Bilangan Bilangan Asli (ℕ)
Bilangan Nol
Bilangan Negatif
(1,2,3, ⋯ )
(0)
(⋯ , −3, −2, −1)
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat (ℤ )
1 5 ( ; 3 ; 5%; 6,82; ⋯ ) 2 7
A. Bilangan Asli (ℕ) Definisi Bilangan Asli adalah himpunan bilangan bulat positif (nol tidak termasuk). Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif. Contoh: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ⋯ }. B. Bilangan Nol Definisi Bilangan nol adalah bilangan yang hanya terdiri dari nol. Contoh : {0}. C. Bilangan Cacah 1) Pengertian Bilangan Cacah Definisi Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli dan nol termasuk di dalamnya. Contoh: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ⋯ }. 2) Bilangan Cacah dan Bilangan Romawi Bilangan Cacah
Bilangan Romawi
1 5 10 50 100 500 1000
𝐼 𝑉 𝑋 𝐿 𝐶 𝐷 𝑀
3) Bilangan Cacah, Bilangan Biner, dan Bilangan Arab Bilangan Cacah
Bilangan Biner
Bilangan Arab
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 10 11 100 101 110 111
٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧
1
8 9
٨ ٩
1000 1001
D. Operasi Aritmatika 1) Penjumlahan Definisi Penjumlahan adalah dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Contoh: 2 + 3 = 5 2) Pengurangan Definisi Pengurangan adalah menambahkan dengan lawan dari bilangan itu. Untuk setiap bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). Contoh: 2 − 3 = 2 + (−3) = −1 3) Perkalian Definisi Perkalian adalah penjumlahan berulang. Maksudnya adalah 3 𝑥 5 sama artinya dengan 5 + 5 + 5 atau ditulis 3 𝑥 5 = 5 + 5 + 5. Untuk setiap bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏. Contoh: 2 ⋅ 3 = 6 4) Pembagian Definisi Pembagian adalah ada sekumpulan benda sebanyak 𝑎 dibagi rata (sama banyak) 𝑎 dalam 𝑏 kelompok. Jika 𝑏 = 𝑐 maka 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐 Untuk setiap 𝑎
1
2
1
bilangan 𝑎 dan 𝑏 berlaku 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑏. Contoh: 3 = 2 ⋅ 3 5) Perpangkatan Definisi Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛. 𝑛 𝑎 = 𝑎 ×𝑎 ×𝑎 ×⋯×𝑎 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 , Dimana 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ . 3 Contoh: 2 = 2 ⋅ 2 ×⋅2
6) Akar Definisi 𝑛
1
Akar merupakan kebalikan dari pangkat. √𝑎 = 𝑎𝑛 , 𝐷𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ . Contoh: 3
3
1
√2 = √21 = 23
E. Bilangan Genap Definisi Bilangan Genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan demikian, 0 termasuk bilangan genap. Karena 0 habis dibagi dua. Bilangan Genap dituliskan dengan bentuk 𝐴 = {2𝑛 | 𝑛 ∈ ℕ}. Contoh: {0, 2, 4, 6, 8, 10, ⋯ }. F. Bilangan Ganjil Definisi Bilangan Ganjil adalah suatu bilangan yang jika dibagi dua maka bersisa 1. Bilangan Ganjil dituliskan dengan bentuk 𝐴 = {2𝑛 + 1 | 𝑛 ∈ ℕ}. Contoh: {1, 3, 5, 7, ⋯ }. 2
G. Bilangan Prima Definisi Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: {2,3,5,7,11,13, ⋯ }. Faktorisasi prima adalah bilangan yang dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor prima berpangkat.
H. Bilangan Komposit Definisi Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 dan bukan merupakan bilangan prima atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Contoh: {4,6,8,9,10,12, ⋯ }. I.
Bilangan Negatif Definisi Bilangan Negatif adalah bilangan yang lebih kecil atau kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan. Contoh: {⋯ , −5 − 4, −3, −2, −1}.
J.
Bilangan Bulat 1) Pengertian Bilangan Bulat Definisi Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli atau bilangan bulat positif, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Contoh: {⋯ , −5 − 4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7, ⋯ }. 2) Sifat-sifat Bilangan Bulat a) Tertutup Penjumlahan Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ. Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 ∈ ℤ atau 5 ∈ ℤ. Perkalian Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 ∈ ℤ. Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 ∈ ℤ atau 6 ∈ ℤ. b) Komutatif (Pertukaran) Penjumlahan (A1) Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎. Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 + 3 = 3 + 2. Perkalian (M1) Jika setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎. Contoh: Ambil 2 dan 3 ∈ ℤ , maka 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2. c) Asosiatif (Pengelompokkan) Penjumlahan (A2) 3
Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐). Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) atau 5 + 4 = 2 + 7. Perkalian (M2) Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐). Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ , maka (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) atau 6 ⋅ 4 = 2 ⋅ 12.
d) Identitas Penjumlahan (A3) Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 𝑎 + 0 = 𝑎 atau 0 + 𝑎 = 𝑎. Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 0 ∈ ℤ maka 2 + 0 = 2 atau 0 + 2 = 2. Perkalian (M3) Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎. Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada 1 ∈ ℤ maka 2 ⋅ 1 = 2 atau 1 ⋅ 2 = 2. e) Invers Penjumlahan (A4) Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada − 𝑎 ∈ ℤ maka 𝑎 + (−𝑎) = 0 atau (−𝑎) + 𝑎 = 0. Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada − 2 ∈ ℤ maka 2 + (−2) = 0 atau (−2) + 2 = 0. Perkalian (M4) Jika setiap 𝑎 ∈ ℤ dan ada
1
1
1
∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ 𝑎 = 1 atau 𝑎 ⋅ 𝑎 = 1. 𝑎
Contoh: Ambil 2 ∈ ℤ dan ada
1
1
1
∈ ℤ maka 2 ⋅ 2 = 1 atau 2 ⋅ 2 = 1. 2
e) Distributif (Penyebaran) Distributif Kiri (D1) Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏) + (𝑎 ⋅ 𝑐). Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka 2 ⋅ (3 + 4) = (2 ⋅ 3) + (2 ⋅ 4) atau 2 ⋅ 7 = 6 + 8. Distributif Kanan (D2) Jika setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ maka (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = (𝑎 ⋅ 𝑐) + (𝑏 ⋅ 𝑐). Contoh: Ambil 2, 3, dan 4 ∈ ℤ, maka (2 + 3) ⋅ 4 = (2 ⋅ 4) + (3 ⋅ 4) atau 5 ⋅ 4 = 8 + 12. K. Bilangan Pecahan 1) Pengertian Bilangan Pecahan Definisi Bilangan Pecahan adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎 ; dimana 𝑎= pembilang dan b = penyebut serta 𝑎,b ∈ ℤ dan b ≠ 0. Contoh: 𝑏 1 2
,
3 4
,
9
17
, dll.
2) Macam-macam Bilangan Pecahan a) Pecahan Biasa Pecahan Biasa adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎 1 3 9 ; 𝑎,b ∈ ℤ dan b ≠ 0. Contoh: , , , dll. 𝑏 2 4 17 4
b) Pecahan Campuran Pecahan Campuran adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam 𝑎 1 3 9 bentuk c 𝑏 ; 𝑎,b,c ∈ ℤ dan b ≠ 0. Contoh: 1 2 , 4 4 , 7 17 , 𝑑𝑙𝑙. c) Pecahan Desimal Pecahan Desimal adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎, 𝑏 ; 𝑎,b ∈ ℤ. Contoh:1,5; 4,7; 9,3; dll. d) Persen Persen adalah bilangan yang disajikan atau ditampilkan dalam bentuk 𝑎%; 𝑎 ∈ ℤ. Contoh: 1%, 9%, 50%, dll. 3) Sifat-sifat Bilangan Pecahan 𝑎 𝑐 𝑎𝑑+𝑏𝑐 a) 𝑏 + 𝑑 = 𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0 2
4
Contoh: 3 + 5 = b)
𝑎
𝑐
−𝑑 = 𝑏
𝑎𝑑−𝑏𝑐 2
𝑏𝑑
𝑏
𝑎𝑏
𝑐
𝑐
4
𝑎
𝑐
(2⋅5)−(3⋅4) 3⋅5
, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, serta 𝑐 ≠ 0 3
Contoh: 2 ⋅ 4 =
d)
3⋅5
, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
Contoh: 3 − 5 =
c) 𝑎 ⋅ =
(2⋅5)+(3⋅4)
2⋅3 4
𝑎𝑐
⋅ = 𝑏𝑑 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0 𝑏 𝑑 2
4
2⋅4
Contoh: 3 ⋅ 5 = 3⋅5
e)
𝑎 𝑏
𝑐
𝑎
𝑑
∶𝑑=𝑏⋅𝑐 = 2
4
𝑎𝑑
, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ, serta 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0
𝑏𝑐 2 5
2⋅5
Contoh: 3 ∶ 5 = 3 ⋅ 4 = 3⋅4 f)
Setiap Pecahan dikalikan dengan kebalikannya adalah 1. 2 3 Contoh: 3 × 2 = 1
g) Setiap Pecahan dibagi dengan 1 hasilnya adalah Pecahan itu sendiri. 2
Contoh: 1 = 2 ;
2 3
1
2
=3
h) Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah Pecahan, maka hasilnya adalah kebalikan Pecahan itu. 1 3 3 Contoh: 2 = 1 × 2 = 2 3
5
l)
Setiap Pecahan memiliki invers (kebalikan). 2 3 Contoh: 3 × 2 = 1
m) Setiap 1 dapat dibentuk bilangan Pecahan berangka sama. 2 3 4 Contoh: 1 = 2 = 3 = 4 = 𝑑𝑠𝑡
6
