Bentuk Standar Ungkapan Boolean Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Bentuk Standar Ungkapan Boolean
Sum-of-Product (SOP)
Diturunkan dari tabel kebenaran untuk fungsi dengan mempertimbangkan baris F = 1. Logika penjumlahan (OR) dari produk (AND). Dinyatakan dalam rangkaian AND-OR.
Product-of-Sum (POS)
Diturunkan dari tabel kebenaran untuk fungsi dengan mempertimbangkan baris F = 0. Logika produk (AND) dari penjumlahan (OR). Dinyatakan dalam rangkaian OR-AND.
Sum-of-Product (SOP)
Minterm
Minterm untuk fungsi n variabel merupakan produk yang masing-masing n variabel terlihat satu kali. Masing-masing variabel dapat terlihat dalam bentuk komplemennya atau tidak. Dalam baris tabel kebenaran, minterm dibentuk dari
Variabel xi, jika xi = 1 Komplemen xi, jika xi = 0
Minterm
Sum-of-Product
Suatu fungsi F dapat direpresentasikan oleh sum of minterm, dimana setiap minterm di-AND-kan dengan nilai terkait dengan keluaran untuk F.
F = S (mi . fi)
Denotasi operasi penjumlahan logika
dimana mi adalah minterm Dan fi adalah keluaran fungsional
Hanya minterm dimana fi = 1 terlihat pada ungkapan untuk fungsi F F = S (mi) = S m(i) Notasi singkat
Sum-of-Product
Sum-of-Product untuk fungsi F adalah ungkapan Sum-ofProduct dimana masing-masing produk adalah minterm.
Ungkapan adalah unik Tidak perlu biaya terendah
Proses sintesis
Menentukan Sum-of-Product Menggunakan aljabar Boolean (dan K-map) untuk mencari ungkapan optimal dan ekuivalensinya.
Sum-of-Product AND Term pejumlahan x2
X3.X2' X3.X2' + X1.X3' f
x3 x1
X1.X3' OR AND Term produk
Term Produk = logika AND Term Penjumlahan = logika OR
Sum-of-Product
Menggunakan aturan distributif untuk mengalikan ungkapan Boolean. Hasil dalam bentuk Sum-of-Product (SOP). F = (A + B).(C + D).(E) F = (A.C + A.D + B.C + B.D).(E) F = A.C.E + A.D.E + B.C.E + B.D.E Bukan bentuk SOP
9
Term produk dari Variabel tunggal
H = A.B.(C + D) + ABE
Product-of-Sum (POS)
10
Maxterm
Maxterm untuk fungsi n variabel adalah term penjumlahan masing-masing n variabel yang terlihat satu kali. Masing-masing variabel dapat terlihat dalam bentuk komplemennya atau tidak. Untuk baris dalam tabel kebenaran, maxterm dibentuk dari
11
Variabel xi, jika xi = 0 Komplemen dari xi, jika xi = 1
Maxterm
12
Product-of-Sum
Suatu fungsi F dapat direpresentasikan oleh produk Maxterm, dimana setiap Maxterm di-AND-kan dengan komplemen dari nilai keluaran untuk F.
F = P (Mi . f 'i)
Denotasi operasi produk logika
13
Dimana Mi adalah Maxterm dan f'i merupakan komplemen dari keluaran fungsional
Hanya Maxterm untuk fi = 0 terlihat dalam ungkapan untuk fungsi F. Notasi singkat F = P (Mi) = P M(i)
Product-of-Sum
Product-of-Sum untuk fungsi F adalah ungkapan Product-ofSum pada setiap term penjumlahan adalah Maxterm.
Proses sintesis
14
Ungkapannya unik Tidak perlu biaya terendah Menentukan Product-of-Sum Menggunakan aljabar Boolean (dan K-map) untuk mencari ungkapan optimal dan ekuivalensi fungsional.
Product-of-Sum OR Term produk x1 x3
X1 + X3 (X1+X3) . (X2'+X3') f
X2' + X3' x2
AND OR
Term penjumlahan Term penjumlahan = Logika OR Term produk = Logika ANDi
15
Product-of-Sum
Menggunakan aturan distributif untuk memfaktorkan ungkapan Boolean. Hasilnya dalam bentuk Product-of-Sum (POS). F = V.W.Y + V.W.Z + V.X.Y + V.X.Z F = (V).(W.Y + W.Z + X.Y + X.Z) F = (V).(W + X).(Y + Z) Bukan bentuk POS
16
Term sum merupakan variabel tunggal
H = (A+B).(C+D+E) + CE
SOP dan POS
Suatu fungsi F dapat diimplementasikan sebagai ungkapan Sumof-Product (SOP) atau ungkapan Product-of-Sum (POS). Kedua bentuk fungsi F dapat direalisasikan menggunakan gerbang logik yang mengimplementasikan operasi logik dasar. Dua rangkaian logik direalisasikan untuk fungsi F tidak perlu mempunyai biaya yang sama. Tujuan: - Meminimalkan biaya perancangan rangkaian - Membandingkan biaya realisasi SOP dengan relaisasi POS
17
Mengubah antara SOP dan POS
18
Bentuk Sum-of-product (SOP) dari ungkapan Boolean dapat diubah menjadi bentuk product-of-sum (POS) dengan memfaktorkan ungkapan Boolean.
Bentuk product-of-sum (POS) dari ungkapan Boolean dapat dikonversi ke bentuk sum-of-product (SOP) dengan mengalikan ungkapan boolean.
Dual
19
Dual dari ungkapan Boolean dibentuk dengan mengubah AND ke OR, OR ke AND, 0 ke 1, dan 1 ke 0. Alternatifnya dapat ditentukan dengan mengkomplemen seluruh ungkapan Boolean, dan kemudian mengkomplemen setiap literal. SOP dan POS merupakan dual satu sama lain.
Implementasi rangkaian logik
20
Gerbang Logik
Gerbang AND dan OR
Gerbang NAND dan NOR
21
2-masukan gerbang direalisasikan dengan 6 CMOS transistor 3-masukan gerbang direalisasikan dengan 8 CMOS transistor 2-masukan gerbang direalisasikan dengan 4 CMOS transistor 3-masukan gerbang direalisasikan dengan 6 CMOS transistor
Sehingga lebih efisien biayanya untuk merancang rangkaian logik menggunakan gerbang NAND dan NOR.
Gerbang NAND Inverter (gerbang NOT)
x1 x2
Lingkaran menandakan inversi
x1
x1 x2
x2
(a)
x1 x2 = x1 + x2
Ingat, aplikasi teorema DeMorgan
22
Gerbang NOR Inverter (gerbang NOT)
x1 x2
Lingkaran menandakan inversi
x1
x1 x2
x2
(b)
x1 + x2 = x1 x2
Ingat, aplikasi teorema DeMorgan
23
SOP menggunakan gerbang NAND
Konversi dari AND-OR ke NAND-NAND
Gambar rangkaian logik AND-OR untuk ungkapan SOP. Tambahkan lingkaran (inversi)
Semua gerbang dalam rangkaian logik adalah gerbang NAND
24
Pada keluaran setiap gerbang AND Pada masukan gerbang OR Dua lingkaran dengan tanda “ (A'' = A) Dua representasi yang berbeda untuk gerbang NAND 74xx08 Quad 2-masukan gerbang NAND
Realisasi gerbang NAND dari SOP x1 x2
x1 x2
x3 x4 x5
x3 x4 x5 Gerbang NAND
F = X1.X2 + X3.X4.X5
x1 x2 Ungkapan SOP
25
x3 x4 x5
POS menggunakan gerbang NOR
Konversi dari OR-AND ke NOR-NOR
Gambar rangkaian logik OR-AND untuk ungkapan POS. Tambahkan lingkaran (inversi)
Semua gerbang rangkaian logik merupakan gerbang NOR
26
Pada keluaran setiap gerbang OR Pada masukan gerbang AND Dua lingkaran pada tanda “ yang sama (A'' = A) Dua representasi yang berbeda untuk gerbang NOR 74xx02 Quad 2-masukan gerbang NOR
Realisasi gerbang NOR dari POS x1
x1
x2
x2
x3
x3
x4
x4
x5
x5
Gerbang NOR
F = (X1+X2).(X3+X4+X5) x1 x2
Ungkapan POS
x3 x4 x5
27
Contoh:
Implementasikan fungsi f(x1, x2, x3) = S m(2,3,4,6,7) Hanya menggunakan gerbang NAND.
28
x2 f
x1 x3 (a) Implementasi SOP
F = X2 + X1.X3' x2 f
x1 x3
(b) Implementasi NAND 29
Contoh:
Implementasikan fungsi f(x1, x2, x3) = S m(2,3,4,6,7) Hanya menggunakan gerbang NOR.
30
x1
x2
f
x3 (a) Implementasi POS
F = (X1+X2).(X2+X3')
x1 x2
f
x3
(b) Implementasi NOR 31
Sekian untuk hari ini
32
