x2+ C merepresentasikan keluarga kurva yang mempunyai turunan 2 x di titik (x, y). Sekarang akan dicari anggota keluarga kurva tersebut yang melalui titik (1, 2). Dalam hal ini kita mempunyai persamaan 2 = 12 + C, Sehingga mestilah C = 1. Jadi persamaan kurva yang kita cari adalah y = x2 + 1. Latihan. Tentukan fungsi y = f(x) sedemikian sehingga f ’(x) = 3x2 + 1 dan f(1) = 4. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
9
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Notasi Sigma Penjumlahan deret n bilangan a1 + a2 + … + an dilambangkan dengan notasi sigma
Sebagai contoh,
Teorema 5 (Kelinearan Sigma)
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
10
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Beberapa deret khusus diantaranya: n
∑ 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n i =1 n
∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + n = i =1
1 n(n + 1) 2
n
1 i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)(2n + 1) ∑ 6 i =1 n 1 2 3 3 3 3 3 2 i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 ) ∑ 4 i =1 2
2
2
2
2
Deret pertama merupakan deret aritmetika n bilangan dengan suku pertama 1 dan beda 1. Untuk pembuktian rumus deret kedua, ketiga dan keempat lihat Purcell. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
11
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Luas Daerah di Bawah Kurva Misalkan kita ingin menghitung luas daerah di bawah kurva y = f(x) = x2, 0 ≤ x ≤1. Pertama, bagi selang [0, 1] atas n selang bagian yang sama panjangnya. Lalu, luas daerah tersebut (L) kita hampiri dengan jumlah luas persegi panjang di bawah kurva,yakni
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
12
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Perhatikan bahwa deret di ruas kanan dapat ditulis ulang sebagai yang jumlahnya Jadi, kita peroleh hampiran
Dari sini kita amati bahwa Ln → 1/3 bila n → ∞. Jadi, luas daerah yang sedang kita cari adalah 1/3. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
13
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Integral Tentu Misalkan f : [a,b] → R kontinu kecuali disejumlah terhingga titik. Bagi selang [a,b] atas n selang bagian (tak perlu sama panjang), sebutlah titik-titik pembaginya a = x0< x1< x2< …< xn-1< xn= b. Himpunan titik-titik ini disebut sebagai partisi dari [a,b]. Untuk tiap i = 1, …, n, tulis∆xi = xi–xi-1 (= lebar selang bagian ke-i). Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
14
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Dari tiap selang bagian, pilih sebarang titik ti є [xi-1,xi]. Lalu bentuk penjumlahan berikut n
R P = ∑ f (t i )Δ x i i =1
Bentuk ini dikenal sebagai jumlah Riemann untuk f terhadap partisi P = {a=x0, x1, …, xn-1, xn=b} dan titiktitik ti. Contoh7. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1], P = {0, ⅓, ¾, 1}, t1= ⅓, t2= ½, t3= ⅞. Maka jumlah Riemann untuk f terhadap partisi P dan titik-titik ti adalah RP = f(⅓).⅓+ f(½).(¾–⅓) + f(⅞)(1 –¾) = 1/27 + 5/48 + 49/256. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
15
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Jumlah Riemann untuk f merupakan hampiran untuk luas daerah di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Semakin ‘halus’ partisinya, semakin baik hampiran tersebut. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b] dan integral tentu f dari a ke b didefinisikan sebagai
Catatan. |P| = maks{∆xi : i = 1, …, n} Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
16
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Dalam notasi
, kita mengasumsikan
bahwa a < b. Jika a > b, maka kita definisikan
Jika a = b, maka kita definisikan
Catat pula bahwa
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
17
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Teorema 6. Jika f terbatas dan kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik pada [a,b], maka fungsi f terintegralkan pada [a,b]. Akibat 7. Fungsi polinom, fungsi rasional, f(x) =| x |, g(x) = √x, s(x) = sin x, dan c(x) = cos x merupakan fungsi yang terintegralkan pada sebarang selang terbatas yang termuat dalam daerah asalnya. Sampai disini kita hanya dapat mengatakan apakah sebuah fungsi terintegralkan pada suatu selang, dengan melihat apakah fungsi tersebut terbatas dan kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
18
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Namun, untuk menghitung integral tentu fungsi tersebut, selain dengan menggunakan definisinya, memerlukan ‘alat bantu’ yang lebih ampuh. Teorema Dasar Kalkulus Salah satu alat bantu untuk menghitung integral tentu adalahTeorema Dasar Kalkulus, yang berbunyi: Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F pada [a,b], maka
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
19
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Catatan. Dalam penghitungan integral tentu, notasi berarti F(b) –F(a). Contoh 8 (a) (b) Teorema 9(Kelinearan Integral tentu)
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
20
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Contoh 9. Dengan menggunakan kelinearan integral tentu, kita dapat menghitung
Sifat-sifat Lanjut Integral Tentu Selain kelinearan, integral tentu juga memenuhi: Sifat penjumlahan selang:
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
21
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Sifat pembandingan: Jika f(x) < g(x) pada [a,b], maka
Sifat keterbatasan: Jika m ≤ f(x) ≤ M pada [a,b], maka Contoh 10. Pada [0,1] berlaku 1 ≤ √1 + x4 ≤√2; karena itu menurut sifat keterbatasan
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
22
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Misalkan f terintegralkan pada [a,b]. Definisikan
Disini, G(x) menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(t),a ≤ t ≤ x (lihatgambar). Teorema Dasar Kalkulus II. G’(x) = f(x) pada[a,b]; yakni, Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
23
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Contoh 11
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
24
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Teorema Nilai Rata-rata Integral Jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat c є [a,b] sedemikian sehingga
Catatan. Nilai f(c) dalam teorema ini disebut nilai rata-rata integral f pada [a,b] (lihatgambar). Perhatikan bahwa luas daerah dibawah kurva y = f(t), t є [a,b], sama dengan f(c)(b–a). Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
25
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Contoh 12. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1]. Maka Jadi nilai rata-rata integral f pada [0,1] adalah ⅓. Latihan. Tentukan nilai rata-rata integral f(x) = 4x3 pada [1,3]. Substitusi dalam Penghitungan Integral Tentu Misalkankitainginmenghitungintegral berikut
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
26
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Dengan menggunakan Aturan Pangkat yang Diperumum, kita dapat menghitung integral tak tentunya: ∫(x2+ x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2+ x)3/2+ C. Dengan demikian, integral tentu tadi dapat dihitung:
Integral semacam ini, baik integral tentu maupun integral tak tentu, dapat pula dihitung dengan teknik substitusi, yang akan kita bahas selanjutnya. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
27
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Sebagai contoh, untuk menghitung integral tak tentu ∫(x2 + x)½.(2x + 1) dx, kita gunakan substitusi peubah u = x2 + x, sehingga du = (2x + 1)dx dan integral di atas menjadi ∫ u½ du. Dengan Aturan Pangkat, kita peroleh ∫ u½ du = ⅔u3/2 + C. Substitusikan kembali u = x2 + x, kita dapatkan ∫(x2 + x)½.(2x + 1) dx= ⅔(x2 + x)3/2+ C, sebagai mana yang kita peroleh sebelumnya dengan Aturan Pangkat yang Diperumum. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
28
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Sekarang, untuk menghitung integral tentu
kita lakukan substitusi seperti tadi: u = x2 + x, du = (2x + 1)dx. Selanjutnya kita perhatikan efek substitusi ini terhadap kedua batas integral. Pada saat x = 0, kita peroleh u = 0; sementara pada saat x = 4, kita dapatkan u = 20. Dengan demikian
sama seperti yang kita peroleh sebelumnya. Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
29
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Catatan. Dalam menghitung integral tentu dengan teknik substitusi, kedua batas integral pada umumnya berubah dan kita dapat menghitung integral dalam peubah baru tanpa harus mensubstitusikan kembali peubah lama. Secara umum, dengan melakukan substitusi u = g(x), du = g’(x)dx, kitaperoleh Integral taktentu: ∫ f(g(x)).g’(x)dx = ∫ f(u) du. Integral tentu: Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
30
Catatan Kuliah
KALKULUS II
Latihan. Hitung integral tentu/tak tentu berikut:
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
31
Catatan Kuliah
KALKULUS II
SOAL-SOAL BAB V 5.1 no. 1, 5, 10, 15, 22, 23, 32, 33. 5.2 no. 5, 13, 15. 5.3 no. 1, 9, 21, 25. 5.4 no. 1,9,11,19. 5.5 no. 1, 11, 21, 25. 5.6 no. 1, 7, 12, 15, 22. 5.7 no. 1, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 30. 5.8 no. 5, 8, 17, 20, 25, 32.
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand
32
