CATATAN KULIAH #12&13 Bunga Majemuk
10.1 Pendahuluan •
• •
Pada pembahasan sebelumnya diasumsikan bahwa P atau nilai pokok pembayaran tidak mengalami perubahan dari awal hingga akhir sehingga nilai bunga selalu dihitung dari pokok yang tidak mengalami perubahan tersebut. Dalam prakteknya, nilai pokok tidak selalu sama dari awal hingga akhir periode pembayaran dimana bunga jatuh tempo ditambahkan dalam nilai pokok Selanjutnya, akan dipelajari mengenai konsep bunga majemuk, yakni jumlah bunga yang jatuh tempo ditambahkan pada nilai pokok setiap akhir periode penghitungan bunga sehingga nilai pokok tidak selalu sama dari awal hingga akhir.
10.2 Konsep Bunga Majemuk • Konsep bunga majemuk: jumlah bunga yang jatuh tempo ditambahkan pada nilai pokok setiap akhir periode. • Secara matematis dinyatakan dengan: jm S = P(1 + i )n ; i = m dimana P adalah nilai pokok, S adalah nilai akhir, n adalah jumlah periode perhitungan bunga, m adalah frekuensi perhitungan bunga dalam setahun, yakni 2 untuk semesteran, dst, dan jm adalah tingkat bunga nominal tahunan dengan periode perhitungan m kali per tahun • Contoh soal 1. Berapa nilai S dari P sebesar Rp 10.000.000, jika J 12 = 12% selama 5 tahun?
2. Seorang pekerja menyimpan uang sebesar Rp 5.000.000 di dalam sebuah Bank yang memberi bunga sebesar 12.25% dan diperhitungkan secara bulanan. Tentukan besarnya bunga yang dihasilkan selama 2 tahun!
10.3 Bunga Efektif • Konsep bunga efektif dapat dinyatakan dalam persamaan matematis sebagai berikut: m ; i = jm r = (1 + i ) − 1 m • Dengan manipulasi matematis atas persamaan bunga majemuk, diperoleh n S = P(1 + i ) (1 + i )n = S P
⎛S⎞ i=⎜ ⎟ ⎝P⎠
1
n
−1
⎛S⎞ log⎜ ⎟ ⎝P⎠ n= log(1 + i ) •
Contoh soal 1. Berapa tingkat bunga yang diperlukan agar sejumlah uang menjadi 3 kali lipat selama 12 tahun dan diketahui bunga dibayarkan secar bulanan?
2. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk membuat uang dari Rp 5.000.000 menjadi Rp 8.500.000 dengan tingkat bunga 12% dan bunga dibayarkan secara bulanan?
3. Puja berniat memberikan hadiah kepada pacarnya pada tanggal 30 Desember 2009 berupa uang sebesar Rp 200.000.000. Untuk keperluan itu, Ia menyimpan uang sebesar Rp 5.000.000 pada sebuah Bank yang memberikan tingkat bunga 12% secara bulanan. Sejak kapan Puja harus menabungkan uangnya di Bank tersebut?
10.4 Anuitas • merupakan rangkaian pembayaran dalam jumlah yang sama yang dibuat pada interval waktu yang sama, seperti pembayaran gaji bulanan dan pembayara premi • Terdapat dua jenis anuitas, yaitu anuitas pasti dan contingent annuity - Anuitas pasti: waktu dimulai serta berakhirnya pembayaran sudah ditentukan. Contoh : Dalam kredit rumah, pembayaran angsuran kredit rumah yang belum berakhir harus tetap diteruskan walaupun pembeli rumah telah meninggal dunia. - Contingent Annuity: waktu awal dan akhir pembayarannya tergantung pada kejadian tertentu. Contoh : Dana Pensiun, • Berdasarkan waktu pembayarannya, anuitas dibagi menjadi dua - Ordinary Annuity: pembayaran dilakukan di setiap akhir periode - Annuity due: pembayaran dilakukan di awal periode. • Konsep Anuitas dapat dinyatakan secara matematis dengan persamaan ⎡ (1 + i )n − 1⎤ Sn = R⎢ ⎥ i ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡1 − (1 + i )− n ⎤ An = R ⎢ ⎥ i ⎢⎣ ⎥⎦ dimana R, S n dan, An masing-masing adalah pembayaran pada periode dari anuitas, jumlah uang di masa yang akan datang dan jumlah uang sekarang.
•
•
untuk anuitas dengan pembayaran yang dilakukan pada setiap awal bulan berlaku persamaan : ⎡ (1 + i )n − 1⎤ Sn = R⎢ ⎥ (1 + i ) i ⎥⎦ ⎢⎣ ⎡1 − (1 + i )− n ⎤ An = R ⎢ ⎥ (1 + i ) i ⎢⎣ ⎥⎦ Contoh soal 1. Seseorang mendepositokan uangnya sebesar Rp 5.000.000 setiap akhir bulan dengan tingkat bunga deposito 12%/tahun dan dibayarkan setiap bulan. Berapa jumlah uang yang disimpannya setelah 11 bulan?
2. Sebuah mobil dapat dibeli dengan uang muka Rp 40.000.000 dan angsuran per bulan sebesar Rp 2.000.000 yang dibayarkan setiap bulan selama 3 tahun. Jika tingkat bunga pinjaman 15% per tahun, berapa harga mobil tersebut jika dibayar secara tunai?
3. Seseorang mendepositokan uang sebesar Rp 5.000.000 setiap awal bulan, dengan tingkat bunga deposito 12% per tahun dibayarkan secara bulanan. Berapa jumlah uangnya setelah 11 bulan?
4. Sebuah rumah seharga Rp 200.000.000 dapat dibeli dengan uang muka sebesar 30% dari harga pokok, dan sisanya diangsur setiap akhir bulan selama 10 tahun. Jika tingkat bunga 18% per tahun dan dimajemukkan bulanan, maka carilah : a. Berapa jumlah angsuran yang harus dibayarkan tiap bulan? b. Jika setelah mengangsur selama 3 bulan, pembeli melunasi rumah tersebut. Berapa jumlah yang harus ia bayarkan dengan mengasumsikan tidak ada pinalti yang harus ditanggung pembeli?
