Benedict Mihály
Kvantummechanika számítógépes animációkkal II. RÉSZ
Animációk, feladatok, ábrák, tesztek: Czirják Attila Dömötör Piroska Földi Péter
Szegedi Tudományegyetem Elméleti Fizikai Tanszék Szeged 2010
ÚTMUTATÓ Techinkai okokból itt megismételjük az I. rész elején található, az animációk indításához szükséges programokat összegyûjtõ listát: SZÜKSÉGES PROGRAMOK Az interaktív tartalmak egy részének megjelenítéséhez szükséges a
(JRE)
java környezet
letöltése és telepítése. A bal oldali linkre kattintva letölthetjük az operációs-
rendszerünknek megfelel® java környezetet. Az interaktív tartalmak másik részének megjelenítéséhez a
book Player 7
vagy a
Wolfram CDF Player
Mathematica Note-
program megléte szükséges.
Ez
utóbbi a bal oldali linkre kattintva letölthet®. A videók jelent®s része v formátumú Flash videó. játszók általában csak a megfelel®
Ezeket a szokásos médiale-
Adobe-Flash plugin
megléte esetén képesek
lejátszani. Ezt a bal oldali linkre kattintva az Adobe honlapjáról tölthetjük le. Az swf formátumú ash animációk megtekintéséhez pedig mindenképpen szükséges ez a plugin. A ash videók lejátszására a másik lehet®ség, hogy letöltjük az ingyenesen elérhet®
VLC Media Player-t.
Ez a program rendkívül sokféle videó- és hang formátumot
kezel, többek között az v formátumú videókat is lejátsza.
84
Tartalomjegyzék
18.Hilbert-tér és lineáris operátorai, Dirac-jelölés
87
18.1. Lineáris operátorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
18.2. Reprezentációk, operátorok mátrixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
18.3. Bázisváltás, más kifejtési együtthatók
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
18.4. Projekciós operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
19. Önadjungált operátorok spektrális el®állítása
94
20. Fölcserélhet® operátorok, CSCO
97
20.1. Fölcserélhet® operátorok sajátvektorairól . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
20.2. Fölcserélhet® operátorok teljes rendszere: CSCO
97
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21. L2 és az L2 -höz nem tartozó bázisok
98
2 21.1. Az L tér de níciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2 21.2. Az L -höz nem tartozó, általánosított bázisok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 21.2.1. Síkhullámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 21.2.2. Delta-függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 21.2.3. Egyéb általánosított bázisok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
22. A koordináta és az impulzus operátora
103
22.1. X és P nem fölcserélhet® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
23. A kvantummechanika posztulátumai
106
24. Mérések, középérték, szórás
108
25. Heisenberg-egyenl®tlenség
109
26. Id®fejl®dés, kontinuitási egyenlet
113
26.1. A Schrödinger-egyenlet általános tulajdonságai
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
26.2. Kontinuitási egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
27. A várható értékek id®fejl®dése, Ehrenfest tétele
115
28. Konzervatív rendszerek
116
29. Mozgásállandók, Bohr-frekvenciák
117
29.1. Mozgásállandók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 29.2. Bohr-frekvenciák és a kiválasztási szabályok eredete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
30. A szabad részecske kvantummechanikai tárgyalása
119
31. A harmonikus oszcillátor sajátérték-problémája
121
32.Nemstacionárius állapotok harmonikus potenciálban, koherens és préselt állapotok 126 32.1. Koherens állapotok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 32.2. Préselt koherens állapotok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
33.Az impulzusnyomaték algebrai elmélete
132
34. Feles spin sajátállapotai
137
85
35.Pályaimpulzusnyomaték
139
36. A térbeli paritás
144
36.1. A paritás de níciója
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
36.2. Kapcsolat a pályaimpulzusmomentummal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
37.Centrális er®tér, radiális egyenlet
147
38. A radiális egyenlet megoldásainak aszimptotikus viselkedése 38.1. Aszimptotikus viselkedés 38.2. Aszimptotikus viselkedés
r → ∞ esetén . . . a 0 környezetében
149
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
39.Coulomb-potenciál kötött állapotai
150
40. A H-atom spektruma
152
41.Többrészecske rendszerek és azonos részecskék
159
42.Független részecskék
164
42.1. Azonos független részecskék alapállapotai
43. Többelektronos atomok
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
167
86
18. Hilbert-tér és lineáris operátorai, Dirac-jelölés A Kvantum zika alapjai c. részben láttuk, hogy a mikrorészecskék tulajdonságai magyarázhatók egy matematikai képpel, melyben a részecske állapotváltozásait komplex számokkal, valószín¶ségi amplitúdókkal írjuk le. Ezeket egy rendeljük, és
hϕ|ψi-vel
jelöljük.
az átmenet valószín¶sége. Ha a
ψ
absztrakt állapotból egy másik
ϕ
állapotba való átmenethez
Ennek abszolút érték négyzete mondja meg azt, hogy mekkora
ψ
állapotú részecskék valamilyen tulajdonságát egy alkalmas be-
rendezéssel mérjük, akkor azt találjuk, hogy a berendezés a részecske állapotát megváltoztatja, és ez általában több különböz® lehetséges módon történhet. A berendezés után a részecske állapota valamilyen a berendezésre jellemz® állapotokba
hui |ψi
ui
állapot lesz, ezek a berendezés sajátállapotai. Az egyes saját-
valószín¶ségi amplitúdóval azaz
Valójában magát a
ψ
| hui |ψi |2
valószín¶séggel kerülnek a részecskék.
állapotot önmagában nem is tudjuk megadni.
A
ψ
megadása éppen úgy
történik, hogy megmondjuk, hogy valamilyen kiválasztott berendezés esetén annak egyes kimen® csatornáiba, amelyek lehetnek diszkrétek vagy folytonosak, mekkora amplitúdóval jut a részecske. Az állapotról akkor lehet konkrétan beszélni, tehát éppen azáltal tudjuk jellemezni, hogy megmondjuk, mekkorák ezek az amplitúdók valamilyen kiválasztott mennyiség mérése szempontjából. Megjegyezzük még, hogy mivel egy részecske állapota szükségképpen megváltozik a mérés során, a konkrét méréshez az szükséges, hogy sok azonos módon preparált részecskével végezzünk mérést. Ha a részecskén semmifajta mérést nem végeztünk, vagy nem minden lehetséges amplitúdóját ismerjük, az állapotot akkor is lehet alkalmas módon jellemezni, err®l azonban itt egyel®re nem lesz szó.
1. ábra.
Eme tapasztalatok alapján a kvantummechanika kialakulása után rövidesen kiformálódott az a matematikai keret, amely alkalmas a mikrorészecskék tulajdonságainak tárgyalására. Ezt a hátteret, amely a Hilbert-terek lineáris operátorainak elméletén alapul, a matematikai egzaktság minden követelményének megfelel®en Neumann János dolgozta ki. Ennek lényege, hogy a részecskék állapotait egy lineáris, bels® szorzat struktúrával is ellátott vektortér elemeinek kell tekinteni, a jellemz® zikai mennyiségeknek pedig a téren értelmezett lineáris operátorok felelnek meg. A mondott megfeleltetés pontosabb részleteit a következ®kben majd axiómaszer¶en is ki fogjuk mondani, el®bb azonban bevezetjük az állapottér, azaz a Hilbert-tér fogalmát. Jelölésünkben Dirac nyomán a vizsgálandó halmaz, a
H
Hilbert-tér elemeit a
|ψi , |ϕi , |φi , |χi
módon fogjuk jelölni, amelyekre a közönséges háromdimenziós vektorokhoz nagyon hasonló tulajdonságok érvényesek, azaz az elemeket össze lehet adni és komplex számmal szorozni, és ezek ismét a tér elemei lesznek.
Másképpen szólva a tér elemein két m¶velet de niálható, a kommutatív és
asszociatív összeadás és a számmal való szorzás. Azaz
87
|ψi + |ϕi
és
c |ψi
is a tér eleme, ahol
c
egy
komplex szám. A szorzó komplex voltának lehet®sége miatt bonyolultabb a vizsgált tér a közönséges vektorok terénél, mindazonáltal
H
elemeit vektoroknak is szokás nevezni. A
|i
jelölés a
H
tér
elemeire P. Diractól származik, és csak a kvantummechanika zikai irodalmában használatos, alább látni fogjuk ennek a jelölésnek az indokát és bizonyos el®nyeit. A
H
tetsz®leges elemeire érvényes, hogy
I. |ψi + |ϕi = |ϕi + |ψi
|ψi + (|ϕi + |χi) = (|ψi + |ϕi) + |χi, asszociatív, létezik egyetlen olyan vektor ∅ , amelyre |ψi + ∅ = |ψi, II. a (|ψi + |ϕi) = a |ψi + a |ϕi, (a + b) |ψi = a |ψi + b |ψi, a(b |ψi) = (ab) |ψi, 1 |ψi = |ψi , 0 |ψi = ∅. Az utolsó tulajdonság miatt a 0 szám és a ∅ vektor között a továbbiakban nem kell különbséget kommutatív,
tenni.
c1 |ϕ1 i + c2 |ϕ2 i + . . . cn |ϕn i alakú kifejezést a |ϕ1 i, |ϕ2 i . . . |ϕn i elemek |ϕ1 i, |ϕ2 i . . . |ϕn i elemeket lineárisan függetleneknek nevezzük, ha a c1 |ϕ1 i + c2 |ϕ2 i + . . . cn |ϕn i = 0 összefüggés csak a c1 = c2 = . . . = cn = 0 esetben teljesül. Egyébként a vektorok lineárisan összefügg®k. A vektortér véges és éppen n dimenziós, ha létezik n számú lineárisan független vektor, de ennél több már nincs. Ha tetsz®leges számú Lineáris függetlenség. A
lineáris kombinációjának nevezzük. A
lineárisan független elem létezik, akkor a tér végtelen dimenziós. A kvantummechanikai leírás a lineáris térnél gazdagabb struktúrát követel, ezért de niáljuk a
|ψi , |ϕi elempárhoz egy (|ψi , |ϕi) illetve hψ|ϕi vagyis
vektorok skaláris vagy bels® szorzatát is. Egy rendezett rendelünk: ezt két ekvivalens módon is fogjuk írni:
(|ψi , |ϕi) ≡ hψ|ϕi .
komplex számot
(18.1)
Ez a közönséges bels® szorzattal majdnem azonos tulajdonságokkal rendelkezik. A második tényez®ben lineáris:
(|ψi , |ϕi + |χi) = hψ|ϕi + hψ|χi ,
hψ|aϕi = a hψ|ϕi ,
(18.2)
de a tényez®k sorrendjének fölcserélésekor az eredmény a komplex konjugált szám
hψ|ϕi = hϕ|ψi∗
(18.3)
haψ|ϕi = a∗ hψ|ϕi .
(18.4)
s emiatt
(18.3)-b®l következ®en
hψ|ψi
valós, és posztuláljuk, hogy
hψ|ψi ≥ 0, A vektor hossza, vagy normája
hψ|ψi = 0 p |ψ| = hψ|ψi. és
akkor és csak akkor, ha
|ψi = 0.
(18.5)
Az ilyen módon kapott tér egy bels® szozattér, vagy
véges dimenziós esetben szokásos a komplex euklideszi tér elnevezés is.
A bels® szorzat segítségével értelmezhet® két vektor, a ψ és ϕ távolsága, amelyet |ψ − ϕ| de niál. Értelmezhet® az elemek sorozata, illeteve a távolság fogalmának fölhasználásával a konvergencia illetve a határpont is. Ha a vektortér véges dimenziós, akkor a valós számokra vonatkozó ismert tételhez hasonlóan meg lehet mutatni, hogy minden Cauchy-sorozat konvergens a térben. Azaz, ha ϕn egy olyan sorozat, hogy |ϕn − ϕm | tetsz®legesen kicsivé válik valahányszor n és m is elegend®en nagy (ezt nevezzük Cauchysorozatnak), akkor a sorozat konvergens, vagyis létezik olyan ϕ elem a térben, hogy |ϕn − ϕ| −→ 0, azaz ϕn −→ ϕ. Végtelen dimenziós térben ez nem föltétlenül van így. Ha így van, akkor az a tér egy további, az el®z®ekt®l független tulajdonsága, és ekkor a teret teljesnek nevezzük. A lineáris bels® szorzatteret, amelyben minden Cauchy-sorozat konvergens, tehát ebben az értelemben teljes is, Hilbert-térnek nevezzük. A véges dimenziós euklideszi tér teljes lévén automatikusan Hilbert-tér is. Altérnek nevezzük a tér azon részhalmazait, amelyek maguk is rendelkeznek a föntebb kirótt tulajdonságokkal. Két triviális altér létezik, az egyik a teljes tér, a másik a csak a 0 vektorból álló tér. Föntebb már Dirac jelölését alkalmaztuk, Dirac matematikus kortársainak eredményeit®l függetlenül lényegében maga is megfogalmazta ezeket a tulajdonságokat. A lineáris tér elemeire a bels®
88
szorzat fönt használt jelöléséb®l kiindulva, magukat a vektorokat is ellátta a zárójel felével, azaz a
ϕ
vektorra a
|ϕi
jelölést vezette be, és ezeket ket -nek nevezte. A
hψ|ϕi
skaláris szorzatot pedig úgy
tekintette, mint egy a ketek halmazán vett komplex érték¶ lineáris függvényt, funkcionált. Az összes ilyen funkcionál halmaza a ketek terének duálisa, maga is lineáris tér. Ezen tér elemeit Dirac jelölte és ezeket bra vektoroknak nevezte el. A bra és a ket szavak a
h|i
hψ|-vel
jel angol elnevezésének
bracket megfelel® részeire utalnak. A bra vektorok a következ® tulajdonságúak:
haψ + bϕ| = a∗ hψ| + b∗ hϕ| .
(18.6)
Megjegyezzük, hogy a lineáris tér fogalma logikailag független a bels® szorzat létezését®l, ez utóbbi egy további gazdagítása a lineáris tér matematikai struktúrájának.
Mivel azonban a természet
kvantumos jelenségeinek leírásához ez a gazdagabb struktúra szükséges, a Dirac-féle jelölés már eleve utal a bels® szorzat jelenlétére.
Ennek a jelölésmódnak, mint alább látni fogjuk, a forma-
lizmus alkalmazásakor jelent®s el®nyei vannak. Érvényes a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenl®tlenség:
| hψ|ϕi | 5 |ψ| |ϕ| .
(18.7)
|ϕ1 i , |ϕ2 i , . . . , |ϕn i elemekr®l azt mondjuk, hogy ortogonális és normált röviden ortonormált bázist alkotnak az n dimenziós térben, ha egyikük sem a nulla vektor, és 1 ha i = j (18.8) hϕi |ϕj i = δij = 0 ha i 6= j. A
Az így megadott vektorrendszer valóban bázist alkot, azaz elemei lineárisan függetlenek. Tekintsük
c1 |ϕ1 i + c2 |ϕ2 i + . . . cn |ϕn i = 0 egyenl®séget, és szorozzuk meg azt skalárisan hϕk | -val k = 1, 2 . . . n. Az ortonormáltság miatt kapjuk, hogy ck hϕk |ϕk i = 0 minden k -ra, azaz ck = 0, minden k -ra, ez pedig éppen azt jelenti, hogy a fönti vektorok lineárisan függetlenek. Az algebrából
ugyanis a
ismert Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárással lineárisan független vektorokból, páronként ortogonális vektorrendszer képezhet®.
18.1. Lineáris operátorok Egy mikrorészecskét egy valamilyen zikai mennyiséget mér® mér®berendezésbe juttatva, a mikrorészecske állapota megváltozik, ez az oka annak, hogy a mér®berendezéseket, illetve az általuk mért zikai mennyiségeket a kvantummechanikában operátorokkal írjuk le, amelyek a vektorokat egymásba transzformálják. Egy a
H-ból
sajátmagába képez®
|ϕi −→ A |ϕi = |ψi
transzformációt lineáris operátornak
nevezünk, ha teljesül a következ® két összefüggés:
A(|ϕi + |χi) = A |ϕi + A |χi , ahol
c
és
komplex szám. A linearitásból következik, hogy a
A(c |ϕi) = cA |ϕi , 0
(18.9)
vektorhoz minden lineáris operátor a
0
vektort rendeli hozzá.
Pontosabban a |ϕi −→ A |ϕi = |ψi leképezést, mely H valamely DA részhalmazát (A értelmezési tartományát) H egy másik RA részhalmazára képezi le lineáris operátornak nevezünk, ha minden ϕ, χ ∈ DA elemre teljesülnek a (18.9) összefüggések. Két operátor egyenl®, ha értelmezési tartományuk megegyezik, és minden |ϕi-re A |ϕi = B |ϕi. Megmutatható, hogy véges dimenzióban a lineáris operátorok értelmezési tartománya természetes módon kiterjeszthet® a teljes térre, amennyiben nem lennének a H tér minden vektorán értelmezve. Végtelen dimenzióban ez csak az úgynevezett korlátos operátokra igaz. Az A operátort korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív C szám, hogy tetsz®leges ϕ-re |Aϕ| ≤ C |ϕ|. Egyszer¶ megmutatni, hogy az A operátor korlátossága ekvivalens azzal a tulajdonsággal, hogy tetsz®leges ϕ-hez tartó ϕn sorozatra az Aϕn sorozat Aϕ -hez tart. Ez utóbbi tulajdonság a folytonosság. Nem nehéz belátni, hogy véges dimenziós térben minden lineáris operátor korlátos, tehát folytonos, így a teljes térben értelmezhet®. 89
A kvantummechanikai problémákhoz tartozó Hilbert-terek általában végtelen dimenziósak és az el®forduló zikai mennyiségek operátorai nem korlátosak.
Ezért az alább következ® állítások
további föltételek és általánosítások nélkül matematikai szigorúsággal csak véges dimenziós esetben érvényesek, de a föltételek alkalmas nomításaival (az értelmezési tartomány megjelölésével, megfelel® kikötések és kiterjesztések segítségével) nagyon sok tekintetben végtelen dimenzióra is átvihet®k, ezekr®l a matematikai irodalom tanulmányozásával tájékozódhatunk. Operátorok összegét és számmal való szorzatát a következ® formulák értelmezik:
(A + B) |ϕi = A |ϕi + B |ϕi ,
(18.10)
(cA) |ϕi = cA |ϕi .
(18.11)
Az összeadás a linearitásból következ®en könnyen beláthatóan asszociatív
(B + C)
és kommutatív:
A + B = B + A. A
|ψi
hatását a
(A + B) + C = A +
vektorra kétféleképpen is fogjuk írni:
A |ψi ≡ |Aψi . Az
I -vel
(18.12)
I |ψi = |ψi,
jelölt egységoperátor hatása minden vektorra
0
a
operátort pedig a
0 |ψi = 0
de niálja. Két operátor szorzata AB |ϕi = A |Bϕi. Az összeadás a szorzásra nézve disztributív. Általában AB |ϕi és BA |ϕi két különböz® vektor, azaz AB 6= BA : a két operátor általában nem fölcserélhet®. Bevezetve az
[A, B] := AB − BA
(18.13)
de nícióval két operátor kommutátorát, másképpen azt mondhatjuk, hogy két operátor kommutátora általában nem 0. Inverz operátor:
Azt mondjuk, hogy az
−1 jelölt operátor, amelyre AA −1 −1 (A ) = A.
=
A−1 A
=
A
operátornak van inverze, ha létezik olyan
I . Ez az A−1 az
A
A−1 -el
operátor inverze, továbbá láthatólag
Nem minden operátornak van inverze, de ha van, akkor az egyértelm¶en meghatározott. Ha úi. A-nak B és C is inverze, akkor AB = I = AC lenne, így B − C = B(AB − AC) = 0, azaz B = C . Belátható, hogy az inverz létezésének szükséges és elegend® föltétele az, ha bármely |ψi-hez egy és csak egy olyan |ϕi vektor van amelyre A |ψi = |ϕi.
18.2. Reprezentációk, operátorok mátrixa Legyen
|ui i
valamilyen
egy ortonormált bázis a téren. Ekkor egy
ci
együtthatókkal
|ψi =
P
i ci |ui i . A
ci
|ψi
vektor kifejthet® a bázis vektorai szerint
együtthatók megkaphatók, ha megszorozzuk
ezt a kifejtést skalárisan magukkal a bázisvektorokkal. A bels® szorzat linearitása és a bázis ortonormáltsága miatt kapjuk, hogy:
huj |ψi =
P
i ci huj |ui i
= cj .
Ily módon a
|ψi
kifejtése az alábbi
módon is írható
|ψi =
X
ci |ui i =
X
i Az
hui |ψi = ci
számokat a
|ψi
|ui ihui |ψi .
(18.14)
i
vektor reprezentációjának szokás nevezni az
gyakran egy oszlopba írva adjuk meg a
|ψi
hψ|ϕi =
* X i
bázison, és ezeket
hψ|ϕiP-t az |ui i |ϕi = j bj |uj i,
vektort. Két vektor skaláris szorzatát
bázis segítségével a következ®képpen számíthatjuk ki. Legyen ekkor:
|ui i
|ψi =
P
i ci |ui i
és
+ ci ui |
X
bj uj
j
=
X
c∗i bi .
(18.15)
i
P |ϕi-re a hψ| = i c∗i hui | bra vektort. A c∗i sorvektor a hψ| bra reprezentációja az |ui i bázisban. A ci és bi kifejtési egyenként P együtthatók ∗ b skalárszorzat ett®l függenek attól, hogy mi az a bázis amelyet használunk, de maga a c i i i A Dirac-féle beszédmód itt a következ®: alkalmazzuk a
független. Egyszer¶ megmutatni, hogy egy másik bázisban kiszámítva a bels® szorzatot az eredmény ugyanaz a szám.
90
Tekintsük most az el®bb látott hogy ha a
|ψi =
P
i |ui ihui |ψi (18.14) összefüggést. Ezt úgy is fölfoghatjuk,
P
i |ui ihui | -vel skalárisan megszorozzuk a
|ψi-t,
akkor
|ψi-t önmagát kapjuk vissza,
azaz
ez az összeg úgy viselkedik mint az egységoperátor:
X
|ui ihui | = I.
(18.16)
i Most megmutatjuk, hogy egy ilyen típusú írásmód tetsz®leges lineáris operátorra átvihet®. Tekintsünk egy
A
lineáris operátort.
Ez egyértelm¶en meg van határozva, ha egy
bázison megadjuk a hatását. Ugyanis tehát maga is kifejthet® az
|ui i
A |ui i = |φi i
minden
i-re
|ui i
ortonormált
maga is egy-egy vektor a térben,
bázison:
A |ui i = |φi i =
X
aki |uk i
(18.17)
k valamilyen
aki
komplex számokkal, s így egy tetsz®leges
|ψi =
X
ci |ui i =
X
i
|ui ihui |ψi
(18.18)
i
vektorra:
A |ψi =
X
A |ui ihui |ψi =
X
i
aki |uk ihui |ψi .
(18.19)
i,k
Ezt az eredményt Dirac nyomán úgy szokás írni, hogy
A=
X
aki |uk ihui | .
(18.20)
i,k Az
|uk ihui |
mennyiségeket, amelyek a föntiek szerint maguk is lineáris operátorok a bázisvektorok
küls® szorzatának (diádjának ) is szokás nevezni. Látható tehát, hogy egy bels® szorzat struktúrával is rendelkez® térben minden lineáris operátor egy ortonormált bázis vektoraiból alkotott összes lehetséges diád valamilyen lineáris kombinációjaként írható föl.
(A lineáris operátor fogalmához
egyébként általában nincs szükség a bels® szorzatra, viszont az utóbbi hiányában a (18.20) alak
A operátor mátrixelemeinek P nevezzük az |ui i ortonormált bázisban, és ezeket explicit módon meghatározhatjuk az A |ui i = k aki |uk i (18.17) összefüggés alapján. Az utóbbit skalárisan szorozva huj |-vel és a bázis ortonormáltságát fölhasználva ugyanis azt kapjuk, hogy aji = huj | Aui i ≡ huj | A|ui i, azaz a (18.20)-ban szerepl® mátrixelemek közvetlenül nem is értelmezhet®.) Az
aki
számokat az
kiszámíthatóak az
aki = huk | Aui i ≡ huk | A|ui i
(18.21)
aki mátrixot, amely nyilvánvalóan függ a választott ortonormált bázistól szokás A operátor reprezentációjának is nevezni az |ui i bázisban. A föntiek alapján a |ϕi = A |ψi transzP P P P formáció a |ϕi = aki |uk ihui |ψi = aki |uk i ci k bk |uk i kifejtést felhasználva, a k bk |uk i = i,k i,k P egyenl®ség alapján az |uk i reprezentációban bk = i aki ci alakú. Azaz az |uk i reprezentációban: X |ϕi = A |ψi ⇒ bk = aki ci . (18.22) összefüggéssel. Az
az
i 18.1 Feladat: Bizonyítsuk be a következ® állításokat: (a) Operátorok összegének mátrixa a megfelel® mátrixok összege. (b) Egy számmal szorzott operátor mátrixa az operátor mátrixának számszorosa. (c) Két operátor szorzatának mátrixa a megfelel® mátrixok szorzatával egyezik meg.
91
Adjungált operátor:
A bels® szorzat struktúra lehet®vé teszi, hogy minden
A
lineáris operátor-
† hoz hozzárendeljünk egy másik A operátort a következ®képpen. Írjuk el®, hogy tetsz®leges
|ψi
esetén álljon fönn a
A†
összefüggés. Az
D E D E∗ hϕ| Aψi = A† ϕ|ψ = ψ|A† ϕ
operátort
egyértelm¶en meghatározza.
A
|ϕi
és
(18.23)
A† operátort huk |Aui i = aki , és
adjungáltjának nevezzük. A (18.23) követelmény az
Legyen az
A
operátor mátrixa az
ui
bázisban
† számítsuk ki A mátrixát a (18.23) összefüggés alapján:
D E uk |A† ui = hui | Auk i∗ = a∗ik , tehát az
A mátrixából az A†
(18.24)
A mátrixa egy bázisban aki akkor ∗ aik , amelynek elemei láthatólag az A
mátrixa is kiszámítható, és pedig ha
† az A adjungált operátor mátrixa ugyanebben a bázisban
mátrix transzponáltjának komplex konjugáltjaként kaphatók meg.
A mátrixelemek viszont meg-
† határozzák A hatását azon az ortonormált bázison, amelyben a mátrixot megadtuk. A linearitás † miatt így A minden vektoron meg van határozva, és alakja a (18.20) és (18.21) alapján a Dirac-féle jelölés szerint
A† =
P i,k
a∗ik |uk ihui |
, illetve az összegzési indexeket megcserélve:
A† =
X
a∗ki |ui ihuk | .
(18.25)
i,k Vagyis az ilyen alakban felírt operátor adjungáltját úgy kapjuk, hogy a mátrixelemeket komplex konjugáljuk és a ket és bra vektorokat megcseréljük. Egyszer¶ megmutatni, hogy operátorok összegének adjungáltja az adjungáltak összege:
† konjugálttal kell szorozni: (cA)
=
(A + B)† = A† + B † .
Számszorosnál pedig a komplex
c∗ A† , továbbá (AB)† = B † A† .
Azokat az operátorokat, amelyekre
A =
(18.26)
A† , önadjungált, másnéven hermitikus operátornak
szokás nevezni (C. Hermite francia matematikus után).
Az önadjungált operátorok mátrixának
transzponáltja megegyezik a komplex konjugáltjukkal, és így a diagonálisban valós számok állnak.
18.3. Bázisváltás, más kifejtési együtthatók Egy
|ψi
vektort természetesen több különböz® bázisban is megadhatunk.
A kvantummechanika
szóhasználatában ezt úgy mondjuk, hogy egy másik reprezentációt használunk. Egy reprezentációt tehát egy adott ortonormált bázis rögzít. Kérdés, mi a kapcsolat egy vektor kétfajta reprezentációja között? Ennek megvilágítása céljából bevezetjük az unitér operátor fogalmát: De níció: Unitérnek nevezzük az operátort, ha
U † U = U U † = I. Az unitér operátorok meg®rzik a skaláris szorzatot, tetsz®leges
hU ϕ|U ψi =
ϕ|U † U ψ
(18.27)
|ψi, |ϕi
esetén
(U |ϕi , U |ψi) =
= hϕ|ψi. |φi i, és P |χk i. Legyen |ψi kifejtése |ψi = bázisban |ψi = k bk |χk i. Mivel |χk i-k maguk is
Legyen adva két ortonormált bázis
P
i |φi i hφi | ψi, illetve a másik kifejthet®k a |φi i bázis segítségével
P
i ci |φi i
=
a tér elemei,
is:
|χk i =
X
uik |φi i .
(18.28)
i Ekkor
|ψi =
P
k bk
|χk i =
P P i
k
kifejtési együtthatók egyértelm¶ek
uik bk |φP i i. Ezt szorozva hφj |-vel, vagy arra hivatkozva, hogy cj = k ujk bk . A (18.28) alapján ujk = hφj |χk i. Ezeket
a a
mennyiségeket úgy tekinthetjük, mint az
U=
X
|χi ihφi |
i 92
(18.29)
operátor mátrixelemeit akár a
|χk i
akár a
|φk i
bázisban. Mivel
U† =
P
|φi ihχi |,
egyszer¶en lát-
i ható, hogy
U
unitér, azaz
U †U = U U † = I .
Megmutattuk tehát, hogy ortonormált bázis elemeit
egyenként egy másik ortonormált bázis elemeibe transzformáló operátor unitér.
18.2 Feladat: Mutassuk meg a fönti állítás megfordítását: minden a (18.27) tulajdonsággal rendelkez®, unitér operátor ortonormált bázist ortonormált bázisba transzformál.
18.4. Projekciós operátor M -beli M ortogonális komplementerének nevezzük és M⊥ -el jelöljük. Egyszer¶en ⊥ is altér, azaz két M⊥ -beli vektor összege és két M⊥ -beli vektor számszorosa is látható, hogy M mer®leges M-re. Legyen |ϕi i (i = 1, 2 . . .) bázis az M altérben. Tekintsünk egy |ψi vektort H-ban P és a |ψM i = i |ϕi ihϕi |ψi vektort, amely nyilvánvalóan M-ben van. Ezt a |ψM i-et a |ψi mer®leges vetületének nevezzük az M altérre (lásd 2. ábra). Tekintsük most a |ψM ⊥ i = |ψi − |ψM i = |ψi − P i |ϕi ihϕi |ψi vektort. Ezt megszorozva skalárisan bármely hϕk |-val 0-t kapunk. Ezért ugyancsak 0t kapunk, ha hϕk | bármely lineáris kombinációjával szorzunk, ami azt jelenti, hogy |ψM ⊥ i ortogonális M-re, azaz M⊥ -ben van. Legyen
M
altér a
H
Hilbert-térbrn. Azoknak a vektoroknak a halmazát, amelyek minden
vektorra ortogonálisak az
2. ábra.
|ψi
mer®leges vetülete az
|ψi = |ψM ⊥ i + |ψM i,
|ϕ1 i
és
|ψi-t
|ϕ2 i
által kifeszített altérre
M-be és ortognális komp 0 |ψi = |ψM ⊥ i + |ψM i = ψ ⊥ + |ψ 0 i lenne, akkor átrendezés után a |ψM i − |ψ 0 i = ψ 0 ⊥ − |ψM ⊥ i = |ψ0 i mind MM M M M 0 ben, mind a rá ortogonális M -ben benne van, tehát hψ0 |ψ0 i = 0, azaz |ψ0 i a zéró vektor, amib®l Másképpen tehát
lementerébe tartozó elemekre.
azaz a
fölbontottuk, az
Ez a fölbontás egyértelm¶.
Ha ugyanis
következik, hogy a fölbontás egyértelm¶. A
ψM =
X
|ϕi ihϕi |ψi
i
93
(18.30)
összefüggést Dirac nyomán úgy tekinthetjük, mint az
X
EM =
|ϕi ihϕi |
(18.31)
i operátor hatását a Ezért az
EM
|ψi
EM |ψi = |ψM i
vektorra, amely az
összefüggés alapján el®állítja a vetületet.
operátort projekciós operátornak nevezzük. Ez láthatólag önadjungált és egyszer¶en
megmutathatóan idempotens, azaz
(EM )2 = EM .
EH = I
(18.16)-nak megfelel®en az egységoperátor.
akkor az
Eϕ = |ϕi hϕ|
a
|ϕi
M = H
Ha
a teljes tér, akkor a megfelel®
Ha viszont az összegben csak egy tag van,
vektor által generált egydimenziós altérre vetít® projekciós operátor. A
fordított állítás is megmutatható, azaz igazolható, hogy minden önadjungált és idempotens operátor projekció.
19.
Önadjungált operátorok spektrális el®állítása
Egy kvantumos kísérlet, mint pl. az ezüstatomokkal végzett Stern-Gerlach-kísérlet során, az egyes mérési eredmények azt mutatják, hogy a bejöv® állapot átalakul egy másik állapottá. Ez utóbbi a mér®berendezésre jellemz® valamilyen állapot, amelyet korábban sajátállapotnak neveztünk. Egy részecskén végzett kísérlet során az állapot mindig valamelyik sajátállapotba megy át, de hogy melyikbe azt nem tudjuk.
|ψi → |ui ihui |ψi
|ψi → |ui i,
Egy mérés eredménye tehát
amit az
|ui i hui |
projekció
hatásával írhatunk le, amely együtthatóként magában foglalja annak az
amplitúdóját is, hogy éppen az
|ui i
hui |ψi
állapotba jut a részecske.
A berendezésben azonban benne van az összes lehetséges kimenet lehet®sége, ezért a berendezést az összes lehetséges kimenethez tarozó projektorok
|ui i hui |
halmazával célszer¶ jellemezni.
Ezen
kívül az egyes kimenetekhez tartozóan valamilyen zikai mennyiség értéke más és más, pl. a spin komponense, vagy a spin
x komponense, vagy egy részecske koordinátája stb.
z
A berendezést jellemz®
matematikai objektumba ezt is belefoglaljuk úgy, hogy a megfelel® projektort megszorozzuk a mért zikai mennyiség adott kimenetéhez tartozó megfelel®
A=
X
αi
sajátértékkel és az egész apparátust egy
αi |ui ihui |
(19.1)
i operátorral írjuk le, amelyben az összeg az összes lehetséges kimenetet tartalmazza.
A diszkrét
összeg azt jelzi, hogy itt most diszkrét kimenetelekr®l lehet szó, mint a spin esetében, de kés®bb tárgyalni fogjuk azt az esetet is amikor az eredmények folytonosak. Ha a bejöv® részecske éppen valamelyik sajátállapotban van, ami azt jelenti, hogy azt már egy
A hatása erre az állapotra részecske állapota |uk i akkor X A |uk i = αi |ui ihui |uk i = αk |uk i ,
azonos berendezéssel preparáltuk, akkor Valóban, ha a bejöv®
saját maga egy számszorosa.
(19.2)
i azaz
A |uk i = αk |uk i az eredmény. mért
αi
Ebben a bázisban egyszer¶en láthatóan az
(19.3)
A
operátor mátrixa diagonális, és ha a
értékek valósak, akkor (18.25) és (18.20) alapján látható, hogy az operátor önadjungált.
Általában azonban közvetlenül nem tudjuk, hogy melyik a sajátállapotok bázisa, mert az operátor nem a fönti alakban, hanem rendszerint egy másik bázisban van megadva. Alapvet® feladat tehát, hogy megkeressük azokat az állapotokat, amelyek egy önadjungált operátor sajátállapotai, és megadjuk azt is, hogy mik a megfelel® sajátértékek. Ha ezt tudjuk, akkor meg tudjuk mondani, hogy mekkorák lesznek egy tetsz®leges bejöv® állapothoz tarozó kimen® amplitúdók, és ezekhez milyen számszer¶ eredmények tartoznak. Az utóbbiak lesznek a megfelel® sajátértékek. Pl. egy irányú Stern-Gerlachból kijöv®
+z
állapotú részecskét egy
x
z
irányúba, vagy egy tetsz®leges irányú-
ba engedve milyen amplitúdókkal kerül az a második berendezés egyes sajátállapotaiba. (Az egyik
94
leggyakoribb kvantummechanikai feladat, amit kés®bb sok speciális esetre fogunk tárgyalni az az, hogy energiamérés után milyen amplitúdóval kerül egy részecske a tér egy adott helyére.) Az alábbiakban be fogjuk bizonyítani, hogy n dimenziós térben minden önadjungált operátornak
létezik n db páronként ortogonális sajátvektora, azaz létezik olyan ortogonális bázis, amelyet az adott önadjungált operátor sajátvektorai alkotnak. A tétel alkalmas általánosításokkal
kiterjeszthet® a
végtelen dimenziós tér önadjungált operátoraira is.
Invariáns alterek:
A operátor invariáns alterének nevezük, ha bármely H1 -b®l. Legyen H1 egy egydimenziós altér, amelyet a |ϕi vektor generál, azaz az összes c |ϕi alakú vektorok altere, ahol c végigfut az összes komplex számon. Az A operátor linearitása miatt világos, hogy ahhoz, hogy a H1 invariáns legyen szükséges és elegend®, hogy A |ϕi is H1 -ben legyen, azaz A |ϕi = λ |ϕi valamilyen λ, általában komplex számmal.
|ψi ∈ H1
esetén
A |ψi
is
A H tér H1 H1 -ben van,
alterét az
azaz
A
nem visz ki
Sajátvektorok: sajátvektorának, a
Azt a nem zéró |ϕi = 6 ∅ vektort, amelyre A |ϕi = λ |ϕi, az A operátor λ számot pedig A sajátértékének nevezzük. Így ha |ϕi sajátvektor, akkor a c |ϕi
vektorok egydimenziós invariáns alteret alkotnak.
Tétel: Véges dimenziós térben minden
A
lineáris (nem föltétlenül önadjungált) operátornak van
legalább egy sajátvektora. Bizonyítás: Vegyünk föl a térben egy tetsz®leges |vi i ortonormált bázist, és tekintsük a keresett P |ϕi vektor kifejtését ebben a bázisban: |ϕi = i ci |vi i, ahol ci = hvi |ϕi. Ahhoz, hogy |ϕi sajátvektor legyen, fönn kell állnia az A |ϕi = λ |ϕi összefüggésnek. Szorozzuk a kifejtést skalárisan balról hvj | -vel
hvj |A |ϕi =
X hvj |A |vi i ci = hvj |λ |ϕi = λcj ,
(19.4)
i
X (aji − λδji )cj = 0.
azaz
(19.5)
i Annak szükséges és elegend® föltétele, hogy a fönti homogén és lineáris egyenletrendszernek az ismeretlen
cj
számokra nemtriviális (nem csupa
0)
megoldása legyen, az, hogy az egyenlet mátrixának
determinánsa t¶njön el:
det |aji − λδji | = 0. A determináns a
λ-ban
egy
a komplex számok körében.
n-ed
fokú polinom lesz, amelynek mindig van legalább egy gyöke
λ0
Megkeresve ezt a
0 megfelel® ci számokra megkapjuk a Itt nem használtuk ki, hogy
A
(19.6)
gyököt, majd megoldva az egyenletet a
λ0 -nak
|ϕi sajátvektort mint a |vi i bázisvektorok lineáris kombinációját.
önadjungált.
A fönti (19.5) egyenlet neve karakterisztikus vagy
szekuláris egyenlet. Most rátérünk az önadjungált operátorokra.
Tétel: Önadjungált operátor sajátértékei valósak. Bizonyítás:
A |ϕi = λ |ϕi ,
λhϕ |ϕi = hϕ|Aϕi = hAϕ|ϕi = λ∗ hϕ |ϕi
⇒ (λ − λ∗ )hϕ |ϕi = 0 ⇒ λ = λ∗ ,
mert
hϕ |ϕi = 6 0.
Tétel: Önadjungált operátor különböz® sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Bizonyítás:
A |ϕ1 i = λ1 |ϕ1 i ,
A |ϕ2 i = λ2 |ϕ2 i ,
λ1 6= λ2
λ1 hϕ2 |ϕ1 i = hϕ2 |Aϕ1 i = hAϕ2 |ϕ1 i = λ2 hϕ2 |ϕ1 i ⇒ (λ1 − λ2 )hϕ2 |ϕ1 i = 0 ⇒ hϕ2 |ϕ1 i = 0. 95
valósak
Spektráltétel:
n
dimenziós térben egy önadjungált operátornak van
n
darab egymásra páronként
mer®leges sajátvektora. Egy adott sajátértékhez tartozó sajátvektorok a zéró vektort hozzávéve alteret alkotnak. az altér invariáns altere az
A
Ez
operátornak, azaz nem visz ki bel®le. A spektráltétel bizonyításánál
azt használjuk ki, hogy önadjungált operátor esetén egy adott sajátvektorra mer®leges ortogonális vektorok halmaza is invariáns altér.
|u1 i: legyen A |u1 i = α1 |u1 i. n − 1 dimenziós H1 alteret alkotnak. Megmutatjuk, hogy H1 invariáns altere A-nak. Legyen |ψi ∈ H1 , azaz hψ|u1 i = 0, akkor hAψ|u1 i = hψ|Au1 i = a1 hψ|u1 i = 0, tehát A |ψi is mer®leges |u1 i-re, azaz benne van H1 -ben, tehát H1 invariáns altere A-nak. Tekinthetjük emiatt A-t a H1 -ben. Itt ismét létezik legalább egy sajátvektor |u2 i. Tekintsük most H1 azon H2 alterét amely az u2 -re mer®leges vektorokból áll. Mivel ez H1 altere az itteni vektorok |u1 i-re is mer®legesek lesznek. A fönti gondolatmenetet ismételve kapunk egy |u3 i sajátvektort, stb. Az eljárást folytatva végül szükségképpen kapunk egy |un i sajátvektort, amely az összes el®z®re mer®leges. Ilyen módon páronként ortogonális |ui i vektorok halmazát kapjuk. Mivel egy sajátvektor számszorosa ugyanahhoz a sajátértékhez tartozó sajátvektor, az |ui i-k normálhatók is . Az A önadjungált operátor mátrixa ebben az |ui i bázisban az Bizonyítás: Az el®z®ek szerint mindig van legalább egy sajátvektor
Az
|u1 i-re
mer®leges vektorok egy
aik = hui | Auk i = αk hui | uk i = αk δik
(19.7)
összefüggés miatt diagonális, tehát csak a f®átlóban vannak nem nulla elemek, és ezek éppen a sajátértékek. Ennek megfelel®en a (19.7) összefüggés alapján az
A=
X
αk |uk ihuk | =
k ahol
Ek = |uk ihuk |
az
|uk i
X
A
operátor alakja a következ®:
αk Ek ,
(19.8)
k
sajátvektorra vetít® projekció. Ezt a formulát az
sának nevezzük, a sajátértékek összességét pedig az
A
A
spektrális fölbontá-
önadjungált operátor spektrumának, amely
szükségképpen valós számokból áll. El®fordulhat, hogy több különböz® ortogonális sajátvektor ugyanahhoz a sajátértékhez tartozik. Ha az adott
αk
sajátértékhez tarozó különböz® ortogonális vektorok száma
juk, hogy a sajátérték
αk -hoz
gk -szoros,
vagy
gk -szorosan
gk > 1, akkor azt mond-
elfajult vagy degenerált. Világos, hogy egy adott
tartozó ortogonális vektorok minden lineáris kombinációja is ugyanehhez a sajátértékhez
tartozó sajátvektor, ezek tehát egy nális bázis az
A
gk
dimenziós alteret alkotnak, amelyen belül bármely ortogo-
sajátvektorainak részhalmaza. Emiatt ha
A
sajátértékei között van többszörösen
degenerált, akkor az egymásra ortogonális sajátvektorok halmaza nem egyértelm¶. Sajátreprezentációban, azaz abban a bázisban, amely az önadjungált operátor sajátvektoraiból áll, az operátor mátrixa diagonális és az átlóban éppen a sajátértékek állnak. A sajátreprezentációban fölírt karakterisztikus polinomból látszik, hogy az
gk -szoros
αk
sajátérték a karakterisztikus polinom
gyöke.
19.1 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy egy (azok a vektorok, amelyeket az
A
A
lineáris operátor képe (az operátor értékkészlete) és magja
a nullába képez) alterek a
19.2 Feladat: Mutassuk meg, hogy egy
n
H-ban,
méghozzá az
A
invariáns alterei.
dimenziós térben a magtér és a képtér dimenziószámának
összege kiadja az egész tér dimenziószámát. 19.3 Feladat: Mutassuk meg, hogy egy projekciós operátor sajátértéke csak 19.4 Feladat: Pozitívnak nevezünk egy
A
0
vagy
önadjungált operátort, ha tetsz®leges
1
lehet.
|ϕi-re hϕ|A |ϕi ≥ 0.
Pozitív de nit az operátor, ha |ϕi = 6 0-ra hϕ|A |ϕi > 0. † Mutassuk meg, hogy A A tetsz®leges lineáris A esetén pozitív önadjungált operátor. 19.5 Feladat: Mutassuk meg, hogy unitér operátorok sajátértékei egységnyi abszolút érték¶ komplex számok. 19.6 Feladat: Mutassuk meg, hogy véges dimenziós térben minden unitér operátor diagonalizálható,
96
azaz létezik a tér dimenziószámával megegyez® számú páronként ortogonális egységvektora.
20.
Fölcserélhet® operátorok, CSCO
20.1. Fölcserélhet® operátorok sajátvektorairól AB 6= BA. Ha viszont Ha A és B fölcserélhet®
Mint korábban is jeleztük, két operátor általában nem fölcserélhet®, azaz két operátor fölcserélhet®, akkor érvényes a következ® igen fontos tétel:
önadjungált lineáris operátorok, akkor van olyan ortonormált bázis, amely mindkét operátor sajátvektoraiból áll, azaz van közös sajátvektorrendszerük, így egyszerre diagonalizálhatók. Bizonyítás: Legyen
|ϕi
az
A
sajátvektora
α1
sajátértékkel:
A |ϕi = α1 |ϕi.
Ekkor
AB |ϕi = BA |ϕi = Bα1 |ϕi = α1 B |ϕi . Azaz
B |ϕi
(i) Ha
is az
α1
α1
(20.1)
sajátértékhez tartozik.
nem degenerált, azaz a hozzátartozó invariáns altér egydimenziós, akkor a két
ugyanehhez az
α1 -hez
B |ϕi
csak egy konstansszorosban különbözhet
B |ϕi = β1 |ϕi ,
(20.2)
tartozó sajátvektor
|ϕi
és
egymástól:
ami azt jelenti, hogy (ii) Ha
α1
|ϕi
a
B -nek
|u1 i := |ϕi. α1 -hez tartozó |ϕi-vel
is sajátvektora. Legyen ebben az esetben
degenerált, akkor annyit mondhatunk, hogy minden az
együtt
B |ϕi is benne van A-nak az α1 -hez tartozó invariáns alterében, azaz B nem visz ki ebb®l az altérb®l, más szóval ez az altér B -nek is invariáns altere. Emiatt megszoríthatjuk B -t erre az altérre, és lévén B önadjungált, létezik olyan egymásra páronként ortogonális vektorrendszer, amelyek B -nek sajátvektorai ebben az altérben. Mivel minden ittlév® vektor A-nak is sajátvektora α1 sajátértékkel, a kapott vektorok A és B közös sajátvektorai. Ha most az el®bb jelzett egy vagy többdimenziós altérre ortogonális kiegészít® teret vesszük, az ismét invariáns altere lesz
A-nak és B -nek, ez következik A és B
önadjungált voltából, ahogyan azt a
spektráltételnél használt érvelésb®l láttuk. Ebben az altérben megismételjük az el®z® meggondolást, és azt addig folytatjuk, amíg a véges dimenziósnak tekintett teljes térben az ortogonális kiegészít® terek el nem fogynak. Az eljárást kezdhetjük fordítva is, el®ször
B
nemdegenerált vagy degenerált
sajátértékeivel, akkor általában más egymást követ® egyre kisebb dimenziós altérrendszert kapunk, de a tétel természetesen érvényes.
Hozzátesszük, hogy a tétel általánosítható végtelen dimenziós
terekre illetve nemkorlátos operátorokra is, de a föltételeket nomítani kell, és a bizonyítás sokkal bonyolultabb. Fölhívjuk a gyelmet arra, hogy a tétel azt mondja, hogy
[A, B] = 0
esetén létezik közös sa-
játvektorrendszer, de nincs szó arról, hogy az egyik operátor valamely sajátvektora automatikusan a másik operátor sajátvektora is lenne. Pl. az vánvalóan a sajátvektora 1 sajátértékkel.
I
egységoperátornak minden nem zéró vektor nyil-
Ugyanakkor az is világos, hogy
I
minden más lineáris
operátorral fölcserélhet®. Ebb®l azonban nem következik, hogy tetsz®leges operátornak is minden nem zéró vektor sajátvektora lenne.
20.2. Fölcserélhet® operátorok teljes rendszere: CSCO Itt az el®z® alszakaszban részben már jelzett kérdést vizsgáljuk, hogy mikor egyértelm¶ két vagy több egymással fölcserélhet® operátor közös sajátvektorrendszere. Az
A, B, C...
operátorok halmazát CSCO-nak (Complete Set of Commuting Operators) nevez-
zük, (i) ha páronként fölcserélhet®k és
97
(ii) ha megadjuk a sajátértékeiket, akkor azok egyértelm¶en (egy konstans szorzó erejéig) meghatározzák a közös sajátvektoraikat. Más szóval létezik egy egyértelm¶en meghatározott ortonormált bázis, amelyben a CSCO minden operátora diagonális. Ha
A
és
B
CSCO-t alkot, akkor hozzávehetünk még olyan
C -t,
amely mind
A-val
mind
B -vel
kommutál, s ez továbbra is CSCO lesz, de általában olyan esetben szoktunk CSCO-ról beszélni, ha az operátorok halmaza maximális abban az értelemben, hogy közülük bármelyiket elhagyva a maradék már nem CSCO.
A, B és C CSCO-t alkot és a sajátértékek αk , βl , γm , akkor a meg|αk , βl , γm i-el is szokás jelölni, amelyek egyértelm¶en meg vannak határozva.
Megjegyezzük még, hogy ha felel® sajátvektorokat
20.1 Feladat: Mutassuk meg, hogy tetsz®leges ahol
B
és
C
A
lineáris operátor fölbontható
A = B + iC
alakba,
önadjungált operátorok.
20.2 Feladat: Normálisnak nevezünk egy operátort, ha fölcserélhet® az adjungáltjával. Mutassuk meg az el®z® feladat alapján, hogy minden normális operátor diagonalizálható. 20.3 Feladat: A 20.1 Feladatban megmutatott fölbontás nélkül, az önadjungált operátorokra vonatkozó spektráltétel gondolatmenetének alkalmas módosításával mutassuk meg, hogy minden normális operátor diagonalizálható. 20.4 Feladat: Mutassuk meg, hogy ha egy operátornak létezik a tér dimenziószámával megegyez® számú egymásra páronként ortogonális sajátvektora, akkor az az operátor szükségképpen normális. 20.5 Feladat: Mutassuk meg, hogy ha az
|ϕ2 i
az
A
A
és
B
fölcserélhet® önadjungált operátor, továbbá
két különböz® sajátértékéhez tartozó sajátvektora, akkor a
hϕ1 |B|ϕ2 i
|ϕ1 i
és
mátrixelem elt¶nik.
21. A négyzetesen integrálható függvények tere, és az
L2 -höz
nem
tartozó bázisok
21.1. Az L2 tér de níciója L2
térnek nevezzük azoknak a
ψ(x)
valós változós komplex érték¶ függvényeknek a halmazát, ame-
lyek valamely intervallumon ez lehet a a
Z
∞
(−∞, ∞)
is négyzetesen integrálhatóak, azaz amelyekre
ψ ∗ (x)ψ(x)dx =
−∞
Z
∞
|ψ(x)|2 dx
(21.1)
−∞
integrál létezik. Megjegyezzük, hogy itt az integrálás szigorúan a Lebesgue-féle értelemben értend® [Riesz, SzNagy], tehát két függvény között, amelyek csak egy nulla mérték¶ halmazon térnek el egymástól nem teszünk különbséget. Az
L2
nyilván lineáris tér a függvények szokásos összeadására, illetve komplex számmal való
szorzására nézve.
Ezen a téren a bels® szorzat, amelyet itt egyel®re
(ϕ(x), ψ(x))-ként
írunk az
alábbi határozott integrállal értelmezhet®:
Z
∞
(ϕ(x), ψ(x)) :=
ϕ∗ (x)ψ(x)dx,
(21.2)
−∞ jelen esetben a
(−∞, ∞)
intervallumra.
21.1 Feladat: Mutassuk meg, hogy a fönti (21.2) de níció teljesíti a bels® szorzat 18. szakaszban el®írt tulajdonságait.
98
Meg lehet mutatni, hogy az
L2
téren létezik diszkrét bázis, azaz olyan megszámlálható
(k = 1, 2 . . .), függvényrendszer, amelynek segítségével tetsz®leges
uk (x),
négyzetesen integrálható függvény
kifejthet® a
ψ(x) =
X
ck uk (x)
(21.3)
k formula szerint.
jegyezzük, hogy az egyenl®ség itt könyvet.) Az
uk (x) függvényrendszert teljesnek szokás nevezni. (Meg2 ismét az L értelemben értend®, lásd az említett matematikai
Az ilyen tulajdonságú
uk (x)
függvényrendszer ortogonális és normált, ha az
Z
u∗k (x)uk0 (x)dx = δkk0
(21.4)
összefüggés teljesül. Az alábbiakban mindig ilyen tulajdonságú bázisról lesz szó. A teljesség tehát azt jelenti, hogy tetsz®leges
ψ(x) kifejthet® az uk (x)-ek szerint.
A (21.3) kifejtést
u∗k0 (x)-el szorozva,
és kihasználva az (21.4) ortonormalitási föltételt kapjuk, hogy
Z
u∗k (x)ψ(x)dx.
ck =
(21.5)
(Itt az integrálás és a végtelen összegzés fölcserélhet®, ami a Lebesgue-integrál fontos tulajdonsága). Az utóbbi két összefüggés alapján írhatjuk, hogy:
ψ(x) =
X
ck uk (x) =
k
Z =
X Z
u∗k (x0 )ψ(x0 )dx0
uk (x) =
k
! X
u∗k (x0 )uk (x)
ψ(x0 )dx0 .
(21.6)
k Mivel ez minden
ψ(x)
-re fönnáll (teljesség), így
X
u∗k (x0 )uk (x) = δ(x − x0 ),
(21.7)
k s ez utóbbit is szokták a teljesség kifejezésének tekinteni. Példák: 1. Fourier-rendszer a
1 √ , a
(−a/2, a/2) intervallumon értelmezett periodikus függvények r r 2 2π 2 2π cos nx , sin nx , n = 1, 2, . . . a a a a
terén:
(21.8)
vagy komplex változatban
1 2π √ ei a nx , a
n = 0, 1, . . .
99
(21.9)
3. ábra. A Fourier-rendszer els® néhány függvényének gra konja
2. A szinusz-rendszer a
0-ban
és az
L-ben elt¶n® függvények r π 2 sin nx L L
terén:
(21.10)
4. ábra. A szinusz-rendszer els® néhány függvényének gra konja
3. A
Pl (x)
Legendre-polinomok a
[−1, +1]
intervallumon értelmezett négyzetesen integrálható
2 3 függvények terén, melyeket az 1, x, x , x . . . rendszer ortogonalizálásával kapunk:
P0 (x) = 1,
P1 (x) = x,
100
P2 (x) = (3x2 − 1)/2,
(21.11)
5. ábra. Az els® néhány Legendre-polinom gra konja
21.2 Feladat: Normáljuk az itt megadott Legendre-polinomokat, mutassuk meg, hogy ez a három ortogonális és keressük meg a harmad- és negyedrend¶ polinomot.
4. A Hermite-függvények:
Nn e−x a
(−∞, ∞)
intervallumon, ahol
polinomok melyek közül az els®
2 /2
Hn (x)
(21.12)
Hn (x)-ek az n-ed fokú polinomok, az úgynevezett Hermite-féle 2 három: H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x, H2 (x) = 4x − 2, és Nn -ek
alkalmasan választott normálási tényez®k.
6. ábra. Az els® néhány páros illetve páratlan index¶ Hermite-függvény gra konja
Megjegyezzük, hogy a fönti példák mindegyike egyben a kvantummechanikában el®forduló fontos dierenciáloperátorok sajátfüggvényei is. Lineáris operátorok az
L2 -n
: pl. paritás egydimenzióban, a változóval való szorzás, a deriválás.
A kés®bbiek szempontjából lényeges lesz, hogy a változóval való szorzás és a deriválás nem cserélhet® föl.
21.3 Feladat: Mutassuk meg, hogy a paritás a fönt (21.2) bevezetett integrállal értelmezett bels® szorzatra nézve önadjungált és unitér. 21.4 Feladat: Mutassuk meg, hogy valós változós komplex függvényt a változóval szorozva önadjungált operátort adtunk meg.
101
21.5 Feladat: Igazoljuk, hogy a valós változós komplex függvények terén a deriválás viszont nem önadjungált operátor.
21.2. Az L2 -höz nem tartozó, általánosított bázisok 21.2.1. Síkhullámok Láttuk a korábbiakban, hogy a de Broglie által bevezetett
p
impulzusú állapotokhoz tartozó hul-
lámfüggvények nem négyzetesen integrálhatóak, de bel®lük egy folytonos szuperpozícióval ilyenek építhet®k föl. Egy dimenzióban :
Z∞ ψ(x) = −∞
˜ √ 1 eipx/~ dp, ψ(p) 2π~
(21.13)
ahol mint a Fourier-transzformációk elméletéb®l tudjuk (Parseval-Plancherel-féle tétel):
Z∞
˜ ψ(p) =
ψ(x) √
−∞
1 e−ipx/~ dx. 2π~
(21.14)
Jelöljük az itt szerepl® de Broglie-féle (nulla id®pillanatban vett) síkhullámot
vp (x) =
√ 1 eipx/~ 2π~
1 2π függvény nem integrálható a teljes (−∞, ∞) intervallumon. A fönti (21.13) integrált úgy tekintjük, mint egy kifejtést a vp (x) függvények szerint. Két
vel. Mint már volt szó róla, a
|vp (x)|2 =
ilyen bázisfüggvény skaláris szorzata a Dirac-delta ismert tulajdonsága (Fourier-el®állítása) alapján a következ®:
Z∞
vp∗ (x)vp0 (x)dx = δ(p − p0 ),
(21.15)
−∞ amely egy általánosított ortogonalitási reláció. A Fourier-transzformált és az inverze is létezik, ha
ψ(x)
négyzetesen integrálható, és ha a
Z∞ ψ(x) =
˜ ψ(p)v p (x)dp,
(21.16)
−∞
illetve a
˜ ψ(p) =
R∞ −∞
L2 -beli
vp∗ (x)ψ(x)dx
formában írjuk ezeket, akkor látható, hogy ezek hasonlóak az
diszkrét bázisok szerinti kifejtésekhez, és a teljesség a következ®képpen írható:
Z∞
vp (x0 )vp∗ (x) = δ(x − x0 ).
(21.17)
−∞ A
p
folytonos paraméter által indexelt
tekinthetjük, a bázis elemei a
p
vp (x)
függvények halmazát ezért általánosított bázis nak
paraméter értékében különböznek egymástól.
Három dimenzióban ezek a formulák hasonlóak, ott
vp (r) = √
1 eipr/~ . (2π~)3
21.2.2. Delta-függvények Egy hasonló folytonos paraméterrel illetve paraméterekkel indexelhet® általánosított bázist nyerhetünk, ha tekintjük a következ® azonosságokat a háromdimenziós térben mozgó részecskét leíró
102
hullámfüggvényekre vonatkozóan.
δ(r − r0 )
ψ(r)
Legyen
egy négyzetesen integrálható függvény, ekkor a
Dirac-delta de níciója szerint, nyilvánvalóan fönnáll:
Z∞ ψ(r) = −∞ Z∞
ψ(r0 ) =
ψ(r0 )δ(r − r0 )d3 r,
(21.18)
ψ(r)δ(r − r0 )d3 r0 .
(21.19)
−∞
δ(r − r0 ) általánosított bázisvektorok szerint, amelyeket az r0 folytonos paraméter indexel, és a ψ(r0 ) kifejtési együtthatók egybe esnek a kérdéses függvény értékeivel az r0 helyeken. A második formulát az 0 els®b®l megkaphatjuk úgy is, hogy az els®t megszorozzuk a δ(r − r0 ) komplex konjugáltjával, amely Az els® formula ezek közül úgy interpretálható, hogy a
ψ(r)
függvényt kifejtettük a
valós lévén megegyezik önmagával, és kihasználjuk az
Z∞
δ(r − r0 )δ(r − r00 )d3 r0 = δ(r0 − r00 )
(21.20)
−∞ általánosított "ortogonalitási relációt".
21.2.3. Egyéb általánosított bázisok A kvantummechanikában el®fordul az az eset is, amikor egy négyzetesen integrálható hullámfüggvényt egy a föntiekt®l különböz® az
L2 -be nem tartozó általánosított bázisvektoroknak tekinthet®
wα (r)
függvényekkel, mint kifejtési együtthatókkal:
függvényeken fejtünk ki a
c(α)
Z∞ c(α)wα (r)dα,
ψ(r) =
(21.21)
−∞ ahol a
wα (r)-ek
a következ® tulajdonságúak:
Z∞
wα∗ (r)wα0 (r)d3 r = δ(α − α0 ).
(21.22)
−∞
22. A koordináta és az impulzus operátora, általánosított sajátvektorok Ha az
A
zikai mennyiség spektruma diszkrét és a lehetséges mérési kimenetelek az
ket adják, akkor az
A=
P
i αi |ϕi ihϕi |
mennyiség mérése) során az egyes kimenetelek valószín¶ségi amplitúdóit a tésnek megfelel®
hϕi |ψi
eredménye-
|ψi =
P
i |ϕi ihϕi |ψi kifej-
számok adják. A zikai mennyiségek között azonban a kvantumelméletben
is vannak olyanok, amelyek folytonos értékeket vehetnek föl.
Ilyen pl.
most csak egyik derékszög¶ komponensét vizsgáljuk. Legyen ez lószín¶ségi amplitúdóját, hogy a részecskét a mérés után az komplex számokat az összes lehetséges
hx|ψi ≡ ψ(x)-szel
αi
operátornak megfelel® berendezésen való áthaladás ( zikai
szokás jelölni.
x-re
x
x.
a koordináta, amelynek
Jelöljük
hx|ψi-vel
helyen találjuk.
annak a va-
Ezeket az
hx|ψi
x egy komplex függvényét kapjuk, amelyet |xi -et is szoktuk (általánosított) állapotnak
tekintve, az
Dirac nyomán az
nevezni, noha ez szigorúbb értelemben nem az, amint az alább kiviláglik. Föltételezésünk szerint ezek az
|xi
állapotok azt írják le, hogy a részecske az
valós számok lehetnek, az
|xi
x
helyen van. Mivel ezek az
állapotok kontinuum számosságúak.
103
x-ek
bármilyen
Föltételezzük, hogy ezek egy
teljes rendszert alkotnak általánosított értelemben, azaz segítségükkel bármely állapot kifejthet® folytonos módon:
Z |ψi = Egy diszkrét sajátértékekkel bíró bevezetjük az
X
A=
P
|xihx|ψidx.
(22.1)
i αi |ϕi ihϕi | spektrálfölbontású operátor analogonjára
helykoordináta operátort, amelynek az általánosított spektrális el®állítása
Z X=
x|xihx|dx
(22.2)
alakú. Ennek általánosított sajátvektorai az
|xi-ek,
amelyekkel a (22.1) föltételezés alapján minden
0 |ψi állapot megszorozzuk az hx | -vel, R 0kifejthet®. Valóban, ha (22.1)-et balról formálisan R 0 0 0 akkor az hx |ψi = hx |xihx|ψidx összefüggést nyerjük, vagyis a ψ(x ) = hx |xiψ(x)dx integrális 0 0 kapcsolatot. Látható, hogy ha kikötjük, hogy ez minden x re érvényes maradjon, akkor az hx |xi 0 bels® szorzatra a δ(x − x ) adódik, ami mutatja, hogy ezek a koordináta sajátállapotok a közönséges
közönséges
értelemben nem normálhatók. A bels® szorzatot ebben a reprezentációban
Z hϕ|ψi =
Z
ϕ∗ (x)ψ(x)dx,
hϕ|xihx|ψidx =
azaz a két függvény szorzatának integráljaként lehet fölírni, ami valóban megfelel az bels® szorzatnak, ha
ψ(x)
és
ϕ(x)
normálható függvények. Az
X
(22.3)
L2
térben vett
operátor hatása koordinátarepre-
zentációban a következ®:
Z hx|X|ψi =
x0 hx|x0 ihx0 |ψidx0 =
Z
x0 δ(x − x0 )ψ(x0 )dx0 = xψ(x),
(22.4)
amit néha így is fogunk írni:
ˆ Xψ(x) = xψ(x). Az
ˆ X
jelölés a kalappal az
X
(22.5)
operátor koordinátareprezentációban való hatására utal.
Hasonlóan be lehet vezetni az impulzus-sajátállapotokat is, mint a
Z P =
p|pihp|dp
(22.6)
operátor sajátállapotait. A
Z |ψi =
Z |pihp|ψidp =
˜ |piψ(p)dp
(22.7)
kifejtésb®l:
Z ψ(x) ≡ hx|ψi =
Z hx|pihp|ψidp =
˜ hx|piψ(p)dp,
(22.8)
amib®l (21.13) szerint:
hx|pi = √
1 eipx/~ . 2π~
(22.9)
p e−iEt/~ fázisszorzó erejéig éppen a (22.9) R hp|ψi = hp|xi hx|ψidx b®l is látható hogy
Valóban, de Broglie nyomán, mint a történeti részb®l tudjuk, annak az amplitúdóját, hogy egy impulzusú részecskét az
x
helyen találunk az id®t®l függ®
által megadott képlet adja. Ebb®l következik de a
hp|xi = √ Eszerint a
|ψi
1 e−ipx/~ . 2π~
(22.10)
állapot koordináta- és impulzusreprezentációban vett alakja között a következ® kap-
csolat van:
104
Z 1 e−ipx/~ ψ(x)dx, 2π~ Z Z 1 ˜ ψ(x) = hx|ψi = hx|pihp|ψidp = √ eipx/~ ψ(p)dp. 2π~
˜ ψ(p) = hp|ψi =
Z
hp|xihx|ψidx = √
(22.11)
(22.12)
Vagyis látható, hogy a koordinátareprezentációban vett hullámfüggvény az impulzusreprezentációban vett hullámfüggvény Fourier-transzformáltja és fordítva, amit már korábban is láttunk, vagyis a szokásos Fourier-transzformációs képletek úgy is tekinthet®k, mint a reprezentáció-transzformáció speciális esete. Az impulzus operátora koordinátareprezentációban:
Z
Z 1 ˜ hx|P |pihp|ψidp = p √ eipx/~ ψ(p)dp = 2π~ Z ∂ ∂ 1 ˜ √ = −i~ eipx/~ ψ(p)dp = −i~ ψ(x) =: Pˆ ψ(x). ∂x ∂x 2π~
hx| P |ψi =
(22.13)
Általában háromdimenziós esetben:
hr| P |ψi = −i~∇ψ(r). Egyszer¶en bizonyíthatóan Most megkeressük azt a
ψa (x)
minden
X
és
P
X
és
P
(22.14)
önadjungált operátorok.
sajátfüggvényeit koordinátareprezentációban. Keressük el®ször tehát
függvényt amelyre
ˆ a (x) = xψa (x) = aψa (x) Xψ
(22.15)
(x − a)ψa (x) = 0.
(22.16)
x-re:
x-re csak úgy állhat fönn, ha ψa (x) = 0 mindenhol ahol x 6= a, és nem föltétlenül 0, x = a. Ha ott is nulla lenne, akkor ψa (x) azonosan mindenütt 0 lenne, ezért el®írjuk, hogy x = a-ban nem 0 hanem legyen ott a ψa (x) = hx| ai = δ(x − a)-nak megfelel® függvény, s így
Ez minden ahol az
(22.16) mindenhol fönnáll. Az impulzus esetén a
∂ Pˆ ψp (x) = −i~ ψp (x) = pψp (x) ∂x
(22.17)
ψp (x) = Ceipx/~ ,
(22.18)
egyenlet megoldása
C integrációs ψp (x) = vp (x). ahol a
1 állandót tetsz®legesen választhatjuk, s ha ez éppen √
2π~
akkor látjuk, hogy
22.1. X és P nem fölcserélhet® X, Y, Z
Px , Py , Pz . Vizsgáljuk (XPx − Px X) |ψi-t |φi := X |ψi, ekkor
egymás közt fölcserélhet®, hasonlóan
reprezentációban. Legyen
|χi := Px |ψi
és
koordináta-
∂ψ , ∂x hr|φi ≡ φ(r) = hr| X |ψi = xψ(r),
(22.20)
hr| (XPx − Px X) |ψi = hr| XPx |ψi − hr| Px X |ψi = hr| X |χi − hr| Px |φi = ∂φ ∂ψ ∂ = xχ(r) + i~ = −i~x + i~ (xψ(r)) = ∂x ∂x ∂x = i~ψ(r) = i~ hr|ψi .
(22.21)
hr|χi ≡ χ(r) = hr| Px |ψi = −i~
(22.19)
így
105
Ebb®l
(XPx − Px X) |ψi = i~ |ψi
minden
|ψi-re
(amelyre a kommutátor értelmezve van). Így
XPx − Px X ≡ [X, Px ] = i~. 22.1 Feladat: Adjuk meg az
(22.22)
X
operátor hatását impulzus-reprezentációban. [X n , Px ] = i~nX n−1 d 22.3 Feladat: Az el®z® feladat alapján lássuk be, hogy [f (X), Px ] = i~ dx f (X), ha rátor elegend®en síma függvénye. 22.2 Feladat: Teljes indukcióval bizonyítsuk, hogy
f (X)
az
X
ope-
23. A kvantummechanika posztulátumai 1. A zikai rendszer lehetséges (tiszta) állapotait egy alkalmasan választott Hilbert-tér, az állapottér
|ψi
vektorai adják meg. Ebben benne van a szuperpozíció elve, hiszen a vektorok lineáris kombinációi is vektorok, tehát
ezek is a zikai rendszer lehetséges állapotai. A tiszta jelz® itt arra utal, hogy az állapot a rendszerr®l lehetséges legtöbb információt tartalmazza, az állapotot már preparáltuk. A 2. szakaszban tárgyalt példa esetén pl. a foton már áthaladt egy polarizátoron és tudjuk, hogy ez után milyen a polarizációs állapota.
Egy természetes, polarizálatlan forrásból érkez® fotonok állapotáról nem tudunk mit
mondani, azok polarizálatlanok, s így egy ilyen foton nincs tiszta állapotban, állapotát keveréknek nevezzük.
A tiszta állapot elemzésére alább még visszatérünk, a keverék állapotok matematikai
jellemzésével itt nem foglalkozunk. 2. A zikai mennyiségeknek az állapottéren értelmezett lineáris és önadjungált operátorok felelnek
meg. Egy zikai mennyiséget egy mér®berendezéssel állapítunk meg, az önadjungált operátorokra tehát úgy tekinthetünk, mint amelyek egy ilyen berendezés matematikai megfelel®i.
Egy zikai
mennyiséget ezért néha meg gyelhet® mennyiségnek (observable) is szokás nevezni. 3. Az
α
A
operátorral jellemzett zikai mennyiség lehetséges mért értékei az operátor valamelyik
sajátértéke. Ezek a sajátértékek, mint tudjuk valós számok, és lehetnek diszkrétek, azaz kvantáltak, de
lehetnek folytonos változók is. 4. Ha az
A
zikai mennyiséget mérjük a normált
|ψi (hψ|ψi = 1) állapotban, akkor αn sajátértéket kapjuk eredményül
(i) diszkrét spektrum esetén annak a valószín¶sége, hogy az
P(αn ) = hψ|En |ψi , ahol
En
az
A
operátor
αn
(23.1)
sajátértékéhez tartozó sajátalterére vetít® projekciós operátor;
(ii) folytonos spektrum esetén annak a valószín¶sége, hogy
a
mért általánosított sajátérték
α
az
(α1 , α2 ) intervallumba esik
Z
α2
P(α1 < α < α2 ) =
hψ|Eα |ψi dα,
(23.2)
α1 ahol
Eα
az
α
általánosított sajátértékhez tartozó projekció.
A fönti kijelentéseket egy kissé másképpen is megfogalmazhatjuk. Tekintsük el®ször a diszkrét
i i i Ha un az αn sajátértékhez tartozó sajátaltér egy ortonormált A αn un (i = 1, 2, · · · gn ), azaz az αn sajátérték gn -szeresen degenerált, Pgunn = uin uin , s így (23.1) szerint
spektrum esetét.
bázisa, azaz akkor
En =
i=1
P(αn ) = hψ|En |ψi =
gn X
ψ|uin
i=1
gn i X un |ψ = |huin |ψi |2 . i=1
106
(23.3)
Az
uin |ψ = cin
jelöléssel, amelyek a
|ψi állapot kifejtési együtthatói az altérben lév® bázisvektorok
szerint
P(αn ) =
gn X
|cin |2 .
(23.4)
i=1 Az eredmény független az
i un
bázis konkrét választásától, hiszen a (18.4) alpontban láttuk, hogy
a projekció egyértelm¶. A valószín¶séget szemléletesen úgy kapjuk, hogy a
E -nek
|ψi vektort levetítjük az
megfelel® síkra, majd a vetület hosszának négyzetét vesszük.
Abban a legegyszer¶bb esetben, amikor
αn
nem degenerált, azaz
gn = 1
, akkor
P(αn ) = | hun |ψi |2 = |cn |2 ,
(23.5)
|ψi állapot és az |un i sajátállapot bels® szorzatának |ψi E -nek azE|un i irányába es® vetületének a négyzete. E β Folytonos spektrum esetén, azaz ha A wα = α wαβ , ahol α folytonos paraméter, és wαβ -k általánosított sajátvektorok, amelyek egy további mondjuk folytonos β degenerációs paraméterR β E D β rel is indexelhet®k, akkor Eα = wα wα dβ , s így annak a valószín¶sége, hogy a mért érték az α1 és α2 értékek közé esik: Z α2 Z D E 2 β P(α1 < α < α2 ) = (23.6) wα |ψ dβdα, azaz a kérdéses valószín¶ség éppen a mérés el®tti az abszolútérték-négyzete, vagy szemléletesen a
α1
ahol a második integráljel alsó
β
β
indexe azt jelzi, hogy az összes lehetséges
β -ra
integrálni kell.
Ha a mért mennyiség spektruma folytonos, de a degeneráció diszkrét, illetve ha a mért mennyiség diszkrét és a degeneráció folytonos, akkor a fönti összefüggések értelemszer¶en módosulnak. Ezekre a kés®bbiekben látunk példát. 5.
Ha az A operátorral jellemzett zikai mennyiség mérése a
|ψi
normált állapotban az
αn
diszkrét sajátértéket adja, akkor a mérés után közvetlenül a rendszer állapota a
p 0 ψ = En |ψi / hψ|En |ψi normált vektor, ahol
En
az
αn -nek
(23.7)
megfelel® altérre vetít® projekciós operátor.
Ha a mért mennyiségnek megfelel® operátor spektruma folytonos, akkor a mérési eredményr®l szükségképpen csak annyi állapítható meg, hogy
α
valamely
∆α = α2 − α1
intervallumba esik, mert
egy folytonos változónak mindig van valamilyen hibája, egy ilyen mérés nem elegend®en teljes. Ekkor a mérés után az állapot
p 0 ψ = E∆α |ψi / hψ|E∆α |ψi, ahol
Z
α2
E∆α = α1
(23.8)
Z ED β wα wαβ dβdα
(23.9)
β
és (23.6)-hoz hasonlóan egy folytonos degenerációt is föltételeztünk.
Ezt a posztulátumot szokás
redukciós posztulátumnak nevezni. A legegyszer¶bb esetben, ha a diszkrét spektrumhoz tartozó
αn
nem degenerált, és
αn |un i akkor a végállapot éppen |un i egy egységnyi abszolút érték¶ konstansszorosa αn sajátértékhez tartozó normált sajátvektor. Ugyanis ekkor En = |un i hun |, s így
A |un i =
vagyis egy az
p p 0 ψ = En |ψi / hψ|En |ψi = |un i hun | ψi/ hψ |un i hun | ψi = |un i hun | ψi . (23.10) | hun | ψi| pPgn Pgn i i P i 2 un un . Így a mérés utáni állapot gn cin uin / Ha αn degenerált, akkor En = i=1 i=1 i=1 |cn | ,
i i ahol a cn = un ψi. 6. Az állapot id®fejl®dését a Schrödinger-egyenlet adja meg:
i~
∂ |Ψi = H |Ψi . ∂t 107
(23.11)
ahol a
H
a rendszer energiájának megfelel® operátor, a Hamilton-operátor. Ennek és általában egyéb
operátorok konkrét alakjának a megadásához az elmélet bizonyos iránymutatásokat ad, lásd alább a kvantálási szabályokra vonatkozó pontot. De csakúgy mint ahogyan a klasszikus mechanikában a Hamilton-függvényt, vagy az er®törvények alakját a Newton-féle törvények nem rögzítik, ugyanúgy az operátorok konkrét alakjának megadása sem része a kvantummechanika posztulátumainak. 7. Sokrészecskerendszerekre vonatkozó posztulátum, amelyb®l speciálisan következik a Pauli-elv. Ezt a posztulátumot kés®bb fogjuk kimondani.
A posztulátumokat kiegészítjük még az úgynevezett kvantálási szabályokkal. klasszikus zikai mennyiség, a koordináta és impulzus valamilyen függvénye kvantummechanikai operátort úgy kapjuk, hogy az
P
As (R, P)
A(r, p).
Legyen
A
A megfelel®
operátort tekintjük, ahol
As
az
R
és
szimmetrizált függvénye. Bizonyos esetekben azonban az operátort más megfontolások alapján keressük meg. Azt, hogy
az így vagy úgy fölírt operátor alakja helyes-e, az eredményekb®l levont zikai következtetések helyessége, azaz a modell konzisztenciája dönti el. Ez hasonló ahhoz, ahogyan a klasszikus zikában az er®törvények helyes alakját az dönti el, hogy a megfelel® mozgásegyenletb®l következ® megoldás, azaz a koordináták és impulzusok id®függése megegyezik-e a tapasztalattal.
24.
Mérések, középérték, szórás
A kvantummechanikában egy
A
zikai mennyiség mérésekor kapott eredmény a véletlent®l függ,
azaz matematikai értelemben a mérési eredmény egy valószín¶ségi változó. Ha az séghez tartozó operátor
A,
A
akkor a 3. posztulátum szerint a mért eredmények az
zikai mennyi-
A
sajátértékei.
Tekintsünk egy mérési sorozatot, amelyet olyan részecskéken mérünk, amelyek mindegyike a mérés
|ψi
el®tt azonos
állapotban van, tehát ezeket el®z®leg már preparáltuk. Tegyük föl el®ször, hogy a
mért sajátértékek diszkrétek, és jelöljük
Nk -val
azt a számot, ahányszor a mérési eredmény
αk -nak
adódott. Ekkor a mért mennyiségek számtani közepét
hAi-val
jelölve:
1 X Nk αk , N
hAi =
(24.1)
k
ahol
N=
P
k
Nk
az összes mérések száma. Az
Nk N számot, amelyre érvényes, hogy
0≤
Nk N
≤ 1, az αk
mérése relatív gyakoriságának nevezzük. A (24.1) képlet a kísérletek nyomán kapható középérték, most ezt a formulát extrapolálva Ha az az
αk
N
N →∞
esetére, egy elméleti eredményt írunk le.
szám egyre nagyobb, illetve gondolatban a végtelenbe tart, akkor az
Nk N hányados tart
mérésének valószín¶ségéhez
Nk → P(αk ). N A fönti (24.1) összegb®l így kapott határértéket az A zikai mennyiség, illetve kában inkább az A operátor várható értékének nevezzük és hAi -val jelöljük: X hAiψ = P(αk )αk .
(24.2) a kvantummechani-
(24.3)
k A valószín¶ségszámításban ezt a mennyiséget a mérési eredmény, mint valószín¶ségi változó várható
értékének nevezik. A kvantummechanika 4. posztulátuma szerint a határozni a mért bemen® állapot, illetve az szerint
P(αk ) =
P i 2 i | uk |ψ |
ha az
αk
A
P(αk ) valószín¶séget meg tudjuk
operátor sajátvektorai segítségével. A posztulátum
degenerált.
108
Ha
αk
nem degenerált, akkor ez az utóbbi
összeg csak egy tagból áll. Így
hAiψ =
XX
XX
| uik |ψ |2 αk = ψ|uik uik |ψ αk = i
k
i
k
XX
XX
ψ|Auik uik |ψ = hψ|Aψi . = ψ|αk uik uik |ψ = i
k
k
(24.4)
i
Ha a kérdéses mért mennyiség folytonos változó, azaz az operátor spektruma folytonos, akkor jelöljük ahol
Nk -val azt a számot, ahányszor a mérési eredményünk a ∆αk = αk+1 −αk intervallumba esik,
αk a lehetséges mérési Nk /N ≈ P(˜ αk )∆αk ,
Ekkor
értékeket megadó valós egyenes vagy szakasz egy diszkrét beosztása. ahol
α ˜k
egy a
∆αk
intervallumba es® érték.
de níciójának. Ebb®l a mérési eredmények számtani közepe beosztás nomítása esetén az
hAiψ =
X
R
αP(α)dα
Ezt tekintjük a
˜ k P(˜ αk )∆αk , kα
P(˜ αk )
N
növelése és a
α |hwα |ψi|2 dα = hψ|Aψi ,
(24.5)
ami
integrálhoz tart:
Z α ˜ k P(˜ αk )∆αk →
P
Z αP(α)dα =
k ahol most
|wα i
az
A
operátor nemdegenerált
α
általánosított sajátértékéhez tartozó általánosított
sajátvektora. A várható érték lineáris a következ® értelemben:
hA + Biψ = hAiψ + hBiψ ,
hcAiψ = c hAiψ .
(24.6)
Egy másik mennyiség a valószín¶ségszámításban szintén használt szórás, amely az átlagtól való közepes négyzetes eltérés négyzetgyöke. A zikai mennyiség szórásnégyzetét a
E D (∆A)2ψ = (A − hAiψ )2 = A2 ψ − hAi2ψ
(24.7)
összefüggés de niálja. Ennek (pozitív) négyzetgyöke a szórás. Megmutatjuk, hogy a szórás akkor és csak akkor
0,
ha a rendszer a mért
A ha
A
operátor sajátállapotában van. Legyen ugyanis
ψ|(A − hAi)2 ψ = h(A − hAi)ψ|(A − hAi)ψi = 0.
0-val való egyenl®ség (A − hAi) |ψi = 0. Ez
(24.8)
a bels® szorzat pozitív de nit volta miatt akkor és csak akkor érvényes, utóbbit az
A |ψi = hAi |ψi alakba írva látható, hogy ilyenkor
|ψi
(24.9)
éppen egy sajátállapot. Valóban, a sajátállapotokon végre-
α sajátértéket adja eredményül, s ekkor ezek várható értéke ugyanez a sajátérték, és a szórás nyilvánvalóan 0. Kiemeljük, hogy mind az hAi várható érték, mind a szórás függ attól a |ψi állapottól, amelyen hajtott mérés mindig ugyanazt a hozzá tartozó
a méréseket végrehajtjuk.
25.
Heisenberg-egyenl®tlenség
Ha két zikai mennyiség operátora fölcserélhet®, akkor mint láttuk, létezik olyan bázis, amely mindkét operátornak egyszerre sajátvektorrendszere. Ezeken az állapotokon hajtva végre a mérést, mindkét mennyiség szórásmentesen mérhet®. Ha viszont a két operátor nem fölcserélhet®, akkor általában nincs ilyen bázisvektorrendszer és ekkor azt szokás mondani, hogy a két mennyiség nem mérhet® egyidej¶leg, noha itt id®r®l valójában nincsen szó. Szimbolikusan mutatja ezt az eredményt az 7. ábra.
109
7. ábra. A két mennyiséget, A-t és B-t mérve különböz® sorrendben az eredmény nem ugyanaz.
Ha a két mennyiség operátora nem fölcserélhet®, akkor tetsz®leges állapotban fönnáll egy, a mért mennyiségek, azaz a megfelel® operátorok szórására vonatkozó egyenl®tlenség.
Ha
A
és
B
önadjungált operátorok, és ezek nem fölcserélhet®k, akkor kommutátoruk
[A, B] = iC, ahol
C
(25.1)
szükségképpen önadjungált operátor. Ez esetben érvényes az alábbi:
(∆A)(∆B) ≥ |hCi|/2
(25.2)
Heisenberg- vagy Heisenberg-Robertson-egyenl®tlenségnek nevezett összefüggés. A bizonyításhoz tekintsük el®ször a lineáris vektorterekben értelmezett bels® szorzat egy fontos tulajdonságát az ún. Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-(Weyl)-egyenl®tlenséget (CBS), amely szerint két tetsz®leges vektor
|ϕi
és
|χi
esetén
hϕ|ϕi hχ|χi ≥ |hϕ|χi|2 ,
(25.3)
és egyenl®ség akkor és csak akkor lehetséges, ha a két vektor valamelyike a zéró vektor, vagy ha a
|ϕi = λ |χi , ahol λ valamilyen komplex szám. Bizonyítás: Ha |χi = 0, vagy ha |ϕi = 0 akkor mindkét oldalon 0 áll, és az egyenl®tlenség (egyenl®ség formájában) nyilvánvalóan teljesül. Legyenek ezután |ϕi, |χi = 6 0 tetsz®leges vektorok és λ tetsz®leges komplex szám. Tekintsük a |ϕ − λχi önmagával vett bels® szorzatát, azaz a vektor normájának négyzetét, amely de níció szerint nemnegatív: hϕ − λχ|ϕ − λχi ≥ 0, és akkor és csak akkor 0, ha |ϕ − λχi maga a zéró vektor. Eszerint 0 ≤ hϕ − λχ|ϕ − λχi = hϕ|ϕi+|λ|2 hχ|χi−λ hϕ|χi−λ∗ hχ|ϕi, ahol λ tetsz®leges. Legyen speciálisan λ = hχ|ϕi / hχ|χi. Ekkor 0 ≤ |ϕ|2 + |λ|2 |χ|2 − λ hϕ|χi − λ∗ hχ|ϕi = |ϕ|2 + | hϕ|χi |2 / hχ|χi − | hϕ|χi |2 / hχ|χi − | hϕ|χi |2 / hχ|χi, 2 amib®l átrendezéssel következik, hogy hϕ|ϕi hχ|χi ≥ |hϕ|χi| . Látható, hogy valóban egyenl®ség 2 van, ha |ϕi = λ |χi, és fordítva, ha hϕ|ϕi hχ|χi = |hϕ|χi| , akkor λ = hχ|ϕi / hχ|χi választásával hϕ − λχ|ϕ − λχi = 0, amib®l következik, hogy |ϕi = λ |χi. Most áttérünk a (25.2) egyenl®tlenség bizonyítására. Legyen |ψi tetsz®leges nem zéró vektor, és jelöljük A várható értékét a |ψi állapotban hAi-val, hAi = hψ|Aψi, és hasonlóan legyen hBi = hψ|Bψi. Legyen most |ϕi = (A − hAi) |ψi , (25.4) két vektor arányos egymással azaz
illetve
|χi = (B − hBi) |ψi . 110
(25.5)
Ekkor a
|ψi
állapotban vett szórás de níciója szerint:
hϕ|ϕi = (∆A)2 ,
hχ|χi = (∆B)2 ,
illetve
(25.6)
továbbá
|hϕ|χi|2 = |h(A − hAi)ψ|(B − hBi)ψi|2 = = |hψ|(A − hAi)(B − hBi)ψi|2 = |hABi − hAi hBi|2 .
(25.7)
Beírva ezeket a CBS-egyenl®tlenségbe kapjuk, hogy
|hABi − hAi hBi|2 ≤ (∆A)2 (∆B)2 . A bal oldalon
(25.8)
hABi−hAi hBi abszolút érték négyzetét a valós és képzetes rész négyzetösszegeként A és B önadjungált, tehát várható értékük valós. Az els®
számítjuk ki. A második tag itt valós, mert tagban az
AB
operátor várható értékét bontsuk föl az operátor szimmetrikus és antiszimmetrikus
részének várható értékére, azaz tekintsük a következ® azonosságot:
hABi ≡
1 1 (AB + BA) + (AB − BA) 2 2
ahol kihasználtuk, hogy az antiszimmetrikus tag éppen
1 1 (AB + BA) + i C , 2 2
(25.9)
B
iC/2.
= A
és
kommutátorának a fele, azaz
Az els® tag a szimmetrikus rész egyszer¶en láthatóan önadjungált, tehát várható értéke valós, míg iC/2 várható értéke tiszta képzetes i hCi /2. A (25.8) bal oldalán álló abszolút érték négyzethez hABi − hAi hBi valós része 1 (AB + BA) − hAi hBi =: σAB , (25.10) 2 amelyet az
A
és
B
operátorok korrelációjának nevezünk a
része viszont éppen
hCi /2.
|ψi
állapotban.
hABi − hAi hBi
képzetes
Így a (25.8) bal oldalán szerepl® abszolút érték négyzet, vagyis a valós
és képzetes rész abszolút értékének négyzetösszege
2 + σAB
1 4
|hCi|2 ,
azaz (25.8) a következ®képpen
írható
2 (∆A)2 (∆B)2 ≥ σAB + |hCi|2 /4.
(25.11)
Ez a Heisenberg-Robertson-egyenl®tlenség er®s alakja. Az egyenl®tlenség láthatóan a
2 σAA σBB − σAB ≥ |hCi|2 /4
(25.12)
formába is írható. Ennek az egyenl®tlenségnek azonban gyakran egy gyöngébb alakját használjuk. Mivel
2 σAB
nemnegatív, a (25.11) összefüggés jobb oldalát ezzel csökkentve az egyenl®tlenség még
inkább érvényes lesz, tehát
(∆A)2 (∆B)2 ≥ |hCi|2 /4,
(25.13)
(∆A)(∆B) ≥ |hCi|/2,
(25.14)
vagyis
amely az egyenl®tlenség általában használt alakja.
Lényeges, hogy az itt szerepl® mennyiségek,
tehát a szórás, illetve a várható értékek függenek attól az állapottól, amelyre vonatkozóan kiszámítjuk ezeket, de az egyenl®tlenség tetsz®leges olyan állapotban érvényes, amelyekre az értelmezve vannak.
A, B
és
írta föl. Speciálisan, az
C
Az egyenl®tlenség (25.14) alakját tetsz®leges operátorokra el®ször Robertson
A = X, B = P
operátorok esetére
111
[X, P ] = i~
miatt az egyenl®tlenség alakja
(∆X)(∆P ) ≥ ~/2,
(25.15)
amelyet, Heisenberg-egyenl®tlenségnek, illetve néha bizonytalansági (határozatlansági) relációnak szokás nevezni. Az egyenl®tlenségek ezen alakjai statisztikus jelentés¶ek, a szórásokat illetve a várható értékeket egy adott állapoton elvégzett sok mérésb®l lehet kiszámítani, és az egyenl®tlenség ezekre vonatkozik. Ebben az értelemben a (25.15) egyenl®tlenséget el®ször Schrödinger írta föl. Heisenbergt®l egy más zikai jelentés¶ egyenl®tlenség származik, amelyet ® az ún. gamma-mikroszkópja kapcsán mutatott be.
Eszerint egyetlen helymérés során az impulzus megváltozik és fordítva, úgy, hogy egyetlen
mérésben az elvi bizonytalanságok szorzata nagyobb mint
h.
Ennek ellenére hagyományosan az
(25.15) egyenl®tlenséget szokták Heisenberg-egyenl®tlenségnek nevezni.
8. ábra.
Vizsgáljuk meg, hogy melyek azok a speciális
|ψ0 i
állapotok, amelyekre
(∆A)ψ0 (∆B)ψ0 = |hCiψ |/2,
(25.16)
0
azaz amelyekre a szórások szorzata a megfelel® operátorok fölcserélhetetlenségéb®l következ®en a lehet® legkisebb.
Ezekre az állapotokra egyrészt a kiinduló Cauchy-Schwartz-egyenl®tlenségben
egyenl®ségnek kell állnia, azaz a
|ϕi = λ |χi
-b®l következ®
(A − hAi) |ψ0 i = λ(B − hBi) |ψ0 i
(25.17)
egyenletnek kell teljesülnie. Más szóval a két operátor a kérdéses állapoton csak egy konstansszorosban különbözhet egymástól. Az egyenl®séghez emellett még az is szükséges, hogy
σAB
elt¶njék
a (25.11) szerint. Számítsuk ki az ezekhez az állapotokhoz tartozó
hϕ|χi
illetve
hχ|ϕi
hψ0 |(A − hAi)(B − hBi)ψ0 i = (∆A)2 /λ, 2
hψ0 |(B − hBi)(A − hAi)ψ0 i = λ(∆B) . 2σAB különbsége i hCi melyben σAB = 0, tehát
Itt a bal oldalak összege
|ψ0 i
állapotban,
bels® szorzatokat: (25.18) (25.19)
ezért ugyanez áll a jobb oldalakra is. A keresett
(∆A)2 /λ + λ(∆B)2 = 0, 2
2
(∆A) /λ − λ(∆B) = i hCi ,
112
(25.20) (25.21)
amib®l
λ =
2(∆A)2 ihCi
=
−ihCi . 2(∆B)2
ségbe megy át érvényes, hogy
Tehát a keresett állapotokon, azokon amelyeken (25.14) egyenl®-
(A − hAi) |ψ0 i = λ(B − hBi) |ψ0 i,
a fönti
λ-val.
Ezeket intelligens
állapotok nak szokás nevezni. Például, ha
A = X,
és
B = Px
egy egydimenziós mozgás esetén, akkor koordinátareprezentáci-
óban
(x − hXi)ψ0 (x) =
2(∆X)2 ∂ (−i~ − hPx i)ψ0 (x). i~ ∂x
(25.22)
Ennek a dierenciálegyenletnek a normált megoldása:
ψ0 (x) = p 4
(x − hXi)2 + i hP i x/~ . exp − x 4(∆X)2 2π(∆X)2 1
(25.23)
Ez a minimális határozatlanságú hullámcsomag, amelynek abszolútérték-négyzetét, (azaz a koordináta, mint valószín¶ségi változó valószín¶ségi s¶r¶ségfüggvényét) Gauss-eloszlásnak vagy másnéven normális eloszlásnak nevezzük. A közvetlen számítás is egyszer¶en mutatja, hogy ebben az
hXi,
állapotban a koordináta várható értéke éppen
∆X ,
az impulzusé pedig
az impulzusé
hPx i,
a koordináta szórása éppen
∆Px = ~/2(∆X).
25.1 Feladat: Oldjuk meg a (25.22) dierenciálegyenletet. 25.2 Feladat: Keresük meg
ψ0 -t
impulzusreprezentációban úgy, hogy a megfelel® egyenletet impul-
zusreprezentációban oldjuk meg. Keressük meg
ψ0 (x)
Fourier-transzformáltját.
26. Id®fejl®dés, Schrödinger-egyenlet, kontinuitási egyenlet
26.1. A Schrödinger-egyenlet általános tulajdonságai A Schrödinger-egyenlet alakja:
i~ ahol
|Ψ(t)i
∂ |Ψ(t)i = H |Ψ(t)i , ∂t
(26.1)
a rendszer id®t®l függ® állapotát megadó vektor.
Az egyenlet egyik fontos tulajdonsága, hogy lineáris. megoldás, akkor megoldás a
c1 |Ψ1 i + c2 |Ψ2 i
vektor is, ahol
Ez azt jelenti, hogy ha
c1
és
c2
|Ψ1 i
és
|Ψ2 i
komplex állandók. Az összeg
végtelen sok tagra is kiterjeszthet®. A linearitás azért teljesül, mert az id® szerinti deriválás lineáris, illetve a másik oldalon a Hamilton-operátor is lineáris, azaz tagonként alkalmazható. lényeges tulajdonság, hogy az egyenlet id®ben els®rend¶, tehát megadva egy
További
|Ψ(t0 )i kezdeti föltételt,
a kés®bbi id®pontokban az állapot elvileg meghatározható. Erre vonatkozóan alább látunk majd egy módszert.
A linearitással kapcsolatban itt megemlítjük, hogy természetesen a fönt említett több
különböz® megoldás különböz® kezdeti föltételekhez tartozik. egyenlet meg®rzi az állapot miatt
1-nek
hΨ|Ψi normáját.
szoktuk választani.
Egy további tulajdonság, hogy az
Ezt a normát mint tudjuk a valószín¶ségi értelmezés
A bizonyításhoz deriváljuk a normát id® szerint, használjuk a
Schrödinger-egyenletet, továbbá azt, hogy a
H
önadjungált:
∂ ∂Ψ ∂Ψ hΨ|Ψi = h |Ψ(t)i + hΨ(t)| i= ∂t ∂t ∂t 1 1 = h HΨ|Ψ(t)i + hΨ(t)| HΨi = i~ i~ 1 1 = − hHΨ|Ψ(t)i + hΨ(t)|HΨi = 0. i~ i~
113
(26.2)
Mivel a derivált
0,
a
hΨ|Ψi
állandó, s így, ha kezdetben
1
volt, akkor a továbbiakban is
1
hΨ(t)|Ψ(t)i = 1.
marad. (26.3)
A Schrödinger-egyenlet fönti tulajdonságai miatt bevezethet® egy lineáris operátor, amely a
t = t0
|Ψ(t0 )i-hoz
id®pillanatban vett
hozzárendeli a
t
id®beli
|Ψ(t)i-t.
Ennek az úgynevezett
evolúciós operátornak a de níciója így
U (t, t0 ) |Ψ(t0 )i = |Ψ(t)i ,
(26.4)
amely a (26.3) szerint azzal a tulajdonsággal is bír, hogy
hU (t, t0 )Ψ(t0 )|U (t, t0 )Ψ(t0 )i = hΨ(t0 )|Ψ(t0 )i = 1. Ha ez minden
(26.5)
Ψ(t0 )-ra fönnáll, akkor abból következik, hogy U † (t, t0 )U (t, t0 ) = U (t, t0 )U † (t, t0 ) = 1,
s az ilyen tulajdonságú operátort unitérnek nevezzük. Tekintsünk egy
V (r)
potenciáltérben mozgó részecskét, melynek Hamilton-operátora
H=
P2 + V (r). 2m
(26.6)
A Schrödinger-egyenlet alakja így:
∂ |Ψ(t)i i~ = ∂t
P2 + V (r) |Ψ(t)i . 2m
(26.7)
Írjuk ezt most koordinátareprezentációba:
P2 + V (r) |Ψ(t)i , 2m
(26.8)
∂Ψ(r,t) ~2 =− ∆Ψ(r,t) + V (r)Ψ(r,t). ∂t 2m
(26.9)
∂ |Ψ(t)i = hr| i~ hr| ∂t azaz
i~
Ez utóbbi egyenletet írta föl lényegében Schrödinger és ennek speciális stacionárius megoldásait használta sajátérték-egyenletként, amir®l kés®bb esik majd szó.
26.2. Kontinuitási egyenlet Most a koordinátareprezentációba írt (26.9) Schrödinger-egyenlet egy következményét fogjuk levezetni, amelyet kontinuitási egyenletnek nevezünk.
Szorozzuk a (26.9) egyenletet
Ψ(r,t)-vel és vonjuk ki az el®bbib®l az ∂Ψ∗ ~2 ∗ ∂Ψ i~ Ψ +Ψ =− (Ψ∗ ∆Ψ − Ψ∆Ψ∗ ) , ∂t ∂t 2m
komplex konjugált egyenletet pedig
ahol kihasználtuk, hogy a
V
valós, tehát a
az
i~
V (r)ΨΨ∗
Ψ∗ (r,t)-vel,
a
utóbbit:
(26.10)
tagok kiejtik egymást. Az utóbbi egyenletet
~2 ∂ (Ψ∗ Ψ) = − ∇ (Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) ∂t 2m
(26.11)
alakba is írhatjuk, azaz
∂ ~ |Ψ(r,t)|2 + ∇ (Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) = 0. ∂t 2mi A
|Ψ(r,t)|2 = ρ(r,t)
(26.12)
a részecske térbeli megtalálásának valószín¶sége, a
~ (Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) := j 2mi 114
(26.13)
vektort pedig valószín¶ségi árams¶r¶ség vektornak nevezzük. A (26.12) alapján fönnáll a
∂ ρ(r,t) + ∇j = 0 ∂t
(26.14)
kontinuitási egyenletnek nevezett összefüggés, amely formailag teljesen analóg a folyadékok mechanikájának illetve az elektrodinamikának a kontinuitási egyenletével, melyek a tömeg, illetve a töltés megmaradását fejezik ki.
A (26.14) kvantummechanikai változat a
ρ
és
j
értelmezése sze-
rint a részecske megtalálási valószín¶ségének lokális megmaradását fejezi ki. Ezt a szokásos módon integrális alakban is megfogalmazhatjuk. Egy rögzített térfogatra integrálva, a Gauss-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy
I
Z
∂ ∂t
ρ(r,t) = −
V
(26.15)
F
V A bal oldalon a részecske
jndf.
térfogaton belüli megtalálási valószín¶ségének id®beli változása áll, míg
a jobb oldalon az a valószín¶ségi áram, ami "befolyik" a térfogatba a zárt vektor a felületb®l kifelé mutat). Ez indokolja
j elnevezésének jogosságát.
F
felületen át (az
n
Azaz, ha valahol változik
a megtalálási valószín¶ség, az azzal jár, hogy a szomszédos helyeken is változik, éspedig úgy, hogy a nettó változás elt¶nik.
27.
A várható értékek id®fejl®dése, Ehrenfest tétele
Vizsgáljuk az
A
önadjungált operátor által reprezentált zikai mennyiség
hΨ(t)|AΨ(t)i ≡ hAi várható értékének id®fejl®dését a
|Ψ(t)i
(27.1)
állapotban. Id® szerinti dierenciálással és a Schrödinger-
egyenlet fölhasználásával nyerjük, hogy
∂ hAi i = h[H, A]i + ∂t ~ Speciálisan az
R
és
P
∂A ∂t
.
operátorokra alkalmazva a fönti összefüggést egy
(27.2)
H=
P2 2m
+ V (R)
Hamilton-
operátor esetén kapjuk, hogy
∂ hRi hPi = , ∂t m ∂ hPi = − h∇V (R)i . ∂t
(27.3) (27.4)
A (27.3 és 27.4) összefüggésekben a kommutátornak a 22.3 feladatban bizonyított deriváló tulajdonságát használtuk.
Ez utóbbiakat, melyek a klasszikus mozgásegyenlet kvantumos megfelel®i,
nevezzük Ehrenfest tételeinek.
Hasonlóságok és különbségek a klasszikus mozgásegyenlettel:
Vizsgáljuk meg most, hogy
Ψ(r, t) hullámfüggvénnyel hRit várható érték három, már csak az id®paramétert®l függ® számot 2 jellemz®je a mozgásának, mert ez csupán a |Ψ(r, t)| valószín¶ségi s¶r¶ség
milyen értelemben felelnek ezek meg a klasszikus mozgásegyenletnek egy jellemzett részecske esetén. Az jelent, ez egy durva súlypontja.
Fölvet®dik a kérdés, hogy ez a súlypont úgy mozog-e mint a megfelel® klasszikus
Fcl klasszikus er®nek a súlypont helyén vett értéke állana, azaz, ha érvényes lenne, hogy Fcl (r = hRi) = −∇V (r = hRi). Azonban a jobb oldalon mechanikai probléma esetén maga a részecske. Ez akkor lenne így, ha (27.4) jobb oldalán az
− h∇V (R)i = 6 −∇V (r = hRi) 115
(27.5)
áll, mert egy függvény várható értéke általában nem egyenl® a függvény értékével a változó várható értékének helyén.
|Ψ(r, t)|2
Ezért a
súlypontja nem úgy mozog, ahogyan a megfelel® klasszikus
részecske az adott potenciálban. Meg lehet mutatni, hogy kivételt ez alól azok az esetek jelentenek, amikor a
V
potenciál legföljebb kvadratikus függvénye a koordinátának, azaz az er®mentes részecske,
az állandó er® hatása alatt mozgó részecske, és a koordináta négyzetét®l függ® potenciális energia esetén, amely ha vonzó, akkor éppen a harmonikus rezgésnek felel meg.
Az említett kivételes
eseteken kívül viszont (27.5)-ben nincs egyenl®ség.
Ψ(r, t) állapotot, amely igen jól lokalizált. Ez alatt azt értjük, |Ψ(r, t)|2 különbözik nullától a ∇V (r), vagyis az er®, lényegében
Tekintsünk azonban egy olyan hogy azon a tartományon ahol
állandó. Ekkor koordinátareprezentációban számolva közelít®leg érvényes, hogy
Z
Z d3 rΨ* (r, t)[∇V (r)]Ψ(r, t) = d3 r|Ψ(r, t)|2 [∇V (r)] ≈ Z ≈ ∇V (r = hRi) d3 r|Ψ(r, t)|2 = ∇V ((r = hRi)
h∇V (R)i =
(27.6)
∇V (r), közel állandó lévén, kivihet® az integráljel elé az r = hRi helyen vett értékével, ahol |Ψ(r, t)|2 lokalizálva van. Ebben az esetben tehát a |Ψ(r, t)|2 súlypontja közelít®leg úgy mozog,
mert a
mint a megfelel® er® hatása alatt mozgó klasszikus részecske. Ez felel meg a klasszikus határesetnek.
28. Az id®függ® Schrödinger-egyenlet megoldása konzervatív rendszerekre. Tegyük föl, hogy az
i~ Schrödinger-egyenletben
H
∂ |Ψi = H |Ψi ∂t
(28.1)
nem függ az id®t®l. Keressük ennek az egyenletnek a megoldását a
H
sajátvektorai
H |um,i i = εm |um,i i
(28.2)
szerinti sorfejtés alakjában:
|Ψ(t)i =
X
cim (t) |um,i i ,
(28.3)
m,i ahol föltételeztük azt, hogy az
|um,i i
H
spektruma diszkrét. Itt a
cim (t)
együtthatók az id® függvényei, és
rendszer az id®t®l független ortonormált bázis a térben.
Az utóbbi tulajdonságot a
H
önadjungált volta biztosítja. Írjuk be ezt a sorfejtést (28.1)-be, kapjuk, hogy
i~
X ∂ X X cim (t) |um,i i = H cim (t) |um,i i = cim (t)εm |um,i i . ∂t m,i
m,i
Szorozzuk meg az egyenletet skalárisan
(28.4)
m,i
|un,k i-vel,
és használjuk ki az
|um,i i
rendszer ortonormált
voltát. Kapjuk, hogy
i~ amelynek megoldása
∂ k c (t) = ckn (t)εn , ∂t n
ckn (t) = ckn (t0 )e−iεn (t−t0 )/~ ,
ahol a
ckn (t0 )-k
(28.5) az együtthatók a
t0
id®pillanatban.
Ezek szerint a megoldás:
Ψ(t) =
X
ckn (t0 )e−iεn (t−t0 )/~ |un,k i .
(28.6)
n,k Ezek szerint a Schrödinger-egyenlet megoldásának egyik lehetséges módja, ha megkeressük
H
sa-
játértékeit és sajátvektorait, mert ezek segítségével a megoldás a fönti sor segítségével el®állítható.
116
A
ckn (t0 )
kezdeti kifejtési együtthatókat a keresett megoldás kezdeti értéke szabja meg, amelyet egy
konkrét megoldás fölírásához meg kell adnunk. Legyen ez
|Ψ(t0 )i =
X
|Ψ(t0 )i,
akkor
ckn (t0 ) |un,k i ,
(28.7)
n,k amib®l
ckn (t0 ) = hun,k |Ψ(t0 )i . Így egy adott kezdeti
|Ψ(t0 )i-hoz
(28.8)
tartozó megoldás:
|Ψ(t)i =
X
e−iεn (t−t0 )/~ |un,k i hun,k |Ψ(t0 )i .
(28.9)
n,k A
t0
kezdeti id®pillanatot egyébként rendszerint
Ha a
H
0-nak
szoktuk választani.
spektruma folytonos, akkor hasonló meggondolással a
Ψ(t) =
Z X gε
e−iε(t−t0 )/~ |uε,k i huε,k |Ψ(t0 )i dε
(28.10)
k=1 eredmény adódik, ahol föltételeztük, hogy a folytonos spektrumba es® diszkrét:
ε
sajátérték degenerációja
gε -szoros.
Stacionárius állapotok:
A föntiek alapján egy olyan állapotnak, amely
H
sajátállapota az id®-
fejl®dése triviális:
|un,k i e−iεn t/~ . Ezért azokat az id®függ® állapotokat amelyek
H
(28.11)
egy adott sajátértékéhez tartoznak stacionárius
állapotoknak nevezzük. Szokásos ez az elnevezés magukra az id®független
|un,k i sajátállapotokra is.
Nyilván bármely adott energiasajátértékhez tartozó degenerált sajátállapotok
gε X
! ck |un,k i e−iεn t/~
(28.12)
k=1 lineáris kombinációja összegzés csak a
k
cionárius állapotok minden id®pillanatban képletnek megfelel®en ugyanazzal az
εn
degenerációs indexre történik is stacionárius. A sta-
H
sajátállapotai a
H |un,k i e−iεn t/~ = εn |un,k i e−iεn t/~
sajátértékkel. Ez a Bohr-féle els® posztulátum kvantumme-
chanikai magyarázata.
29.
Mozgásállandók, Bohr-frekvenciák
29.1. Mozgásállandók Mozgásállandónak nevezünk egy zikai mennyiséget, amely nem függ explicite az id®t®l, és amely fölcserélhet® a
H
Hamilton-operátorral:
∂A = 0, ∂t [A, H] = 0. Konzervatív rendszerre láthatólag maga
H
(29.1) (29.2)
is mozgásállandó. Érvényesek továbbá a következ® téte-
lek: (i) Mozgásállandó várható értéke tetsz®leges állapotban állandó
∂ ∂ hAi = hΨ|AΨi = 0, ∂t ∂t 117
(29.3)
ez következik a mozgásállandó fönti de níciójából és a (27.2) összefüggésb®l. (ii) Ha
A
mozgásállandó, akkor vannak a rendszernek olyan stacionárius állapotai, amelyek
minden id®pillanatban
A
ugyanazon sajátértékéhez tartoznak. Ez utóbbiak az ún. jó kvantumszá-
mok . Mivel
l
Itt
A és H
fölcserélhet®k, van olyan
H |un,i,l i = εn |un,i,l i ,
(29.4)
A |un,i,l i = αi |un,i,l i .
(29.5)
egy olyan index, amely egy lehetséges további degenerációt jelez, amennyiben
CSCO. Mivel az
|un,i,l i e−iεn t/~
|un,i,l i-ek
A
és
H
nem
(29.4) szerint stacionárius állapotok, ezért id®ben (28.11) alapján
szerint változnak. Emiatt pedig minden kés®bbi id®pillanatban is sajátvektorai
nak ugyanazzal az
αi
|un,i,l i bázis, amelyben mindkét operátor diagonális azaz
αi
sajátértékkel, hiszen
A |un,i,l
i e−iεn t/~
=
A-
αi e−iεn t/~ |un,i,l i. Ezért nevezzük az
sajátértékeket jó kvantumszámnak.
A
(iii) Annak a valószín¶sége, hogy nem függ az id®t®l.
mérésekor a
Ez a valószín¶ség a 4.
|Ψ(t)i
αi sajátértéket találjuk, P 2 P(αi ) = n,l |cn,i,l (t)| , ahol id®pontot 0-nak választottuk.
állapotban az
posztulátum szerint
cn,i,l (t) = hun,i,l |Ψ(t)i = cn,i,l (0)e−iεn t/~ , ahol most a t0 kezdeti 2 2 Mivel |cn,i,l (t)| = |cn,i,l (0)| , ezért a P(αi ) valóban id®t®l független.
29.2. Bohr-frekvenciák és a kiválasztási szabályok eredete Legyen most val.
D
egy tetsz®leges önadjungált operátor, amely általában nem cserélhet® föl a
D
Vizsgáljuk meg, hogyan változik
|Ψ(t)i =
k −iεn (t−t0 )/~ |u n,k i, a n,k cn (t0 )e
P
várható értéke egy konzervatív rendszerben.
hΨ(t)|DΨ(t)i
várható értéket ki tudjuk írni.
H-
Mivel itt
t0 = 0
esetben
hΨ(t)|DΨ(t)i =
XX
0 cnk 0∗ (0)e+iεn0 t/~ ckn (0)e−iεn t/~ un0 ,k0 D |un,k i =
n0 ,k0 n,k
=
XX
0 cnk 0∗ (0)ckn (0)e+i(εn0 −εn )/~ un0 ,k0 D |un,k i .
(29.6)
n0 ,k0 n,k Tegyük föl most, hogy
D
nem függ explicite az id®t®l, az
dók. A (29.6) formula mutatja, hogy a
(εn0 −εn )/h = νn0 n
hDi
id®függését
un0 ,k0 D |un,k i mátrixelemek tehát állan(εn0 − εn )/~ = ωn0 n körfrekvenciával, azaz
frekvenciával oszcilláló tagok összege adja, ezeket nevezzük Bohr-frekvenciáknak.
A legfontosabb példa erre, amikor a
D
mennyiség éppen egy atomi rendszer elektromos dipólus-
momentuma, melynek várható értéke tehát a különböz® Bohr-frekvenciákkal oszcillál.
A rezg®
dipólusmomentum az elektrodinamikából ismert módon viszont éppen ilyen diszkrét frekvenciájú elektromágneses hullámokat bocsát ki, és ezek spektrumát mérjük a spektroszkópiában. Ez az összefüggés alapozza meg tehát mélyebben a második Bohr-féle posztulátumot, vagyis, hogy az atomi rendszer spektrumában a stacionárius állapotokhoz tartozó energiakülönbségek és a
h
Planck-állandó hányadosa által meghatározott frekvenciákat látunk. az
várható értékben
A hψ(t)|Dψ(t)i un0 ,k0 D |un,k i mátrixelemek nem
azonban csak azok a frekvenciák jelennek meg, amelyekre t¶nnek el.
A
H -tól
és
D-t®l
függ®en sok esetben egyszer¶
szabályok adhatók arra nézve, hogy melyek ezek a nem elt¶n® mátrixelemek. A nem elt¶n® mátrixelemek tehát kiválasztják azokat a frekvenciákat, amelyek ténylegesen megjelennek. Ezért azokat a szabályokat, amelyek megadják, hogy melyek a nem elt¶n® mátrixelemek, kiválasztási szabályoknak nevezzük. Ezeket a szabályokat s®t részben magukat a mátrixelemeket is általában szimmetria megfontolások alapján lehet megtalálni.
118
30.
A szabad részecske kvantummechanikai tárgyalása
A szabad részecske Schrödinger-egyenlete egydimenzióban:
i~ A stacionárius állapotok a
p |pi,
ahol
tációban.
p A
∂Ψ P2 = Ψ. ∂t 2m
(30.1)
P2 2m sajátvektorai, ezek pedig azonosak
P
sajátvektoraival, azaz a
P |pi =
bármilyen valós érték lehet. Ez utóbbiak a de Broglie-hullámok koordinátareprezen-
p2 /2m
energiasajátértékek kétszeresen degeneráltak, a
p
és a
−p
impulzusú állapot
ugyanahhoz az energiasajátértékhez tartozik. Az általános id®függ® megoldás:
Z |Ψ(t)i = itt
hp| Ψ(0)i =: ψ˜0 (p)
|pi hp| Ψ(0)ie−ip
2 t/2m~
dp,
(30.2)
a kezdeti állapot impulzusreprezentációban. Ebb®l
Z
0 2 0 ˜ p Ψ(t)i = Ψ(p , t) = hp0 |pi hp| Ψ(0)ie−ip t/2m~ dp = Z 2 02 = δ(p0 − p)ψ˜0 (p)e−ip t/2m~ dp = ψ˜0 (p0 )e−ip t/2m~ , azaz a megoldás impulzusreprezentációban
p0
helyett
p-t
(30.3)
írva:
˜ t) = ψ˜0 (p)e−ip2 t/2m~ . Ψ(p,
(30.4)
Koordinátareprezentációban az eredmény ennek a Fourier-transzformáltja:
1 Ψ(x, t) = √ 2π~ amint ezt már korábban is láttuk. adott, akkor ebb®l
ψ˜0 (p)
Z
2 ψ˜0 (p)e−ip t/2m~ eipx/~ dp,
(30.5)
ψ0 (x)
koordináta-hullámfüggvény
Ha a kezdeti állapotban a
a
1 ψ˜0 (p) = √ 2π~
Z
ψ0 (x)e−ipx/~ dx
(30.6)
inverz Fourier-transzformációval adódik. Majd ennek ismeretében a (30.5) alapján lehet meghatározni
Ψ(x, t)-t,
ez utóbbi is egy Fourier-transzformáció.
Közvetlenül koordinátareprezentációban is megoldhatjuk a problémát.
Az energiasajátérték-
egyenlet ebben az esetben:
− Ennek megoldásai
ε<0
~2 d2 u = εu. 2m dx2
(30.7)
esetben a plusz vagy a mínusz végtelenben exponenciálisan divergáló függ-
vényt adnak, amelyekb®l szuperpozícióval sem lehet négyzetesen integrálható megoldást kapni. Az
ε≥0
esetben viszont noha maguk a megoldások nem tartoznak
L2 -be
azokból szuperpozícióval
már zikailag elfogadható megoldást kapunk. Ebben az esetben a (30.7) másodrend¶ egyenlet két lineárisan független megoldása közül a következ® párokat szokás választani:
eikx ,
e−ikx ,
(30.8)
cos kx, sin kx, (30.9) p 2 k2 ahol k = 2mε/~2 > 0, azaz egy adott ε = ~2m energiasajátérték kétszeresen degenerált. Az eikx , e−ikx párról könnyen látható, illetve ismert, hogy ezek az impulzus sajátfüggvényei is, p+ = ~k illetve p− = −~k sajátértékekkel, melyek a föntebb említett adott energiához tartozó két degenerált de Broglie-hullámmal azonosak. Az általános megoldás az el®z® fejezet receptje szerint
Z
∞
(c+ (ε)eikx + c− (ε)e−ikx )e−iεt/~ dε.
0 119
(30.10)
Ez átírható
k
szerinti integrálok összegévé
Z
∞
Z −∞ 2 ~k2 t ~ k ~2 k dk − c˜− (−k)eikx e−i 2m dk = m m 0 Z ∞ ~k2 t f (k)eikx e−i 2m dk, = 2
t ikx −i ~k 2m
c˜+ (k)e
e
0
(30.11)
−∞ ahol
( 2 2
c˜± (k) = c± (~ k /2m) Vagy a
~k = p
~ jelöléssel és √
2π~
f (k) =
és
f (p/~) = ψ˜0 (p)-vel
2
c˜+ (k) ~mk ha k > 0, 2 c˜− (−k) ~mk ha k < 0.
visszakapjuk az el®z® (30.5) formulát.
30.1 Feladat: Milyen operátor sajátértékei tesznek különbséget a
cos kx
és a
sin kx
energiasaját-
függvények között?
Ha nem akarjuk az állapot id®fejl®dését explicite is megadni, hanem megelégszünk az
X
és
P
várható értékének és szórásának meghatározásával, akkor az Ehrenfest-tételek ismételt alkalmazásával ez igen tanulságosan megtehet®. A
H=
d hXi hP i = , dt m Ebb®l látható hogy egy kezdetben
P2 2m és a (27.3) és (27.4) alapján:
d hP i = 0, dt
hXi0 = x0
hP i = p0 .
koordináta, illetve
(30.12)
hP i0 = p0
impulzus várható
értékkel bíró állapot fejl®dése során az impulzus várható értéke nem változik, a koordináta várható értéke pedig az id® múlásával a klasszikus esetnek megfelel®en az megfelel®en
hXi = x0 +
p0 m t képletnek
p0 m egyenletes sebességgel halad. Az impulzus szórása sem változik, mivel:
d P2 d(∆P )2 d hP i2 = − = 0, dt dt dt s így
(∆P )2 = P 2 − hP i2
(30.13)
állandó.
Most megmutatjuk, hogy a koordináta szórása viszont n®, (az állapot hullámfüggvénye szétfolyik) mert a fázissebesség
p-függ®:
ez olyan mint egy diszperzív azaz frekvenciafügg® törésmuta-
tóval bíró közegben terjed® elektromágneses hullám szétfolyása. Deriváljuk id® szerint
d X2 d(∆X)2 d hXi2 i
d = − = [H, X 2 ] − 2 hXi hXi = dt dt dt ~ dt 1 2 2σP X = hXP + P Xi − hXi hP i = , m m m ahol
σP X
a 25.
(∆X)2 -et
(30.14)
szakaszban bevezetett korrelációs függvény, amely szabad részecske esetén, mint
mindjárt látni fogjuk, az id®nek lineáris függvénye. Deriváljuk id® szerint még egyszer
(∆X)2 -et
d2 (∆X)2 i 2 i 2 2 h[H, XP + P X]i − 2 hP i2 = [P , XP + P X] − 2 hP i2 = = 2 2 dt m~ m 2m ~ m 2 2 = 2 ( P 2 − hP i2 ) = 2 (∆P )2 , (30.15) m m mert
P 2 XP − XP P 2 = P 3 X + i~P 2 − XP 3 = −2i~P 2 , 2
2
3
3
2
2
P P X − P XP = P X − XP + i~P = −2i~P .
120
(30.16) (30.17)
2
2
2
d(∆X) (∆P )2 (30.13) miatt állandó, (30.15) szerint d (∆X) is állandó. Eszerint s így (30.14) dt dt2 2 szerint σP X is az id®nek legföljebb lineáris függvénye, azaz (∆X) legföljebb kvadratikus függvény. Mivel
Vagyis a (30.15) egyenlet egyszer¶en integrálható és
(∆X)2 =
2 2 σP X 2t (∆P ) +2 t + (∆X)20 . 0 2 m 2 m
(30.18)
Ez a kifejezés a t-nek egy állandó együtthatókkal vett másodfokú kifejezése, azaz parabola. A a de Broglie-hullám kivételével minden állapoton pozitív, ezért elegend® id® múlva a
(∆X)2
(∆P )20 az id®
négyzetével arányosan n®, azaz a szabad részecskét jellemz® állapot szórásnégyzete négyzetesen n®, a hullámcsomag szétfolyik. Pl. intelligens (Gauss alakú) állapotra, amint azt a (25.16) összefüggés kapcsán láttuk,
σP X = 0,
továbbá ebben az esetben
2
(∆X) =
(∆X)20
(∆P )20 =
~2 így erre az állapotra 4(∆X)20
~2 2 1+ t , 4m2 (∆X)40
azaz a szétfolyás annál gyorsabb minél kisebb volt
(∆X)20 ,
(30.19)
azaz a kezdeti szélesség, és minél kisebb
a részecske tömege. Ezt a formulát szokás a
alakba is írni, ahol
p (∆X) = (∆X)0 1 + ∆2 √ ~ ∆ = 2m(∆X) A ∆ = 3 érték megadja, 2 t.
(30.20) hogy
m-t®l
és
0
g®en mennyi id® alatt n® a lokalizáltság a kétszeresére.
(∆X)0 -tól
füg-
Ugyanez az eredmény egy Gauss alakú
kezdeti hullámfüggvényre vonatkozóan a (30.6) és a (30.5) összefüggések segítségével az id®függ® hullámfüggvény explicit kiszámításával is megkapható.
30.2 Feladat: Mennyi id® alatt n® a koordináta szórása a kétszeresére egy m = 0, 1 g -os részecskére, −10 m hosszúságra van lokalizálva? amely kezdetben egy atomi méretre, azaz (∆X)0 = 10 −13 m. Mennyi id® alatt n® ez a lo30.3 Feladat: Egy alfa részecske mérete klasszikusan kb. 10 kalizáltság a kétszeresére?
Tegyük föl, hogy az alfa részecske a fénysebesség 30-ad részével repül.
Mekkora távolságot tesz meg ez alatt az id® alatt, és hogyan viszonyul ez egy atommag méretéhez? Milyen következtetést vonunk le ebb®l? 30.4 Feladat: Tegyük föl, hogy egy elektron kezdetben egy kb.
rc = 10−15 m
térrészre van lokalizálva.
Ez adódik ha föltesszük, hogy az elektron nyugalmi energiája az általa hordozott töltés elektroszta2 2 tikus energiájával egyezik meg, azaz nagyságrendileg me c = (1/4π0 )qe /rc . Mennyi id® alatt n® kétszeresére ez a lokalizáltság?
KVANTUMÁLLAPOTOK HOMOGÉN ELEKTROMOS TÉRBEN Ez a java applet egydimenzióban mozgó töltött kvantumos részecske dinamikáját mutatja különböz® potenciálok és statikus elektromos tér jelenlétében.
A további magyarázatokat és be-
állítási lehet®ségeket illet®en olvassuk el a Részletes leírás-t.
31.
A harmonikus oszcillátor sajátérték-problémája
A következ®kben egy algebrai módszerrel oldjuk meg a harmonikus oszcillátor energiasajátértékproblémáját. A harmonikus oszcillátor Hamilton-operátora:
H=
P2 1 + mω 2 X 2 , 2m 2 121
(31.1)
amelyben az
X
és
P
[X, P ] = i~ fölcserélési relációt r 1 mω 1 P a= √ X + i√ ~ 2 mω~
operátorok az
és
1 a =√ 2 †
r
mω 1 P X − i√ ~ mω~
teljesítik. Vezessük be az
(31.2)
(31.3)
nem önadjungált és dimenziótlan operátorokat, melyek egymás adjungáltjai. Az kiszámításához az
X
és
P
[a, a† ] kommutátor
operátorokra vonatkozó fölcserélési relációt alkalmazva az
[a, a† ] = 1 eredményt kapjuk. Az
X
és
P
operátorokat kifejezve
(31.4)
a-val
és
a† -al,
majd ezeket beírva (31.1)-be a
Hamilton-operátorra a
H = ~ω(a† a + 1/2) H
kifejezést nyerjük. A
(31.5)
sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása, azaz a
H |ϕi = ε |ϕi
(31.6)
a† a = N
(31.7)
egyenlet megoldásainak megkeresése az
operátor sajátállapotainak meghatározásával ekvivalens.
N |ϕi = ν|ϕi, akkor |ϕi nem zéró, hiszen sajátvektor,
tartozó sajátvektor:
ν hϕ|ϕi ≥ 0, ν ≥ 0.
N
önadjungált és pozitív operátor, tehát
és |ϕi egy
ν sajátérték, † ν hϕ|ϕi = hϕ|N ϕi = ϕ|a aϕ = ||aϕ||2 ≥ 0.
sajátértékei csak nemnegatív valós számok lehetnek. és mivel
Meg fogjuk most mutatni, hogy
N
Ha ugyanis
hozzá Tehát
a normája pozitív, amib®l következik, hogy
sajátértékei a nemnegatív egész számok. Ezek meghatározása
céljából szorozzuk az
aa† − a† a = 1
(31.8)
a-val, illetve balról a† -al. Kapjuk, hogy aN − N a = a, † = a† , vagy átrendezés után: azaz N, a
fölcserélési relációt jobbról
† illetve N a
−
a† N
=a
†
,
N a = a(N − 1), †
a†k ak
operátort, ahol
k ≥ 1 egész szám.
(31.10) Teljes indukcióval bebizonyítjuk, hogy
a†k ak = N (N − 1)(N − 2) . . . (N − (k − 1)). Az összefüggés
k=1
esetén nyilván fönnáll, hiszen az éppen
k -ra és vizsgáljuk azt k+1-re. használjuk a k -ra igaznak föltett (31.11)
N
(31.11)
(31.7) de níciója. Tegyük föl most,
hogy (31.11) érvényes
Írjuk a vizsgált operátort
alakba, és
összefüggésünket:
a†k+1 ak+1 = a† a†k ak a
a†k+1 ak+1 = a† a†k ak a = a† N (N − 1)(N − 2) . . . (N − (k − 1))a. A (31.9)
[N, a] = −a,
(31.9)
†
N a = a (N + 1). Vizsgáljuk ezután az
azaz
(31.12)
N a = a(N −1) formula felhasználásával az utolsó helyen álló a-t egyenként sorra átvihetjük
az el®tte álló faktorok elé, miközben minden tényez®t eggyel csökkentünk. Így :
a†k+1 ak+1 = a† N (N − 1)(N − 2) . . . a(N − 1 − (k − 1)) = . . . = a† N a(N − 2)(N − 3) . . . (N − 1 − (k − 1)) = a† a(N − 1)(N − 2) . . . (N − 1 − (k − 1)) = = N (N − 1)(N − 2) . . . (N − k). 122
(31.13)
Az utolsó sort összehasonlítva (31.11)-el látszik, hogy éppen a bizonyítandó összefüggést kaptuk helyett
k + 1-el,
azaz a (31.11) minden
k
k ≥ 1 egészre érvényes. N spektrumának nem lehet folytonos része. Ha ugyanis szám és olyan |ϕi állapot, amelyre N |ϕi = ν|ϕi. Erre a |ϕi
Az (31.11) képletb®l következik, hogy lenne, akkor létezne olyan
ν
nem egész
állapotra a (31.13) el®z® összefüggés szerint érvényes, hogy:
hϕ|a†k ak |ϕi = ν(ν − 1) . . . (ν − (k − 1))hϕ|ϕi.
(31.14)
k ≥ 1-re nemnegatív, mert bármely |ϕi állapotra hϕ|a†k ak |ϕi = ||ak ϕ||2 ≥ 0. A jobb oldal viszont hϕ|ϕi > 0 miatt negatív lenne egy olyan (értelemszer¶en egész) k ≥ 1-re, amelyre a hϕ|ϕi-t szorzó tényez®k mindegyike pozitív, kivéve az utolsó ν − (k − 1) tényez®t, amely negatív, olyan ν és k esetén, amelyre ν + 1 < k < ν + 2 teljesül. Ez az ellentmondás csak akkor nem lép föl, ha N sajátértékeire kikötjük, hogy azok csak nemnegatív egész számok lehetnek. Ekkor ugyanis, ha ν = n egy egész szám, akkor mind a jobb-, mind a bal oldal pozitív, amíg k ≤ n, és a jobb oldal k elt¶nik minden k ≥ n + 1-re, s így minden ilyen k -ra fönn kell állnia az a |ϕi = 0 összefüggésnek A bal oldal minden
is. Tehát a sajátértékek csak nemnegatív egészek lehetnek. Tegyük föl most amit alább a koordinátareprezentáció segítségével meg is mutatunk hogy létezik legalább egy sajátvektor, amelyhez tartozó sajátérték (az el®bbiek szerint szükségképpen) valamilyen nemnegatív egész:
ν = n.
Ezt a sajátvektort jelöljük
|ϕn i-el:
N |ϕn i = n|ϕn i.
(31.15)
A (31.14) szerint erre a vektorra az egyenl®ség úgy teljesül, hogy minden
ak |ϕn i = 0,
k ≥ n + 1-re
k = n + 1, n + 2, . . .
(31.16)
n=
0 sajátérték, azaz N |ϕn=0 i = 0|ϕ0 i = 0, akkor a|ϕ0 i a nulla haϕ0 | aϕ0 i = ϕ0 |a† aϕ0 = hϕ0 |N ϕ0 i = 0, azaz a bels® szorzat pozitív de nit volta
Speciális esetként látható, hogy ha vektor, mert miatt
a|ϕ0 i = 0. Ez fordítva is érvényes, azaz ha egy vektorra
(31.17)
a |ϕi = 0, akkor |ϕi az N -nek 0 sajátértékhez a† -t alkalmazzuk az a |ϕi = 0 összefüggésre.
tartozó sajátvektora. Ez közvetlenül következik, ha az
(Itt, ahogyan az szokás, a tér nulla vektorát és a nulla számot nem különböztetjük meg, aminek az
|ϕi vektorra 0|ϕi a nulla vektor.) |ϕn i sajátvektor n sajátértékkel, akkor a† |ϕn i
az oka, hogy tetsz®leges Belátható, hogy ha
is sajátvektor
(n + 1)
saját-
értékkel:
N a† |ϕn i = a† aa† |ϕn i = a† (a† a + 1)|ϕn i = a† (n + 1)|ϕn i = (n + 1)a† |ϕn i,
(31.18)
vagyis
N a† |ϕn i = (n + 1)a† |ϕn i. Ez tetsz®leges
D hiszen
n≥0
esetén érvényes, mert
a† |ϕn i
(31.19)
biztosan nem a nulla vektor, ugyanis
E D E D E a† ϕn |a† ϕn = ϕn |aa† ϕn = ϕn |(1 + a† a)ϕn = (n + 1) hϕn |ϕn i > 0,
hϕn |ϕn i > 0,
és
n+1
is határozottan nagyobb mint
(31.20)
0.
Hasonlóan:
N a|ϕn i = (n − 1)a|ϕn i, tehát
a|ϕn i
is sajátvektor
(n − 1)
sajátértékkel. Ez utóbbi csak
sajátértékei nemnegatívak.
123
(31.21)
n>0
esetén állhat fenn, mert
N
9. ábra.
A
|ϕ0 i-t
mint legkisebb
a
és
n-hez
a†
végiglépegetneka sajátállapotokon
így (31.5) szerint a legkisebb energiasajátértékhez is tartozó
állapotot alapállapotnak szokás nevezni. Az el®z®ek szerint ezt az állapotot a (31.17) egyértelm¶en jellemzi, tehát (31.17) -et tekinthetjük az alapállapot de níciójának is, amennyiben megmutatjuk, hogy az
n = 0-hoz
tartozó sajátvektor, azaz az alapállapot valóban létezik: a hozzá tartozó
koordináta-hullámfüggvény négyzetesen integrálható. Bizonyításunkból az is következik majd, hogy az alapállapot nem degenerált. Az alapállapotot de niáló (31.17)
1 √ 2
r
mω 1 P X + i√ ~ mω~
a|ϕ0 i = 0,
azaz
|ϕ0 i = 0
(31.22)
összefüggés koordinátareprezentációban az
mω d x+ ~ dx
ϕ0 (x) = 0
(31.23)
dierenciálegyenletet adja, amelynek lévén egy els®rend¶ dierenciálegyenlet csak egyetlen lineárisan független megoldása létezik:
ϕ0 (x) = Ce− ahol
C
mω x2 ~ 2
,
(31.24)
integrációs állandó. Ez a megoldás valóban négyzetesen integrálható, a normálásból meg-
határozhatóan
1/4 . C = ( mω π~ )
Tehát megmutattuk, hogy az
n=0
sajátérték tényleg létezik és nem
degenerált. Most teljes indukcióval megmutatjuk, hogy a többi sajátértékhez is csak egy (lineárisan füg-
n-re, azaz N |ϕn i = n|ϕn i-ben n nem degenerált. Tudjuk az el®z®ekb®l, hogy ekkor létezik az n + 1-hez tartozó sajátvektor is N |ϕin+1 i = (n + 1)|ϕin+1 i. Tekintsük most az a|ϕin+1 i vektort, ez n-hez tartozó sajátvektora N -nek, i és mivel az indukciós hipotézis miatt n nem degenerált, a|ϕn+1 i csak egy konstansban különbözhet i |ϕn i-t®l, azaz létezik egy olyan c szám, amelyre
getlen) sajátvektor tartozik.
Tegyük föl, hogy az állítás igaz
a|ϕin+1 i = ci |ϕn i. Alkalmazzuk erre az
a† -t,
amellyel kapjuk, hogy
a† a|ϕin+1 i = ci a† |ϕn i, amib®l
(31.25)
a† a|ϕin+1 i = (n + 1)|ϕin+1 i
(31.26)
miatt következik, hogy
|ϕin+1 i =
ci † a |ϕn i. n+1 124
(31.27)
Azt már eddig is tudtuk, hogy
n+1
hogy minden
a† |ϕn i
az
n + 1-hez
tartozó sajátvektora
N -nek,
most azt látjuk,
† -hez tartozó sajátvektor arányos a |ϕn i-nel, azaz ezek egymástól mind csak egy
konstansban különbözhetnek, vagyis nem degeneráltak. Mivel, mint láttuk,
n=0
nem degenerált,
ezért a teljes indukciót befejeztük. A lineáris harmonikus oszcillátor energia-sajátértékei tehát az
εn = ~ω(n + 1/2) alakúak, ahol
n = 0, 1, 2 . . .
(31.28)
a nemnegatív egész számok és ezek nem degeneráltak.
Harmonikus oszcillátor esetén a sajátvektorokra a következ® egyszer¶sített jelölést szokás használni:
|ϕn i ≡ |ni . Ilyen módon a
|ϕn i
értelmezése szerint, amely az
n
(31.29)
sajátértékhez tartozó sajátvektor, következik,
hogy
a† |ni = c+ |n + 1i, A sajátvektorokat normáltnak írva el®:
a|ni = c− |n − 1i.
hn|ni = hn + 1|n + 1i = 1
alapján:
|c+ |2 hn + 1|n + 1i = hn|aa† |ni = hn|a† a + 1|ni = n + 1 Így konvenció szerint
c+ -t
√ n + 1|n + 1i,
(31.32)
√ n|n − 1i,
(31.33)
és hasonlóan
a|ni = n=0
(31.31)
valósnak és pozitívnak választva
a† |ni =
amely
(31.30)
esetén éppen az alapállapotot de niáló (31.17) összefüggés.
10. ábra. A harmonikus oszcillátor energiasajátfüggvényei
A normált sajátvektorok ezek szerint el®állíthatók
n 1 |ni = a† √ |0i n!
|0i-ból
az
n = 0, 1, 2 . . .
(31.34)
alakban. Meg lehet mutatni, hogy ezek a vektorok valóban teljes rendszert alkotnak, azaz bármely vektor kifejthet® ezek segítségével.
125
Az operátorok mátrixai a H operátor sajátvektorai által alkotott bázisban: rátor eggyel növeli az
N
sajátértékeit, ezért kelt®-, az
a
Az
a†
ope-
pedig eggyel csökkenti a sajátértéket, ezért
eltüntet® operátornak szokás nevezni. (Ezek az elnevezések a kvantumelektrodinamikából származ† nak: az
|ni-ek
a
a operátor egy fotont tüntet el a módusból.) A különböz® N különböz® sajátértékeihez † Az N , a , a, operátorok mátrixai az |ni állapotok által kifeszített bázisban
fotont kelt a módusban, míg az
ortogonálisak egymásra, mert egy önadjungált operátor az
tartoznak:
hm|ni = δmn .
a következ®k:
[N ] = h i a† = a
mátrixa pedig az
a†
0 0 0 ... 0 1 0 0 0 2 . . .
..
0 0 1 √0 0 2
,
.
0 ... 0 0 √ .. . 3
. . .
(31.35)
,
(31.36)
adjungáltja lévén a transzponált mátrix komplex konjugáltja:
h i ∗ T [a] = a† . A (31.2), (31.3) összefüggések alapján így
X
és
P
(31.37)
mátrixa is meghatározható. Ezek voltak azok a
mátrixok, amelyeket Heisenberg a harmonikus oszcillátor kvantumos vizsgálata során 1925-ben els®ként megtalált, s ez volt a modern kvantummechanika mátrixmechanikának nevezett változatának els® eredménye.
31.1 Feladat: Mutassuk meg, hogy a koordináta- és az impulzus szórása az alapállapotban:
(∆X)20 = 31.2 Feladat: Számítsuk ki az
X
és
P
~ , 2mω
(∆P )20 =
mω~ . 2
várható értékét és szórását az
|ni
stacionárius állapotban.
32. Nemstacionárius állapotok harmonikus potenciálban, koherens és préselt állapotok Miután megállapítottuk a kvantummechanikai harmonikus oszcillátor stacionárius állapotait, most már tetsz®leges, az oszcillátor-potenciálban mozgó id®függ® állapot is fölírható.
Ennek általános
alakja:
|Ψ(t)i =
∞ X
cn e−i(n+1/2)ωt |ni = e−iωt/2
n=0 ahol
|Ψ(0)i
tetsz®leges kezd®állapot, és így
∞ X
e−inωt |ni hn |Ψ(0)i ,
(32.1)
n=0
cn = hn |Ψ(0)i.
A következ® oldalon oszcillátor potenciálban történ® mozgásokat mutatunk be. Különböz® speciális kezd®állapotokból kiindulva a hullámfüggvény id®beli változása követhet® nyomon:
126
HARMONIKUS OSZCILLÁTOR: IDFÜGG SZUPERPOZíCIÓ Az animáció az egydimenziós harmonikus oszcillátor
√1 (|0i 2
+ |1i)
állapotának id®beli változását mutatja meg.
Az animáció az egydimenziós harmonikus oszcillátor
√1 (|0i 2
+ |2i)
állapotának id®beli változását mutatja meg.
Az interaktív animáció segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor energia-sajátállapotainak szuperpozicióit hozhatjuk létre, majd a normálás után az így létrehozott kvantumállapot id®beli változásást vizsgálhatjuk, lásd a (32.1) formulát. OSZCILLÁTOR JELLEG POTENCIÁLOKBAN MOZGÓ RÉSZECSKE Ez a java applet egydimenziós, oszcillátor jelleg¶ potenciálokban mozgó kvantumos részecske dinamikáját mutatja. A harmonikus oszcillátornál szokásos a kitérés második hatványával arányos potenciális energia mellett beállíthatunk a kitérés negyedik hatványával arányos potenciális energiát is. A további magyarázatokat és beállítási lehet®ségeket illet®en olvassuk el a Részletes leírást. KÉTDIMENZIÓS HARMONIKUS OSZCILLÁTOR STACIONÁRIUS ÁLLAPOTA A fázis id®beli változása kétdimenziós harmonikus oszcillátor potenciálban
n1 = 0, n2 = 3
sajátállapotában (azaz a videón a
vízszintes irány szerint alapállapotról, míg függ®legesen a harmadik gerjesztett állapotról van szó.)
A színkódolás az alsó panel
bal sarkában található, a komplex egységkörnek megfelel® ábráról olvasható le. A kis négyzetek a sajátállapotok betöltési valószín¶ségének és fázisának a szemléltetésére szolgálnak, esetünkben az egyetlen változó szín¶ négyzet azt jelzi, hogy a rendszer egységnyi valószín¶séggel a fenti sajátállapotban van. HULLÁMCSOMAG MOZGÁSA KÉTDIMENZIÓS HARMONIKUS OSZCILLÁTOR-POTENCIÁLBAN Hullámcsomag terjedése, szétfolyása majd újraegyesülése kétdimenziós harmonikus oszcillátor potenciálban.
A színkódolás az
alsó panel bal sarkában található, a komplex egységkörnek megfelel® ábráról olvasható le. A kis négyzetek a sajátállapotok betöltési valószín¶ségének és fázisának a szemléltetésére szolgálnak, a hullámcsomagot adó szuperpozícióban maga a szín az adott állapot id®függ® fázisát, míg a fekete felé csökken® intenzitás az amplitúdót kódolja. KÉTDIMENZIÓS HARMONIKUS OSZCILLÁTOR Ez a java applet kétdimenziós harmonikus potenciálban mozgó kvantumos részecske dinamikáját mutatja.
A további magyará-
zatokat és beállítási lehet®ségeket illet®en olvassuk el a Részletes leírás-t.
127
32.1. Koherens állapotok |αi-val jelölt normált kezd®állapotot, amelyben x0 illetve p0 , ugyanakkor pedig mind a koordináta, mind |0i jelzés¶ alapállapotban. Az el®írás tehát
Tekintsünk most speciálisan egy olyan szokásosan a koordináta és az impulzus várható értéke az impulzus szórása ugyanannyi, mint a
hα|X |αi = x0 , ~ (∆X)2α = hα| (X − x0 )2 |αi = , 2mω A keresett
|αi
állapot tehát, csakúgy mint a
hα|P |αi = p0 ,
(32.2)
(∆P )2α = hα| (P − p0 )2 |αi = |0i
mω~ . 2
(32.3)
intelligens, mivel a szórások szorzata éppen a
Heisenberg-egyenl®tlenség által megengedett minimális érték. Egyszer¶södik a számolás, ha a dimenziótlan
˜= X
r
1 mω X = √ (a + a† ), ~ 2
i 1 P = √ (a† − a) P˜ = √ 2 mω~
(32.4)
koordináta- és impulzus operátorokat használjuk, amelyeket az el®z® szakasz alapján fejeztünk ki
a-val
és
a† -al.
Ezekkel
r mω 1 † ˜ x0 =: ξ0 , hα|X |αi = √ hα|a + a |αi = ~ 2 i 1 hα|P˜ |αi = √ hα|a† − a |αi = √ p0 =: η0 , 2 mω~ ξ0 és η0 √ i/ 2 -vel
(32.5)
(32.6)
ahol
a megfelel® dimenziótlan (koordináta- és impulzus) várható értékek. Szorozzuk (32.6)-
ot
és adjuk hozzá (32.5)
√ 1/ 2szeresét.
Ekkor
1 + iη0 ˜ + iP˜ |αi = hα|a |αi = ξ0 √ √ hα|X . 2 2 Vezessük be az
α= komplex számot, amely nem azonos az operátor várható értéke éppen
α
az
|αi
|αi
(32.7)
ξ0 + iη0 √ 2
(32.8)
állapottal, de azzal szoros kapcsolatban áll, mert az
állapotban:
hα|a |αi = α. Ugyanúgy, az adjungált operátorra az
a
hα|a† |αi = α∗
áll fönn. Az
(32.9)
α
komplex szám valós része a
koordináta, képzetes része pedig az impulzus várható értékével arányos az
|αi
állapoton véve.
A szórásnégyzetekre az el®írás szerint ekkor a
˜ 2 = hα| X ˜ 2 |αi − ξ 2 = 1 , (∆X) α 0 2 1 2 2 2 (∆P˜ )α = hα| P˜ |αi − η0 = 2 egyenl®ségeknek kell teljesülniük. Adjuk össze ezt a két egyenl®séget, és fejezzük ki
P˜ 2 operátorokat
(32.10) (32.11)
itt az
˜2 X
és
a-val és a† -al: ˜ 2 + (∆P˜ )2 = (∆X) =
1 hα| (a + a† )2 − (a† − a)2 |αi − ξ02 − η02 = 1. 2
128
(32.12)
Végezzük el a négyzetre emeléseket, és vegyük gyelembe, az
aa† − a† a = 1
kommutátort:
hα| 2a† a + 1 |αi − 2αα∗ = 1. Mivel
|αi
normált
hα |αi = 1,
hα| a† a |αi = αα∗ = |α|2 ,
és
(32.13)
az
hα| a† a − |α|2 |αi = 0 föltételt kapjuk az
|αi
(32.14)
állapotra.
Vezessünk be most a
b† = a† − α∗
b = a − α, de nícióval két új operátort.
A
b† b
(32.15)
operátor várható értéke az
|αi
állapotban (32.9) és (32.14)
gyelembe vételével:
hα| b† b |αi = hα| (a† − α∗ )(a − α) |αi = hα| (a† a − α∗ a − αa† + |α|2 ) |αi = = hα| (a† a − |α|2 ) |αi = 0. Az ha
(32.16)
hα| b† b |αi = 0 viszont éppen a b |αi állapot norma-négyzete, b |αi = 0, azaz (a − α) |αi = 0. Ez másképpen az
amely akkor és csak akkor nulla,
a |αi = α |αi alakba írható, azaz a keresett
|αi
állapotok éppen az
a
(32.17) eltüntet® operátor sajátállapotai. Noha
nem önadjungált, ezek a sajátállapotok mint alább megmutatjuk tetsz®leges
α-ra
a
léteznek és
normálhatók. Keressük az
|αi
állapotokat a teljes ortonormált rendszert alkotó
|ni
harmonikus oszcillátor
sajátállapotok, vagy más néven számállapotok szuperpozíciójaként az
|αi =
∞ X
cn |ni
(32.18)
n=0
cn = hn |αi. n |n − 1i léptet®
alakban. Itt
Írjuk vissza a kifejtést a (32.17) sajátérték-egyenletbe és használjuk az
a |ni =
tulajdonságot:
√
∞ X
αcn |ni = a
n=0
∞ X
cn |ni =
n=0
∞ X
∞ X √ √ cn n |n − 1i = cn+1 n + 1 |ni ,
n=1
n=0
(32.19)
ahol az utolsó egyenl®ségnél n helyett áttértünk az n-1 összegz®indexre. Emiatt
illetve
A normálási föltételb®l
1=
∞ X
αcn cn+1 = √ , n+1
(32.20)
αcn−1 αn c0 cn = √ = √ . n n!
(32.21)
|cn |2 = |c0 |2
n=0
(32.22)
2
c0 = e−|α| /2 , mivel c0 -t konvenció szerint valósnak és pozitívnak választjuk. Eredményünk 2 /2 n √ −|α| tehát cn = hn |αi = e α / n!, s így a keresett állapot kifejtése a számállapotokon:
ahonnan szerint
∞ X |α|2n 2 √ = |c0 |2 e|α| , n! n=0
−|α|2 /2
|αi = e
∞ X αn √ |ni , n! n=0
129
(32.23)
ahol
α
tetsz®leges komplex szám. Ezeket az állapotokat a harmonikus oszcillátor koherens állapo-
α
tainak nevezzük. A koherens állapotok tehát a komplex
számokkal indexelhet®k, azaz az ilyen
állapotok számossága nem megszámlálható. Ezeket az állapotokat koordinátareprezentáció segítségével el®ször Schrödinger vezette be 1926-ban. Felhívjuk a gyelmet még a következ®kre. Az
|α = 0i
ahol
k
|n = ki
éppen egész, nem azonos az
|n = 0i szám|α = ki koherens állapot,
koherens állapot azonos az
állapottal, amely éppen az oszcillátor alapállapota. Általában azonban az
számállapottal. Ez a jelölés inkonzisztenciája, de ezt
szinte egyöntet¶en alkalmazzák az irodalomban, így mi is ehhez tartjuk itt magunkat.
32.1 Feladat: Igazoljuk fordított irányban, hogy ha a koherens állapotokat a (32.23) összefüggéssel de niáljuk, akkor ezek az
a
operátor sajátállapotai lesznek,
α
sajátértékkel.
32.2 Feladat: Igazoljuk, hogy a koordináta és az impulzus szórása tetsz®leges zik a
|0i
|αi
állapotban megegye-
állapotban vett szórásokkal.
32.3 Feladat: Számítsuk ki az
|αi
|βi
és
koherens állapot
hα |βi
bels® szorzatát.
A koherens állapotok id®fejl®dése a (32.1) általános képlet szerint:
|Ψ(t)i = e
−iωt/2
= e−iωt/2
∞ X n=0 ∞ X n=0
−inωt
e
|ni
|ni hn |αi = e
−iωt/2
∞ X
αn 2 e−inωt |ni √ e−|α| /2 = n! n=0
(αe−iωt )n −|αe−iωt |2 /2 −iωt √ e = αe . n!
Az az érdekes eredmény adódott tehát, hogy a kezdetben az állapot abba a szintén koherens állapotba kerül
t
(32.24)
α komplex számmal jelzett |αi koherens αe−iωt komplex szám jelöl.
id® múlva, amelyet az
Azaz az oszcillátor koherens állapota koherens marad az id®fejl®dés során.
A valós és képzetes
részeket illet®en ezt a transzformációt az
ξ0 + iη0 −iωt 1 √ e = √ [(ξ0 cos ωt + η0 sin ωt) + i(η0 cos ωt − ξ0 sin ωt)] = 2 2 1 = √ (ξ(t) + iη(t)) 2
αe−iωt =
képlet adja meg.
p ~/(mω)ξ(t)
és a
Ebb®l a koordináta és az impulzus várható értékének id®fejl®désére az
p(t) =
√
mω~η(t)
(32.25)
x(t) =
skálázás után az
p0 sin ωt, mω p(t) = p0 cos ωt − mωx0 sin ωt
x(t) = x0 cos ωt +
(32.26) (32.27)
id®fejl®dés adódik, ami megegyezik a klasszikus harmonikus oszcillátor mozgásegyenletének megoldásával.
Ez az utóbbi eredmény a koordináta és az impulzus várható értékére a harmonikus
oszcillátorra valójában tetsz®leges kezd®állapot esetén, tehát nem csak a
|Ψ(0)i = |αi-ra
telje-
sül, amint azt Ehrenfest tételeivel kapcsolatban a legföljebb kvadratikus potenciálokra általában is
X és P szórására ugyanilyen állandóság általános kezd®állapot esetén nem érvé|Ψ(0)i = |αi esetén a föntiek szerint a szórások sem változnak id®ben, amint az közvetlen
megmutattuk. Az nyes, de
számítással is megmutatható.
32.4 Feladat: Számítsuk ki közvetlenül az
˜ X
és
P˜
szórását az
−iωt αe
állapotban.
A koherens állapot koordinátareprezentációban is megadható, ez legegyszer¶bben az
α |αi
a |αi =
sajátérték-egyenlet megfelel® alakjából kapható meg, hasonlóan ahhoz, ahogyan az alapálla-
potot megkaptuk az el®z® szakaszban a koordinátareprezentációban. Az alábbi animáción különböz® koherens állapotok id®fejl®dését követhetjük nyomon.
130
32.5 Feladat:
Mutassuk meg, hogy a koordinátareprezentációs alak az
komplex számmal jellemzett állapotban állandó, ami az
x0 = 0, p0 = 0
2 /2~
ϕα (x) = Ce−mω(x−x0 )
N
C
ahol
p mω 2~
1 x0 + i √mω~ p0
ugyanaz a normálási
alapállapothoz is tartozik.
N operátorának az |αi állapotban.
32.6 Feladat: Számítsuk ki az oszcillátor 32.7 Feladat: Számítsuk ki
eip0 x ,
α =
szórását
várható értékét az
|αi
állapotban.
HARMONIKUS OSZCILLÁTOR: KOHERENS ÁLLAPOTOK Az animáción a harmonikus oszcillátor
|α = 1i
koherens áll-
potának id®fejl®dése látható. A hullámfüggvény abszolút értéke minden id®pontban az alapállapottal azonos alakú, de
ω
körfrekvenciával rezeg az egyensúlyi helyzet körül
|α|-val
arányos amplitúdóval. Az animáción a harmonikus oszcillátor
|α = 2i
koherens áll-
potának id®fejl®dése látható. A hullámfüggvény abszolút értéke minden id®pontban az alapállapottal azonos alakú, de
ω
körfrekvenciával rezeg az egyensúlyi helyzet körül
|α|-val
arányos amplitúdóval. Az interaktív animáció segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor energia-sajátállapotainak egy speciális szuperpozicióját vizsgálhatjuk, ez a koherens állapot, amit a (32.24) képlet szerint egy
α
komplex számmal jellemezhe-
tünk. Ennek abszolút értéke minden id®pontban az alapállapottal azonos alakú, de súlyi helyzet körül
|α|-val
ω
körfrekvenciával rezeg az egyen-
arányos amplitúdóval.
A harmonikus oszcillátor Schrödinger-macska állapotának szokás nevezni a két azonos abszolút érték¶, de ellentétes el®jelú
α-hoz
tartozó koherens állapotok szuperpozícióját:
|SCi = (|αi + |−αi)/N . Itt
N
(32.28)
a megfelel® normálási tényez®. Ilyen állapotok id®fejl®dését mutatják az alábbi animációk: HARMONIKUS OSZCILLÁTOR: SCHRÖDINGER-MACSKA ÁLLAPOTOK Az animáción a harmonikus oszcillátor
α = 1-hez
tartozó
Schrödinger-macska állapotának id®felj®dését láthatjuk.
Az animáción a harmonikus oszcillátor
α = 2-höz
tartozó
Schrödinger-macska állapotának id®felj®dését láthatjuk. Az interaktív animáció segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor két koherens állapotának egy érdekes szuperpozícióját vizsgálhatjuk, ez a Schrödinger-macska állapot (Schrödinger-cat state), ami két koherens állapot normált szuperpozíciója:
|SCi = (|αi + |−αi)/N ,
így ezt is az
α
komplex számmal jellemezhetjük.
32.2. Préselt koherens állapotok A harmonikus oszcillátor állapotai közül azok lehetséges érdekes alkalmazásai miatt különös gyelmet kaptak az 1980-as évek közepét®l kezdve azok, amelyek a koherens állapotokhoz hasonlóan
131
minimalizálják a Heisenberg-egyenl®tlenséget, tehát intelligensek, ám ugyanakkor az sa közül az egyik kisebb, mint a
|0i
X
és
P
szórá-
jel¶ alapállapotban. A Heisenberg-egyenl®tlenségnek viszont
teljesülnie kell, tehát ilyenkor a másik mennyiség szórása viszont nagyobb, mint az alapállapoti érték.
A kérdéses úgynevezett préselt koherens, vagy röviden préselt állapotokat itt
juk jelölni.
Angolul ezeket squeezed állapotoknak nevezzük.
szórásnégyzeteire a
˜ |ζi = ξ0 , hζ| P˜ |ζi = η0 hζ| X
A dimenziótlan
˜ X
és
P˜
r
fog-
operátorok
jelölésekkel ekkor a
˜ 2 = hζ| X ˜ 2 |ζi − ξ02 = r , (∆X) ζ 2 1 (∆P˜ )2ζ = hζ| P˜ 2 |ζi − η02 = 2r föltételek teljesülését kívánjuk meg, ahol
|ζi-val
egy pozitív szám. Ha
koordináta préselt és az impulzus nyújtott, míg ha
r > 1,
(32.29) (32.30)
r < 1,
akkor azt mondjuk, hogy a
akkor az impulzus préselt és a koordináta
r = 1 felel meg a föntebb látott koherens állapotnak. A préselt állapotok is kifejthet®k |ζi állapotok id®fejl®désér®l mutatunk be alább animációt. A számítás szerint az id®fejl®dés során az r változik és az oszcillátor 2π/ω periódusa alatt kétszer lesz 1-nél kisebb illetve nagyobb tehát az id®fejl®dés során az X és a P nyújtott. Az
a számállapotok szerint, de ezt itt nem részletezzük, csak a
váltakozva lesz préselt illetve nyújtott. HARMONIKUS OSZCILLÁTOR: PRÉSELT KOHERENS ÁLLAPOTOK A harmonikus oszcillátor préselt alapállapota. Itt az állapot szórása is harmonikusan változik az alapállapot szórása körül
2ω
frekvenciával.
A harmonikus oszcillátor préselt koherens állapota. A koordináta várható értéke a szokásos
ω
körfrekvenciájú harmoni-
kus rezgést végzi, miközben az állapot szórása az alapállapoti érték körül
2ω
körfrekvenciával oszcillál.
Az interaktív animáció segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor energia-sajátállapotainak egy nevezetes szuperpozícióját vizsgálhatjuk, ez a préselt (v. összenyomott) állapot (az angol nyelv¶ szakirodalomban: squeezed state), amit egy
r valós számmal és egy
α
komplex számmal jelle-
mezhetünk.
33. Az impulzusnyomaték algebrai elmélete Egy pontszer¶ részecske impulzusnyomatéka klasszikusan
~ = r × p. L
Egy zárt részecskerendszer
esetén a teljes rendszer impulzusnyomatéka megmarad. Ismeretes azonban a klasszikus mechanikából, hogy vannak esetek amikor, az impulzusnyomaték megmarad akkor is, ha a rendszer nem zárt. Ilyen pédául a centrális er®térben mozgó tömegpont esete. A fönti klasszikus az
r×p
~ L
mennyiségnek megfelel® kvantumos impulzusnyomatékot úgy kapjuk, hogy
vektori szorzatban a megfelel® operátorokkal helyettesítjük a klasszikus mennyiségeket, s
nyerjük ezáltal a pályaimpulzusnyomaték operátorát:
L = R × P.
(33.1)
Ennek a vektornak három komponense van, amelyeket tömören az
Li = ijk Xj Pk formula ad meg, (ahol
ijk
(33.2)
a Lévi-Civita szimbólum, és a kétszer el®forduló indexekre összegezni
kell). Azaz részletezve:
Lx = Y Pz − ZPy ,
Ly = ZPx − XPz , 132
Lz = XPy − Y Px .
(33.3)
Az
R és P komponensei között fönnálló kanonikus fölcserélési relációk alapján az impulzusnyomaték
komponenseire a következ® fölcserélési relációt nyerjük :
[Li , Lj ] = i~ijk Lk .
(33.4)
33.1 Feladat: Mutassuk meg a (33.4) összefüggés érvényességét.
Az impulzusnyomaték fogalmát most általánosítjuk, és a kvantummechanikai impulzusnyomatékot éppen a fölcserélési reláció alapján de niáljuk. Eszerint a kvantummechanikai impulzusmomentumnak legáltalánosabban egy olyan
J = {Jx , Jy , Jz }
lineáris és önadjungált operátorhármast
[Ji , Jk ] = i~ikl Jl
(33.5)
nevezünk, amelynek komponensei a
fölcserélési relációknak tesznek eleget. Ennek, és a (33.4) eredménynek az alapján nyilvánvaló, hogy a föntebb
L = R×P-vel de niált mennyiség impulzusmomentum. De látható, hogy J bevezetésével L = R × P alaktól, és ez utóbbi tulajdonságai közül csak a fölcserélési re-
itt elvonatkoztattunk az
lációt tartottuk meg. Ennek oka többek között az, hogy mint kiderült a kvantummechanikában van a térbeli mozgáshoz nem kapcsolódó bels® impulzusmomentum, sajátperdület is, amelyet spin-
nek nevezünk (lásd a korábban tárgyalt Stern-Gerlach-kísérletet). Ez hasonlít a klasszikus zikában valamely saját tengely körül forgó merev test sajátperdületéhez, például egy forgó labdáéhoz. Noha ez a hasonlat a kvantummechanika szerint távolról sem tökéletes, mégis valami ilyen jelleg¶ forgásra lehet gondolni a spin hallatán. Fölhívjuk a gyelmet, hogy sem az impulzusmomentum, sem a spin nem keverend® egy másfajta mennyiséggel, a mágneses momentummal. Igaz viszont, hogy töltött részecskék impulzusmomentumához és spinjéhez általában azzal arányos mágneses momentum csatolódik, és ezért a spin, azaz a mechanikai perdület mérését a kapcsolódó mágneses momentum mérésére vezetik vissza. Az elektron sajátimpulzusmomentuma, azaz spinje nem értelmezhet® az
L
segítségével, az általánosabb, csak a
J
komponenseire vonatkozó fölcserélési reláció el®írásával
viszont mindenfajta impulzusmomentum, pl. az elektron úgynevezett feles spinje is értelmezhet®. Egyszer¶en bizonyítható, hogy a
J2 = J 2 = Jx2 + Jy2 + Jz2
operátor bármely
Jk
komponenssel
fölcserélhet®:
2 J , Jk = 0,
k = x, y, z.
(33.6)
33.2 Feladat: Bizonyítsuk be a (33.6) összefüggést.
A fölcserélhet® önadjungált operátorok közös sajátvektorainak létezésér®l szóló tétel szerint, (20. szakasz) kereshet® közös sajátvektorrendszere
J 2 -nek
és
Jz -nek.
A
J2
operátor várható értéke
minden állapotban nemnegatív, ezért sajátértékei is nemnegatívok. A dimenziókat gyelembe véve a sajátérték-egyenletek alakja:
ahol
λ2
nemnegatív valós szám,
m
J 2 |ϕλ,m i = ~2 λ2 |ϕλ,m i ,
(33.7)
Jz |ϕλ,m i = m~ |ϕλ,m i ,
(33.8)
valós szám. Egyszer¶en adódik, hogy
m2 ≤ λ2 ,
(33.9)
azaz
− λ ≤ m ≤ λ. 33.3 Feladat: Mutassuk meg a
hϕλ,m | J 2 |ϕλ,m i
kifejezés kifejtésével a (33.9) relációt.
133
(33.10)
Vezessük be a
J− = Jx − iJy
J+ = Jx + iJy, operátorokat.
J2
nyilvánvalóan ezekkel is fölcserélhet®, s így
J 2 J± |ϕλ,m i = J± J 2 |ϕλ,m i = ~2 λ2 J± |ϕλ,m i . Azaz
J+
és
J−
(33.11)
J 2 -nek egy adott λ2 -el, azaz egy λ ≥ 0 számmal indexelt viszont Jz esetén mert, mint egyszer¶en megmutatható:
nem vezetnek ki
réb®l. Nem ez a helyzet
(33.12) sajátalte-
[Jz , J± ] = ±~J± ,
(33.13)
Jz J± |ϕλ,m i = (J± Jz ± ~J± ) |ϕλ,m i = ~(m ± 1)J± |ϕλ,m i .
(33.14)
így
33.4 Feladat: Igazoljuk a (33.13) relációt.
J± |ϕλ,m i is sajátvektora Jz -nek m ± 1 sak |ϕ J± λ,m i, ahol k egész, szintén vagy vektor. Adott λ esetén (amelyet mint láttuk J±
A (33.14) egyenl®ségb®l az következik, hogy vagy játértékkel, vagy a zéró vektor. sajátvektor
m±k
Egyszer¶en látható, hogy
sajátértékkel, vagy a zéró
−λ ≤ m ≤ λ, amib®l következik, hogy kell lennie egy olyan maximális és m− valós számnak, amelyre a megfelel® ϕλ,m± (a de níció szerint nem 0)
nem változtat) azonban minimális
m+
illetve
sajátvektorok azaz:
Jz ϕλ,m± = m± ~ ϕλ,m± ,
(33.15)
azonban
J+ ϕλ,m+ = 0, Most megállapítjuk
m+
és
m−
J− ϕλ,m− = 0.
kapcsolatát, illetve
m
(33.16)
lehetséges értékeit. Tekintsük ehhez a
J+ J− = J 2 − Jz2 + ~Jz ,
(33.17)
J− J+ = J 2 − Jz2 − ~Jz
(33.18)
összefüggéseket, amelyek kiírással egyszer¶en láthatók. Ezekb®l:
Mivel
ϕλ,m ±
0 = ϕλ,m+ J− J+ ϕλ,m+ = ϕλ,m+ J 2 − Jz2 − ~Jz ϕλ,m+ =
= ~2 λ2 − m2+ − m+ ϕλ,m+ |ϕλ,m+ ,
(33.19)
0 = ϕλ,m− J+ J− ϕλ,m− = ϕλ,m− J 2 − Jz2 + ~Jz |ϕλ,m− i =
= ~2 λ2 − m2− + m− ϕλ,m− |ϕλ,m− .
(33.20)
sajátvektorai
Jz -nek,
ezért nem a nulla vektorok, tehát az önmagukkal vett bels®
szorzatuk sem 0, így az el®ttük álló tényez®nek el kell t¶nnie:
λ2 − m2+ − m+ = 0, 2
λ −
m2−
+ m− = 0.
(33.21) (33.22)
A két egyenlet különbségének bal oldalát szorzattá alakíthatjuk:
(m+ + m− )(m+ − m− + 1) = 0, 134
(33.23)
amib®l vagy az következik, hogy lehetséges, mert föltettük, hogy
m+ = −m− vagy az, hogy m− = m+ + 1. Az utóbbi viszont nem m+ a legnagyobb sajátérték, tehát m− nem lehet nála nagyobb.
Marad tehát az
m+ = −m− =: j lehet®ség, ahol a fönti összefüggéssel de niáltuk a sajátértéke
Jz -nek.
j
(33.24)
számot, amely adott
λ esetén tehát a legnagyobb
(33.21)-b®l az is következik, hogy
λ2 = m+ (m+ + 1) = j(j + 1).
(33.25)
m-el jellemzett |ϕλ,m i sajátvektorból indulva és J+ -t, illetve J− -t alkalmazva léteznek olyan vektorok, amelyek a Jz -nek az
Az el®z®ek szerint egy
p-szer,
illetve
q -szor,
m, m + 1, . . . m + p = m+ = j,
(33.26)
m, m − 1, m − q = m− = −j
(33.27)
~ -al szorzott sajátértékeihez tartoznak, ahol p, q értelemszer¶en egész számok. m − q = m− = −j összefüggések különbségéb®l:
Az
m+p = m+ = j ,
és az
j= Ebb®l a
j
p+q . 2
(33.28)
kvantumszám lehetséges értékeire azt kapjuk, hogy
j = 0, 1/2, 1, 3/2 . . . Az is látható ebb®l, hogy adott
j
(33.29)
kvantumszámhoz a következ®
2j + 1
darab
m
tartozik
j, j − 1, . . . − j + 1, −j. Eredményünk tehát, ha a sajátvektorok indexelésére a
λ
(33.30) helyett a
j -t
használjuk és a
|ϕj,m i =: |j, mi
(33.31)
J 2 |j, mi = ~2 j(j + 1) |j, mi ,
(33.32)
Jz |j, mi = ~m |j, mi .
(33.33)
jelölést alkalmazzuk a következ®:
J 2 és Jz amelyek j és m
Megjegyezzük, hogy
általában nem alkotnak CSCO-t, azaz van, vagy vannak további kvan-
tumszámok,
mellett még szükségesek ahhoz, hogy egy kvantumállapotot valamely
Hilbert-térben egyértelm¶en jellemezzünk.
Másképpen szólva, adott
j
és
m
esetén a
|j, mi
álla-
potok között egy vagy több további zikai mennyiség operátora különbséget tehet, vagyis ebb®l a szempontból az állapotok degeneráltak. Egy jól meghatározott állapot ilyenkor
k
utal a további
az
m
J 2 -tel
és
szerinti degeneráció
Jz -vel fölcserélhet® 2j + 1-szeres.
|k, j, mi alakú, ahol j esetén viszont
mennyiség(ek) sajátértékeire. Adott
135
11. ábra. Az impulzusmomentum hossza és a vetületek viszonya a kvantummechanikában.
Jz
vetület, azaz az
Adott
j
m
kvantumszám adott, akkor a
esetén pedig a
Jz
vetület
2j + 1-szeresen
Jx
és
Jy
Ha a
vetületeknek nincs határozott értéke.
degenerált.
m = j . . . − j esetén a 2j + 1 2 dimenziós tér |j, mi bázisában. Az el®z®ek szerint ebben a bázisban, amely J sajátvektoraiból áll, 2 2 a J mátrixa diagonális, és minden sajátérték azonos ~ j(j + 1). Jz mátrixa szintén diagonális és a ~m különböz® értékeit tartalmazza m = j -t®l m = −j -ig. Az el®z®ek szerint: Most megállapítjuk
és keressük
c+ -t
illetve
Jz , J+ , J−
c− -t
mátrixelemeit egy adott
j
és az
J+ |j, mi = c+ |j, m + 1i ,
(33.34)
J− |j, mi = c− |j, m − 1i ,
(33.35)
úgy, hogy
|j, mi-el
együtt
|j, m + 1i
és
|j, m − 1i
is normált legyen.
Ekkor
hj, m| J− J+ |j, mi = hj, m| J 2 − Jz2 − ~Jz |j, mi = ~2 (j(j + 1) − m2 − m) hj, m| j, mi = |c+ |2 hj, m + 1 |j, m + 1i . p c+ =p~ j(j + 1) − m(m + 1). Hasonlóan c− -ra J+ J− hogy c− = ~ j(j + 1) − m(m − 1), azaz p J+ |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1i , p J− |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m − 1) |j, m − 1i .
Ha el®írjuk a normálást, akkor értékét számolva kapjuk,
(33.36) várható
(33.37) (33.38)
Ezekb®l Jx illetve Jy mátrixa is meghatározható, a (33.11)-b®l következ® Jx = (J+ + J− )/2 és Jy = (J+ − J− )/2i formulákból. A j = 1/2 esetben, amelyet feles spin¶ esetnek nevezünk, ezekb®l a képletekb®l az m = 1/2, m = −1/2 sorrendben írva a mátrixelemeket a
~ Jx = 2
0 1 1 0
~ ~ 0 −i ~ = σx , Jy = = σy , i 0 2 2 2 ~ 1 0 ~ Jz = = σz 2 0 −1 2
(33.40)
σx , σy , σz mátrixok az úgynevezett Pauli-mátrixok. Megjegyezzük még, j = 1/2 esetben a megfelel® impulzusmomentum operátorokat S = {Sx , Sy , Sz }-vel is szoktuk
mátrixokat kapjuk, ahol a hogy a
(33.39)
jelölni a spinre való utalással.
136
12. ábra.
33.5 Feladat: Mutassuk meg, hogy adódnak
j = 1/2
esetén valóban a fönti (33.39,33.40) Pauli-mátrixok
Jx , Jy , Jz -re.
33.6 Feladat: Írjuk föl
j=1
esetén a
J+ , J− , Jz , Jx , Jy
mátrixokat.
34. Stern-Gerlach-kísérlet, feles spin sajátállapotai tetsz®leges irányban
13. ábra. Stern-Gerlach-kísérlet sematikus ábrája
Azt a kérdést vizsgáljuk, hogy egy
n
n1 irányú Stern-Gerlach berendezésb®l kijöv® részecskék egy (B) jellemzett berendezés egyes kimen® csatornáiba milyen
irányú inhomogén mágneses térrel
valószín¶ségi amplitúdókkal érkeznek. foglalkozunk. Legyen
n1
iránya a
z
Itt csak a feles spinnel, azaz pl.
irány. Az ezüstatomoknak mágneses nyomatékuk van, poten-
W = −mB. Az m mágneses nyomaték arányos j = 1/2 esetben S-el jelölünk, utalva a spinre. A
ciális energiájuk az elektrodinamikából ismeretesen a
J
az ezüstatomok esetével
mechanikai nyomatékkal, amelyet ebben a
137
mágneses dipólusra er® hat, amelyet a
F = −∇W
képlet alapján számolhatunk ki. E szerint
F = ∇(mB) = γ∇(SB).
F = 0. Homogén térben tehát nem hat er® a mágneses nyomatékkal bíró részecskére. Ha viszont a B inhomogén, és az inhomogenitás f® iránya az n irány, ∂ azaz ebben az irányban változik leggyorsabban a mágneses mez®, akkor F = ∇(mB) = γSn ∂n Bn . Meg fogjuk keresni az n egységvektor irányába es® spinvetület, azaz az Sn = Sn sajátértékeit Itt
m
állandó, és ha
B
(34.1)
is az, akkor
és sajátvektorait, tehát az
~ µ |ϕn i (34.2) 2 egyenlet megoldását, ahol a sajátértékb®l kiemeljük a ~/2-t, így µ dimenziótlan. A |ϕn i-t abban a |j = 1/2, m = 1/2i =: |z, +i, |j = 1/2, m = −1/2i =: |z, −i bázisban keressük, amelyben Sz Sn |ϕn i =
diagonális. Tehát a
|ϕn i = αn |z, +i + βn |z, −i kifejtésben az
αn
és
βn
(34.3)
együtthatókat határozzuk meg. A sajátérték-egyenlet:
Sn |ϕn i = Sn (αn |z, +i + βn |z, −i) =
~ µ(αn |z, +i + βn |z, −i) 2
(34.4)
|z, +i-al, majd |z, −i-al és használjuk az ortogonalitást. Ekkor éppen az Sn operátor |z, +i, |z, −i bázisban vett mátrixának sajátértékegyenletét kapjuk. Ez a mátrix a (33)-ban megadott mátrixok alapján az n = {nx , ny , nz } komponensekkel, illetve gömbi koordinátákat használva az n = {sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ} miatt ~ ~ nz nx − iny cos θ sin θe−iφ (34.5) Sn = Sx nx + Sy ny + Sz nz = = −nz 2 nx + iny 2 sin θeiφ − cos θ
szorozzuk el®bb
alakú. A sajátérték-egyenlet tehát a választott bázisban:
~ 2 ahol az
cos θ sin θe−iφ iφ sin θe − cos θ
α β
~ =µ 2
α β
,
(34.6)
n indexet mostantól nem írjuk ki az együtthatók mellé. A sajátértékekre µ = ±1, a megfelel® 2 + |β|2 = 1) sajátvektorokra pedig − sin 2θ cos 2θ iδ+ iδ− µ=1: e , µ = −1 : e (34.7) sin 2θ eiφ cos 2θ eiφ
normált (|α|
adódik, ahol
δ+
és
δ−
tetsz®leges fázisok. Gyakori választás a
Azaz a két ortogonális sajátvektor a
|z, ±i
δ+ = δ− = −φ/2, vagy a δ+ = δ− = 0.
bázisban az utóbbi választással
θ θ |z, +i + sin eiφ |z, −i , 2 2 θ θ |n, −i = − sin |z, +i + cos eiφ |z, −i , 2 2 |n, +i = cos
Ezekb®l ki lehet fejezni az
Sz
operátor
|z, +i
és
|z, −i
(34.9)
sajátvektorait:
θ θ |n, +i − sin |n, −i , 2 2 θ −iφ θ |z, −i = sin e |n, +i + cos e−iφ |n, −i . 2 2 |z, +i = cos
(34.8)
(34.10) (34.11)
A fönti egyenletekb®l megállapítható, hogy egymáshoz képest elforgatott Stern-Gerlach berendezéseken át milyen
hn, +|z, +i
stb.
amplitúdókkal, illetve valószín¶ségekkel mennek át a feles spin¶
részecskék.
138
34.1 Feladat: Határozzuk meg a
z
irányú berendezés után elhelyezett
x
illetve
y
irányú berendezésen
való áthaladási amplitúdókat és valószín¶ségeket. 34.2 Feladat: Mik az amplitúdók ha az els® berendezés 34.3 Feladat: Keressük meg az amplitúdókat a
j=1
n1
a második
n2
irányú?
spin esetére.
35. Pályaimpulzusnyomaték, gömbi harmonikusok Az alkalmazások szempontjából nagyon fontosak a pályaimpulzusmomentum koordinátareprezentációban kiszámított sajátvektorai. Mint azt a 33. szakaszban láttuk, az
L=R×P [Li , Lj ] = i~ijk Lk
vektor komponensei teljesítik az
(35.1)
kommutációs relációkat, hiszen ennek alapján
általánosítottuk az impulzusmomentum de nícióját a
J vektor komponenseire.
Emiatt az ott kapott
eredményeket itt is használhatjuk. Tekintsük most koordinátareprezentációban az
ˆ x = −i~(y∂z − z∂y ) L
(35.2)
stb. pályaimpulzusmomentum operátorokat.
14. ábra. Gömbi polárkoordináták
Ki fog derülni, hogy ezek alakja egyszer¶bb az a három derékszög¶ koordináta
x, y
és
z
r, θ, φ
gömbi koordináták használatakor, mert
helyett csak két gömbi koordináta, a
azimutszög szerepel a kifejezésükben, a radiális koordináta
r
nem.
θ
polárszög és a
φ
Ennek mélyebb oka, hogy az
impulzusnyomaték komponensei a forgatásokkal vannak kapcsolatban, ezért a
r-et nem változtatják.
A gömbi koordinátákba történ® transzformációt elvégezhetjük a deriváltak transzformációjával, de gyorsabban érünk célt a következ® módon. Írjuk föl egy pont helyvektorát a gömbi koordinátákkal és derékszög¶ egységvektorokkal.
r=xˆ ex + y ˆ ey + z ˆ ez = r sin θ cos φ ˆ ex + r sin θ sin φ ˆ ey + r cos θ ˆ ez . 139
(35.3)
A megfelel® görbevonalú egységvektorok
ˆ ei =
1 hi ∂qi r
(i = r, θ, φ),
hi = |∂qi r| együtthatók a (hr = 1, hθ = r , hφ = r sin θ )
ahol a
normálást biztosítják. A fönti kifejezésb®l a deriváltak és a normálás után kapjuk a görbevonalú egységvektorokat:
ˆ er = sin θ cos φ ˆ ex + sin θ sin φ ˆ ey + cos θ ˆ ez = r/r,
(35.4)
ˆ eθ = cos θ cos φ ˆ ex + cos θ sin φ ˆ ey − sin θ ˆ ez ,
(35.5)
ˆ eφ = − sin φ ˆ ex + cos φ ˆ ey .
(35.6)
Jól ismert, de közvetlenül is meggy®z®dhetünk róla, hogy ezek páronként ortogonálisak egymásra, és
ˆ er × ˆ eθ = ˆ eφ , ˆ er × ˆ eφ = −ˆ eθ ,
stb. A pályaimpulzusmomentum alakja koordinátareprezentációban:
L = −i~(r × ∇). Itt
r = rˆ er ,
a
∇
(35.7)
gradiens ortogonális görbevonalú koordinátás alakja pedig:
∇=
X i
ˆ ei
1 1 1 ∂ =ˆ er ∂r + ˆ eθ ∂θ + ˆ eφ ∂φ . hi ∂qi r r sin θ
(35.8)
Így az impulzusmomentum alakja a vektori szorzatokkal:
1 1 eθ ∂φ ) = L = −i~r(ˆ eφ ∂θ − ˆ r sin θ r 1 = −i~ (− sin φ ˆ ex + cos φ ˆ ey )∂θ − (cos θ cos φ ˆ ex + cos θ sin φ ˆ ey − sin θ ˆ ez ) ∂φ . sin θ Összegy¶jtve az
ˆ ex , ˆ ey , ˆ ez
(35.9)
együtthatóit kapjuk, hogy
ˆ x = i~(sin φ∂θ + cot θ cos φ∂φ ), L ˆ y = i~(− cos φ∂θ + cot θ sin φ∂φ ), L ˆ z = −i~∂φ . L
(35.10) (35.11) (35.12)
A léptet® operátorok koordinátareprezentációs alakja:
ˆ+ = L ˆ x + iL ˆ y = ~eiφ (∂θ + i cot θ∂φ ), L ˆ− = L ˆ x − iL ˆ y = ~e−iφ (−∂θ + i cot θ∂φ ). L Szükségünk van még az
L2
operátorra is, amelyet legegyszer¶bben a 33.
(35.13) (35.14) szakaszban látott
(33.17)
ˆ2 = L ˆ +L ˆ− + L ˆ 2z − ~L ˆz L
(35.15)
összefüggés alapján számíthatunk ki.
h i ˆ +L ˆ − = ~2 eiφ (∂θ + i cot θ ∂φ ) e−iφ (−∂θ + i cot θ ∂φ ) = L h i = ~2 ∂θ (−∂θ + i cot θ ∂φ ) + ~2 eiφ i cot θ ∂φ e−iφ (−∂θ + i cot θ ∂φ ) = 1 ∂φ + i cot θ ∂θφ + cot θ(−∂θ + i cot θ ∂φ )− sin2 θ − cot2 θ ∂φφ ) =
2 = ~2 (−∂θθ −i
−i cot θ ∂θφ
1 2 ∂φ + cot θ(−∂θ + i cot θ ∂φ ) − cot2 θ ∂φφ )= sin2 θ 2 2 = ~2 (−∂θθ − i∂φ − cot θ ∂θ − cot2 θ ∂φφ ). 2 = ~2 (−∂θθ −i
140
(35.16)
Az
ˆ 2z = −~2 ∂ 2 , L φφ
ˆ z = i~2 ∂φ fölhasználásával adódik L2 gömbi −~L 1 2 2 2 2 ˆ = −~2 ∆θφ . L = −~ ∂θθ + cot θ ∂θ + ∂ sin2 θ φφ
továbbá
koordinátás alakja:
(35.17)
−~2 -et szorzó dierenciáloperátor éppen a ∆ Laplace-operátor gömbi koordinሠ2 = −~2 ∆θφ tákban fölírt alakjának szögekt®l függ® része, erre utal a második egyenl®ségjel után az L Ismeretes, hogy itt a jelölés. A (35.17) és a (35.12) alapján könnyen látható, hogy az
L2
-nek és az
Lz -nek
megfelel® dif-
ferenciáloperátorok fölcserélhet®k, s ezt el is várjuk, hiszen ez az általános (33.6) fölcserélhet®ségi eredmény speciális esete.
Némileg hosszasabb számolással ugyan, de belátható, hogy hasonlóan
(35.17) és 35.13 illetve (35.14) is fölcserélhet®ek. Az általános elméletb®l (33. szakasz) tudjuk, hogy fölcserélhet®ek lévén kereshetjük
ˆ2 L
és
ˆz L
közös sajátfüggvényrendszerét, a korábban látott (33.32) és (33.33) sajátérték-egyenleteknek megfelel® sajátértékekkel. Az
L2
-nek megfelel® kvantumszámot itt
j
helyett
`-lel
szokás jelölni,
`
neve
ekkor mellékkvantumszám. Így:
ˆ 2 ψ(r, θ, φ) = ~2 `(` + 1)ψ(r, θ, φ), L ˆ z ψ(r, θ, φ) = m~ψ(r, θ, φ). L
(35.18) (35.19)
Látni fogjuk, hogy a 33. szakaszban kapott eredmény a megengedett sajátértékekre itt csak megszorítással lesz érvényes.
A pályaimpulzusmomentum esetén az
érték¶ lehet, félegész nem, és ugyanez áll az azaz itt
m
Lz
`
mellékkvantumszám csak egész
sajátértékeit megadó mágneses kvantumszámra is,
is csak egész lehet.
Keressük tehát a
ψ(r, θ, φ)
sajátfüggvényeket. Mivel láthatólag sem
ˆ 2, L
sem
ˆz L
nem függ
r-t®l,
a megoldás
ψ(r, θ, φ) = R(r)Y`m (θ, φ) alakú, ahol
R(r)
a radiális koordináta tetsz®leges függvénye,
2 + cot θ∂θ + −(∂θθ
(35.20)
Y`m (θ, φ)
pedig a
1 ∂ 2 )Y m (θ, φ) = `(` + 1)Y`m (θ, φ), sin2 θ φφ ` −i∂φ Y`m (θ, φ) = mY`m (θ, φ)
egyenletek megoldása. Foglalkozzunk el®bb a másodikkal, amelyben nincs
(35.21) (35.22)
θ szerinti deriválás.
Ezért
abból láthatólag
Y`m (θ, φ) = F`m (θ)eimφ . Mivel a térben a
φ
és a
φ + 2π helyek azonosak, ei2πm = 1. Ebb®l
értéket kell fölvennie, amib®l
(35.23)
a függvénynek ezeken a helyeken ugyanazt az következik, hogy most az
m
csak egész szám
lehet, szemben az általános elméletben kapott eredménnyel, amely félegész értékeket is megengedett. Viszont tudjuk, hogy ha Válasszunk egy
m = m+ = `
`
m
egész akkor
egész számot.
`
is egész kell, hogy legyen.
Tudjuk az általános elméletb®l (lásd.
33.
szakasz), hogy
esetén
ˆ + Y ` (θ, φ) = 0. L ` Ide beírva (35.13)-at és (35.23)-at
m = `-lel,
és leosztva
~ei(`+1)φ -vel
(35.24) kapjuk, hogy
(∂θ − ` cot θ)F`` (θ) = 0.
(35.25)
Ennek az els®rend¶ közönséges dierenciálegyenletnek az általános megoldása
F`` (θ) = c` (sin θ)` , ahol
c`
(35.26)
alkalmasan választandó normálási tényez®. Ebb®l a konstans erejéig egyértelm¶
Y`` (θ, φ) = c` (sin θ)` ei`φ 141
(35.27)
Y00 (θ, φ)
Y10 (θ, φ)
Y11 (θ, φ)
Y20 (θ, φ)
Y21 (θ, φ)
Y22 (θ, φ)
Y30 (θ, φ)
Y31 (θ, φ)
Y32 (θ, φ)
15. ábra. Az els® néhány gömbfüggvény
142
Y33 (θ, φ)
m < ` : Y``−1 (θ, φ), . . . Y`m (θ, φ), . . . Y`−` (θ, φ)
megoldá-
operátor ismételt alkalmazásával kaphatók meg. Az
Y`m (θ, φ)
megoldást kapjuk. Innen pedig a további, sok az általános elmélet alapján az
ˆ− L
függvényeket gömbfüggvényeknek, vagy gömbi harmonikusoknak szokás nevezni. Megjegyezzük, hogy ezeket a (35.21,35.22) egyenleteknek az egységgömb felületén négyzetesen integrálható megoldásaiként is meg lehet kapni. A gömbfüggvények egy konstans erejéig egyértelm¶en meghatározottak. Az állandó abszolút értékét a normálás határozza meg. (A gömbfüggvények használatakor gyeljünk arra, hogy a néha képzetesnek is választott normálási tényez®t illet®en annak, mint komplex számnak az argumentumára többféle konvenció is használatos.) A függvények a normálás után egy ortonormált rendszert alkotnak, azaz az egységgömb felületére integrálva:
Z
2π
0
π
Z 0
0
∗ m (Y`m 0 (θ, φ)) Y` (θ, φ) sin θdθdφ = δ``0 δmm0 .
(35.28)
A gömbfüggvények rendszere teljes is, azaz tetsz®leges, az egységgömbön értelmezett négyzetesen integrálható
g(θ, φ)
függvény kifejthet® ezek általában végtelen összegeként:
g(θ, φ) =
∞ X ` X
c`m Y`m (θ, φ).
(35.29)
`=0 m=−` A fönti (35.28) és (35.29) formulák a komplex Fourier-sor általánosításai.
A periodikus, azaz az
egységkörön értelmezett függvények helyett itt azonban az egységgömbön értelmezett függvényekr®l van szó. Egy további tulajdonságot még jegyezzünk meg: Az nem függenek
φ-t®l
lényegében a
cos θ-tól
index¶
Y`0 (θ)
függvények, amelyek
függ® Legendre-polinomok
r Y`0 (θ)
m=0
=
2` + 1 P` (cos θ), 4π
(35.30)
P` (z) a [−1, 1] intervallumon teljes ortogonális polinomrendszer P` (1) = 1 választással. Az ` = 0, 1, 2, 3, 4 index¶ gömbfüggvényeket rendre s, p, d, f, g függvényeknek szokás nevezni a spekt-
ahol a
roszkópiából kölcsönzött elnevezések miatt. Az els® néhány gömbfüggvény az egyik szokásos fáziskonvenció szerint, ahol a normálási tényez®k valósak, a következ®:
r Y10 (θ, φ)
=
3 cos θ, 4π
1 Y00 (θ, φ) = √ , 4π r r 3 3 −1 1 iφ Y1 (θ, φ) = − sin θe Y1 (θ, φ) = sin θe−iφ . 8π 8π
(35.31)
(35.32)
Y00 (θ, φ) a konstans, tehát gömbszimmetrikus s függvény, a (35.32) sorban megadott függvények pedig a p függvények. Az
A gömbfüggvények további tulajdonságai, a fáziskonvenciók és más általános formulák kvantummechanika illetve matematikai zika könyvekben találhatók meg. Lásd továbbá http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics
143
GÖMBFÜGGVÉNYEK
Y31 (θ, φ) gömbfüggvénnyel jellemzett stacionárius −it/~ azaz e id®üggést is tartalmazó állapot id®függését lát-
Az animáción az hatjuk.
Az ábra úgy készült, hogy a függvény abszolút értékét
felmérjük a szögek által meghatározott irányba, az így kialakított felületet pedig a komplex függvényérték fázisszögének színkódjával színezzük.
Az ábrák a gömbfüggvények háromdimenziós polárdiagramját mutatják.
Az ábrázolni kívánt állapotot az
`
és
m
kvantumszámok
beállításával választhatjuk ki.
36.
A térbeli paritás
36.1. A paritás de níciója A paritás vagy párosság operátora olyan
H
térben van értelmezve, amelynek elemei egy részecske
állapotát adják meg a háromdimenziós koordinátatérben. De niáljuk a paritás-operátorát a
ψ(r)
hullámfüggvények terén a következ®képpen:
Πψ(r) = ψ(−r). Belátható, hogy
Π
(36.1)
önadjungált és unitér is egyben, tehát az inverze saját maga, ami amúgy is
egyszer¶en látszik a fönti de nícióból.
36.1 Feladat: Bizonyítsuk, hogy
Π
önadjungált és unitér operátor.
16. ábra. Példa páros és páratlan függvényre
Π
sajátértékei nyilvánvalóan a
±1
számok. A
Π
megfelel® sajátfüggvényei az origóra való tük-
rözésre nézve a páros illetve a páratlan függvények.
144
A
Π
nyilván hasonlóan értelmezhet® az
x
ΠR operátort a ψ(r) ΠRψ(r) = Πrψ(r) = −rψ(−r) = −rΠψ(r) = −RΠψ(r), azaz
tengelyen értelmezett egydimenziós hullámfüggvények terén is. Tekintsük az hullámfüggvények terén. Egyrészt
ΠR = −RΠ.
Tehát
ΠR = −RΠ,
RΠ + ΠR = 0.
vagy
(36.2)
Illetve
ΠRΠ = −R.
(36.3)
R
Az ilyen tulajdonságú operátort páratlannak nevezünk.
mellett a
P
impulzusoperátor is párat-
lan, ami tulajdonképpen azt jelenti, hogy koordinátarendszer-középpontjára való tükrözésekor az impulzus csakúgy mint a koordináta el®jelet vált.
36.2 Feladat: Bizonyítsuk, hogy az impulzus
Azokat az itt általában
K-val
P
operátora páratlan.
jelölt operátorokat viszont, amelyek fölcserélhet®k
Π-vel,
azaz
(36.2)-vel szemben a
ΠK = KΠ,
KΠ − ΠK = 0
vagy
(36.4)
összefüggésnek tesznek eleget, a tértükrözésre nézve páros operátornak nevezzük. Páros operátor nyilvánvalóan egy páratlan operátor négyzete. Tehát páros például a kinetikus energia operátora, mert
P2 -el
arányos, de páros egy centrális er®tér esetén a teljes Hamilton-operátor mert az
|R|
operátor, amit®l centrális er®térben a potenciális energia függ szintén páros. Ekkor, mint tudjuk a
H -nak
és
Π-nek
van közös sajátvektorrendszere, azaz
páratlanok. Megjegyezzük, hogy
H -nak
H
sajátvektorai között vannak párosak és
ett®l függetlenül lehetnek olyan sajátvektorai is, amelyek
sem nem párosak sem nem páratlanok!
36.2. Kapcsolat a pályaimpulzusmomentummal El®ször is tekintsük a pályaimpulzusmomentum
L=R×P operátorát. Ez a föntiek szerint páros Ezért is nevezzük
L-et
ΠL = LΠ,
(36.5)
mert tükrözéskor mind
R,
mind
P
el®jelet vált.
pszeudovektornak, vagy axiális vektornak, mert a "közönséges", másnéven
poláris vektorok el®jelet váltanak tükrözéskor.
L
viszont tükrözéskor nem vált el®jelet,
forgatásokkal szemben viselkedik vektorként (lásd 17. ábra).
17. ábra. Az
L
L
L
csak a
mindhárom komponense páros.
pszeudovektorként viselkedik
Tekintsük most a pályaimpulzusmomentum sajátfüggvényeit, amelyek alakja
R(r)Y`m (θ, φ), 145
(36.6)
R(r) tetsz®leges, csak r = |r|-t®l függ® függvény Y`m (θ, φ) pedig egy gömbfüggvény. Világos, hogy ΠR(r) = R(r), mert a helyvektor hossza r = |r| nem változik tükrözéskor, tehát a fönti függvény R(r) radiális része páros. Most megmutatjuk, hogy a szögekt®l függ® rész is határozott paritású, azaz a Π-nek sajátfüggvénye. Tükrözzük ehhez az r vektort az origóra, és nézzük meg mi ahol
történik a polár- illetve az azimutszöggel. Belátható geometriai okoskodással (lásd a 36.2 ábrán),
(a)
(b)
(c)
18. ábra. A polár- illetve az azimutszög változása az a (b) ábrán az
rz
r
vektor origóra való tükrözésekor. A változás
síkra mer®leges irányból nézve, a (c)-n pedig a
z
tengely irányából nézve látható.
vagy a (35.3) kifejezésében végrehajtott helyettesítéssel algebrai úton, hogy az
r → −r
transzfor-
mációnak a
θ → π − θ,
φ→φ+π
transzformáció felel meg. Tekintsük most egy adott hez tarozó
Y`` (θ, φ) = sin` θ
`
esetén a legnagyobb
(36.7)
m-hez,
azaz az
m = `-
i`φ gömbfüggvényt (a normálási tényez® itt nem játszik szerepet) és
e
hajtsuk végre a fönti helyettesítéseket a szögekben:
Π sin` θei`φ = sin` (π − θ)ei`(φ+π) = (−1)` sin` θei`φ . Azaz a függvény páros vagy páratlan attól függ®en, hogy
ΠL− operátort, ahol L− a lefelé léptet® (L− = Lx − iLy ) ezért maga is páros:
operátor. Mivel
(36.8)
` páros vagy páratlan. Tekintsük most a L− az L vektor komponenseinek összege
ΠL− = L− Π,
(36.9)
amir®l közvetlenül is meggy®z®dhetünk, ha a (35.14)-en végrehajtjuk a (36.7) transzformációt. Ez igaz
L−
k -adik hatványára is, s így Lk− Y`` (θ, φ) = Y``−k (θ, φ) is (−1)` paritású. Kicsit `−m ` m legyen Y` (θ, φ) = clm L− Y` (θ, φ), ahol a clm számok az L− operátor (` − m)-
minden
részletesebben,
szeres alkalmazása során föllép®, a (33.38) összefüggésb®l meghatározható, a normálást biztosító számok szorzatai. Eszerint
`−m ` ` ΠY`m (θ, φ) = clm ΠL`−m − Y` (θ, φ) = clm L− ΠY` (θ, φ) = ` ` m = (−1)` clm L`−m − Y` (θ, φ) = (−1) Y` (θ, φ). Tehát
m-t®l
(36.10)
függetlenül
ΠY`m (θ, φ) = (−1)` Y`m (θ, φ), azaz a paritást az
`
mellékkvantumszám paritása határozza meg.
146
(36.11)
R komponenseinek kommutátorát. P komponenseinek kommutátorát. feladat alapján indokoljuk meg, hogy R és P
36.3 Feladat: Számítsuk ki
36.4 Feladat: Számítsuk ki 36.5 Feladat: A fenti két
L L
és
és
miért vektoroperátorok. Ad-
junk példát skalár operátorra.
37. Centrális er®tér sajátértékproblémája, a radiális egyenlet Centrális er®térben a Hamilton-operátor:
H= Itt a továbbiakban az
|R| = R, |P| = P
P2 + V (|R|). 2m
(37.1)
jelölést használjuk.
Ennek megfelel®en itt a
P2 + V (R) |ψi = ε |ψi 2m
sajátértékprobléma megoldását keressük.
H -val,
mert
H
L2
és
Lz
A fölcserélhet®ség miatt kereshetjük majd
2 Most kifejezzük L -el
és
Lz
is fölcserélhet® ezzel a
p)2 , ahol
is fölcserélhet® a fönti (37.1) Hamilton-operátorral.
H , L2
és
Lz
közös sajátvektorait.
P2 -et.
A klasszikus mechanikában az
− (r ·
L2
csak skalároktól függ.
37.1 Feladat: Mutassuk meg, hogy
r 2 p2
Megmutatható, hogy
(37.2)
α
az
r
és
p
L = r×p
L2 = r2 p2 sin2 α = r2 p2 (1 − cos2 α) = id®ben változó szög, (r · p) pedig a két
miatt láthatóan
által bezárt, általában
háromdimenziós vektor közönséges skaláris szorzatát jelzi. Eszerint klasszikusan
p2 = (r · p)2 /r2 + L2 /r2 = p2r + L2 /r2 . A kvantummechanikában viszont, mivel
R
és
P
komponensei nem cserélhet®k föl, egy
(37.3)
~
nagyság-
rend¶ korrekciós tag is föllép, a megfelel® operátorok között az
L2 = (R × P)2 = R2 P2 − (R · P)2 + i~R · P
(37.4)
L2 = Li Li = (ijk Xj Pk )(iln Xl Pn ), Kihasználva továbbá az ijk iln = δjl δkn − δjn δkl
összefüggés adódik. Ennek belátásáshoz vegyük gyelembe, hogy ahol a kétszer el®forduló indexekre összegezni kell. összefüggést, kapjuk, hogy
Li Li = Xj Pk Xj Pk − Xj Pk Xk Pj = Xj (Xj Pk − i~δjk )Pk − − Xj (Xk Pk − 3i~)Pj = = Xj Xj Pk Pk − i~δjk Xj Pk − Xj Xk Pj Pk + 3i~Xj Pj = = Xj Xj Pk Pk + 2i~Xj Pj − Xj (Pj Xk + i~δjk )Pk = = Xj Xj Pk Pk − Xj Pj Xk Pk + i~Xj Pj . S ez éppen a (37.4) egyenl®ség koordinátákkal fölírva. (37.4)-b®l
P2 =
1 1 (R · P)2 − i~R · P + 2 L2 . 2 R R
147
(37.5)
Áttérünk koordinátareprezentációba
−i~∇ =
∂ −i~(ˆ er ∂r
∂ +ˆ eθ 1r ∂θ
R → r, P → −i~∇ és gömbi koordinátákra: r = er r, P = ∂ 2 R · P = −i~r ∂r . A P koordinátareprezentációban
1 ∂ +ˆ eϕ r sin θ ∂φ ). Ebb®l
gömbi koordinátákban így
" # ∂ 2 1 1 2 ∂ −i~r −~ r − ~2 2 ∆θφ = P = 2 r ∂r ∂r r 2 ∂ 2 ∂ 1 2 −~ + + ∆θφ = −~2 ∆rθφ = −~2 ∆ ∂r2 r ∂r r2 2
(37.6)
alakú. Mindez természetes megvilágításba helyezi azt a korábbi (35.17) eredményünket is, hogy az impulzusnyomaték négyzetének operátora koordinátareprezentációban és gömbi koordinátákban (a
−~2
faktortól eltekintve) éppen a Laplace-operátor szögekt®l függ® részével egyezik meg. Ugyanis
P2 = −~2 ∆, másrészt (37.5) szerint a P2 radiális része a szögletes 1 zárójelben található operátor, az L2 -ben tehát a Laplace szögekt®l függ® részének kell szerepelnie, R2
egyrészt
P → −i~∇
miatt
s ugyanez látható a (37.6) koordinátareprezentációban kiírt alakból is.
2 1 R 2 2 ∂ 1 ∂ = 2( R P + PR = Pr2 . r ∂r ) = −i~ r ∂r r R) 37.3 Feladat: A Pr operátor önadjungált, amit bizonyítsunk koordinátareprezentációban is. 2
∂ −~2 ( ∂r 2 +
37.2 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy
A (37.2) egyenlet
−
~2 ∆ψ(r) + V (r)ψ(r) = εψ(r) 2m
(37.7)
koordinátareprezentációs alakját gömbi koordinátákban fogjuk megoldani. Szeparáljuk a radiális és a szögekt®l függ® részt a
−~2 2m
∂2 2 ∂ + 2 ∂r r ∂r
1 1 −~ ∆θφ + V (r) ψ(r, θ, ϕ) = εψ(r, θ, φ) 2m r2 2
(37.8)
sajátérték-egyenletben a
ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y`m (θ, φ) =
u(r) m Y (θ, φ) r `
(37.9)
R(r) függvényre kapható 2 2 −~ ∂ 2 ∂ 2 1 `(` + 1) + R(r) + ~ R(r) + V (r)R(r) = εR(r) 2m ∂r2 r ∂r 2m r2
föltevéssel. Az
egyenletet radiális egyenletnek nevezzük, ebb®l nyerjük az
−
u(r) = rR(r)-re
(37.10)
vonatkozó
~2 d2 u ~2 `(` + 1) + u(r) + V (r)u(r) = εu(r) 2m dr2 2m r2
(37.11)
közönséges dierenciálegyenletet, amelyet szintén szokás radiális egyenletnek nevezni.
37.4 Feladat: Mutassuk meg, hogy
u(r)-re
valóban a fönti (37.11) dierenciálegyenlet adódik.
u(r) függvényre olyan, mint egy egydimenziós problémára vonatkozó energiasajátérték~2 `(`+1) a valódi potenciál helyett a V (r) + eektív potenciál szerepel benne. A 2m r2
Ennek alakja az egyenlet, csak
~2 `(`+1) neve centrifugális potenciál, ez analóg a klasszikus mechanikában is megjelen® 2m r2 potenciállal.
148
L2 /2mr2
38.
A radiális egyenlet megoldásainak aszimptotikus viselkedése
38.1. Aszimptotikus viselkedés r → ∞ esetén Ha
V (∞) → 0,
akkor
r→∞
esetén a potenciális energia tagot és a centrifugális energiát elhagy-
hatjuk, s így a
~2 d2 u = εu 2m dr2
−
(38.1)
egyenletet kapjuk. Ezt
d2 u 2m + 2 εu = 0 dr2 ~
(38.2)
alakba írva, fölismerjük, hogy ez egy ismert dierenciálegyenlet, amelynek megoldásai
ε cos kr, ha 2m ~2
ezek az
ε > 0
=
sin kr
és
k 2 értéke pozitív. Mivel ezek a függvények nem négyzetesen integrálhatóak, ezért
energiához tartozó megoldások az úgynevezett szórási állapotok (lásd
leírására alkalmasak. Ugyanez a helyzet, ha
ε = 0,
??.
felejet)
mert a megoldás ekkor lineáris függvény, amely
szintén nem négyzetesen integrálható.
Kötött állapotnak nevezett, négyzetesen integrálható megoldásokat csak akkor kapunk, ha Ekkor a
0<−
2m ε =: κ2 ~2
ε < 0. (38.3)
jelölést szokás alkalmazni. A fönti (38.2) egyenlet két alkalmas lineárisan független megoldása ekkor
e−κr , amelyek közül a κ > 0 miatt csak az utóbbi négyzetesen integrálható. aszimptotikus viselkedése a ∞-ben, kötött állapotok esetén tehát
eκr
és
A hullámfüggvény
u(r → ∞) ∼ e−κr .
(38.4)
38.2. Aszimptotikus viselkedés a 0 környezetében Tegyük föl, hogy a
V (r)
r = 0 közelében véges marad, vagy ha ∞-hez is ∞-be a 0 körül. Ez utóbbi osztályba tartozik a 1/r rendben divergál, de lassabban mint 1/r2 . Ekkor
potenciális energia az
tart, az nem gyorsabb, mint ahogyan
1/r2
tart a
Coulomb-típusú potenciál, amely az origóban a (37.11) radiális egyenletben a
0
körül a potenciális energiát elhagyhatjuk a centrifugális energia
tag mellett, és ugyancsak elhagyhatjuk az
εu
tagot is. Így a
d2 u `(` + 1) − =0 dr2 r2 másodrend¶ lineáris egyenletet kapjuk, amelynek két megoldása
(38.5)
r`+1
és
1/r` .
k 38.1 Feladat: Keressük a (38.5) egyenlet megoldását r alakban. ` 38.2 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy 1/r , ha ` 6= 0, akkor nem négyzetesen integrálható a
(0, ∞)
intervallumon.
1/r` alakú megoldás azonban a 0 körüli viselkedése miatt nem lesz négyzetesen integrálható, kivéve az ` = 0 esetet. u(r) 1 De ez utóbbi sem engedhet® meg, mert ekkor a 0 közelében R(r) = r ∼ r lenne amelyre alkalmazva a kinetikus energiában szerepl® ∆-t az eredmény a δ(r) Dirac-deltával lenne arányos 1 úi. ∆ = −4πδ(r) (amint az pl. az elektrosztatikából ismert, hiszen ez egy pontszer¶ töltés δ(r) r Az
s¶r¶ségéhez tartozó ismert energiából ily módon adódó
1 4πr potenciált adja a Poisson-egyenletnek megfelel®en).
δ(r)-nek
A kinetikus
megfelel® szingularitást csak a potenciális energia kompen-
zálhatná a sajátérték-egyenletben, abban az esetben, ha az is hasonlóan szinguláris lenne, azaz a
V (r) ∼ δ(r)
esetben.
De kikötöttük, hogy a potenciális energia
149
1/r2 -nél
kevésbé szinguláris a
0
körül, tehát ilyen esetben az
R(r) = 1/r
sem jöhet szóba. Azaz az
u függvényre a 0 körül a föntebb
`+1 -el arányos viselkedés lehet jó. Tehát el®írt viselkedés¶ potenciál esetén csak a nemszinguláris r
u(r → 0) ∼ r`+1 ,
(38.6)
amib®l az is látszik, hogy nulla körül a hullámfüggvény radiális része
R(r) = u(r)/r ∼ r` , azaz nullához tart, ha
` 6= 0,
és véges ha
(38.7)
` = 0.
Még fölírjuk a teljes radiális egyenletet kötött állapotok keresése esetén a fönt bevezetett
2m 2m d2 u `(` + 1) − u − 2 V (r)u = − 2 εu = κ2 u. dr2 r2 ~ ~ Itt célszer¶ bevezetni a
κr = %
dimenziótlan változót, amellyel az
ε<0
alakja, amelyet kötött állapotok, tehát
ahol a föntiek szerint
u-ra
(38.8) vonatkozó egyenlet azon
esetén használunk:
d2 `(` + 1) V (%/κ) − − − 1 u(%) = 0, d%2 %2 |ε|
u(% → 0) ∼ %`+1
és
κ-val:
(38.9)
u(% → ∞) ∼ e−% .
Ezt a radiális egyenletet gyakran használják az atom zikában, azonban a megoldása zárt, analitikus alakban csak néhány speciális alakú
V (r)
potenciális energia esetén lehetséges. Megoldására
ezért általában numerikus módszereket alkalmaznak. energia, a Coulomb-féle
1/r-el
Viszont az egyik legalapvet®bb potenciális
arányos potenciál esetén a megoldásokat analitikusan, elemi függvé-
nyek segítségével is meg lehet határozni. Ezzel a nagyon fontos esetttel foglalkozunk a következ® szakaszban.
39. Vonzó Coulomb-potenciál sajátértékproblémá ja, kötött állapotok Vonzó Coulomb-er® esetén a potenciális energia:
γ V (r) = − , r ahol
γ > 0.
(39.1)
Ilyen a potenciális energiája a hidrogénatomban (H-atom) a proton terében mozgó
elektronnak, ahol
γ=
ionok esetén, amelyek
1 2 4π0 q0
=: e20 , magjában Z
ahol
q0
az elemi töltést jelenti. Az úgynevezett hidrogénszer¶
hidrogénszer¶ ionokra példa az egyszer ionizált hélium: (Z
= 3),
1 2 4π0 Zq . A 2), a kétszer ionizált Li++
számú proton tart kötve egyetlen elektront:
+ (Z
He
=
γ =
stb. A megoldandó sajátérték-egyenlet ebben az esetben
P2 γ − 2m R
|ψi = ε |ψi .
A kötött állapotokra, tehát az el®z® szakasz eredménye szerint a negatív
(39.2)
ε-okra
szorítkozunk. Át-
térve koordinátareprezentációra és gömbi koordinátákra, az el®z® szakasz szerint, a
ψ
energiasaját-
függvényt a
ψ(r, θ, φ) = R(r)Y`m (θ, φ) =
u(r) m Y (θ, φ) r `
(39.3)
alakban kereshetjük, ahol a
r −
2mε r = κr = % ~2 150
(39.4)
jelöléssel most az
u(%)-ra
vonatkozó
d2 `(` + 1) 2mγ 1 − + 2 − 1 u(%) = 0 d%2 %2 ~ κ %
(39.5)
egyenletet kell megoldanunk. Vezessük be a
%0 =
2mγ ~2 κ
(39.6)
újabb dimenziótlan változót, ekkor az egyenlet
d2 `(` + 1) %0 − + − 1 u(%) = 0 d%2 %2 %
(39.7)
alakú. A megoldást az el®z® szakaszban vizsgált aszimptotikus viselkedés alapján az
u(%) = %`+1 w(%)e−% alakban keressük, ahol a
%`+1
tényez® biztosítja a helyes aszimptotikus alakot a
(39.8)
0
körül, az
e−%
∞ körül, a w(%) keresend® függvény pedig azt, hogy az u(%) fönti alakja az egyenlet pontos megoldása legyen. Behelyettesítve u ezen (39.8) alakját a (39.7) egyenletbe, w -re a következ® faktor a
dierenciálegyenletet kapjuk:
%
dw d2 w + 2(` + 1 − %) + (%0 − 2(` + 1))w = 0. 2 d% d%
(39.9)
w(%)-nak ezen kívül még olyannak is kell lennie, hogy ne rontsa el az (39.8) formulával már el®írt aszimptotikus alakokat, azaz w(%)-nak a 0 körül hatványsorba fejthet®nek kell lennie (egyébként a 0 körüli viselkedést elrontaná), másrészt a végtelenben csak lassabban n®het mint e% . Keressük tehát w(%)-t a ∞ X w(%) = ak %k (39.10) A
k=0 alakú hatványsor formájában. Beírva ezt a (39.9) egyenletbe, abból a föltételb®l, hogy minden
%-ra,
w
megoldás
a sor együtthatóira egy rekurziós formula adódik:
ak+1 =
2(k + ` + 1) − %0 ak . (k + 1)(k + 2` + 2)
(39.11)
Most megmutatjuk, hogy amennyiben a (39.10) összeg, azaz a sor, végtelen lenne, a rekurziós
u(%) aszimptotikus alakja elromlana, abban az értelemben, hogy u(% → ∞) ∼ u(% → ∞) ∼ e% állna fönn, azaz a függvényünk nem lenne négyzetesen 2 integrálható. Valóban, nagy k -ra (k `, %0 ) a fönti sor együtthatói között közelít®leg az ak+1 = ak k 2% rekurziós formula áll fönn, ez utóbbi pedig az e végtelen sorának tulajdonsága. Ha tehát a (39.11) rekurziós összefüggésel adott sor végtelen lenne, akkor az nagy k -k s így nagy %-k esetén elrontaná −% jelleg¶ aszimptotikus viselkedést. Emiatt a (39.10) sornak végesnek kell maradnia, az el®írt e azaz létezik egy olyan nr , amelynél anr 6= 0, de anr +1 = 0, s ekkor (39.11)-b®l következ®en az összes nr -nél nagyobb index¶ ak is elt¶nik, vagyis a sor egy nr -ed fokú polinommá redukálódik. Ez úgy formulából az következnék, hogy az
e−% helyett
és csak úgy lehetséges, ha (39.11) jobb oldalán a tört számlálója elt¶nik, azaz
%0 = 2(nr + ` + 1). A
w
polinom fokszámát megadó
nr
(39.12)
szám neve radiális kvantumszám. Most vezessük be az
n := nr + ` + 1 151
(39.13)
de nícióval a f®kvantumszámot, amely szükségképpen pozitív egész szám. Az elnevezés oka, hogy ez a szám határozza meg az energiasajátértékeit. A (39.6) de níció alapján ugyanis
%0 = amib®l
κ =
mγ 1 . ~2 n
Eszerint
2mγ = 2n, ~2 κ 2
2 2
κ 1 ε = − ~2m = − γ2~m 2 n2 ,
s így a
γ =
1 2 4π0 Zq
=: Ze20
de nícióval, a
Coulomb-potenciálnak megfelel® energiasajátértékek a következ®k:
εn = −
mZ 2 e40 1 . 2~2 n2
Ezek a vonzó Coulomb-potenciálhoz tartozó energiasajátértékek tehát diszkrétek (ez a kötött állapotokra jellemz®) és igen jó közelítéssel visszaadják a H-atom spektrumának (Z
= 1)
kísérletileg
talált els®dleges szerkezetét, a Lyman-, Balmer-, stb sorozatokat. Az eredmény megegyezik a Bohrmodellb®l kapható formulával, ám a Bohr-modell csak erre az esetre, azaz a Coulomb-potenciálra jó, a kvantummechanikai eljárás viszont általánosan mindenfajta potenciál esetén helyes eredményt ad. Megjegyezzük, hogy az energiasajátértékek fönti diszkrét spektrumát a határföltételek teljesítésének követelménye alapján kaptuk meg.
40. A hidrogénatom els®dleges spektruma Az el®z® szakaszban kapott eredmény a
Z=1
esetben megadja a H-atom spektrumának els®dleges
szerkezetét. A különféle nomításokról alább esik szó. Az illetve
13, 6
érték¶ek, ahol
nr
2, 2×10−18 J ,
eV nevezik 1 Rydberg nek. A H-atom kötött stacionárius állapotainak energiái tehát
εn = −
ahol
me40 energiaértéket amely 2~2
n
a f®kvantumszám.
1 Ry n2
(40.1)
Az el®z® szakasz eredményéb®l következ®en
n = nr + ` + 1 , ` a mellékkvan-
egy polinom fokszáma, tehát egy nemnegatív egész, másrészt tudjuk, hogy,
tumszám is nemnegatív egész
` = 0, 1, 2 . . ..
Ebb®l következik, hogy
n
lehetséges értékei a pozitív
egész számok. A legmélyebb energiájú állapot, vagy másnéven alapállapot energiája az állapothoz képest amikor az elektront a magtól a végtelenbe a
0
1 Ry
állapot felé.
152
1 Ry
energia kell ahhoz,
a H-atom ionizációs energiája.
gerjesztett állapotok energiáit kapjuk, amelyek gyorsan közelednek a
ahhoz
potenciálú helyre távolítjuk,
úgy, hogy ott a kinetikus energiája is még nulla marad. Minimálisan tehát hogy az elektront elszakítsuk a protontól, azaz
−1 Ry ,
0
n
növelésével a
energiához, azaz az ionizált
19. ábra. A H-atom stacionárius állapotainak energiái
Megjegyezzük, hogy a spektrumnak van folytonos része is, ugyanis minden játértékhez is tartoznak sajátállapotai a probléma (39.2)-ben megadott
H
Ezeket szokás szórási, vagyis nem kötött sajátállapotoknak nevezni (lásd
ε > 0
pozitív sa-
Hamilton-operátorának.
??.
felejet). Ezek írják
le azt a szituációt, amikor egy részecske, pl. elektron, a végtelenb®l érkezve szóródik egy centrum pl. atommag által létrehozott potenciálon, majd ismét a végtelenbe távozik valamilyen irányban. A kvantummechanika segítségével ki lehet számítani, hogy milyen irányba mekkora amplitúdóval, illetve valószín¶séggel szóródik a részecske. A szórási állapotok, illetve az azoknak megfelel® hullámfüggvények meghatározásával azonban itt nem foglalkozunk. Az el®z® szakaszban a kötött állapotokhoz tartozó energiasajátértékek mellett valójában a sajátvektorokat, illetve mivel koordinátareprezentációt használtunk, a sajátfüggvényeket is megadtuk.
n lineárisan független megoldása van, mivel adott n esetén az n = nr + ` + 1 egyenl®ség miatt az nr = 0, ` = n − 1; nr = 1, ` = n − 2; . . . nr = n − 1, ` = 0; értékeknek más-más polinom felel meg. Ezeket rendszerint az n és az ` értékével indexelik, s így a sajátfüggvények radiális része az el®z®ek szerint adott n esetén az n számú Rn` (r) = un` (κr)/r A radiális egyenletnek adott
n
esetén
függvény. Mivel
Rn` (r) = wnr (κr) egy nr -ed fokú e−κr függvény szorzata.
ahol az
polinom,
un` (κr) (κr)`+1 = wnr (κr)e−κr , r r az Rn` (r) függvény egy nr + ` = n − 1
153
(40.2) fokszámú polinom és
20. ábra. Az ábrák az elektron magtól mért távolságának valószín¶ségi s¶r¶ségét mutatják az egyes állapotokban. (r
2 |R (r)|2 ) n`
A szögekt®l függ® részt is gyelembe véve, a sajátfüggvények alakja
ψn`m (r, θ, ϕ) = Adott
n
un` (κr) m Y` (θ, ϕ). r
(40.3)
esetén így a lineárisan független, s®t ortogonális sajátfüggvények száma, az adott
értékhez tartozó
2` + 1
számú lehetséges
véve:
m
`
értéket, azaz különböz® gömbfüggvényt is gyelembe
n−1 X
(2` + 1) = n2 .
(40.4)
`=0 Az
n
f®kvantumszámhoz tartozó eneriasajátérték ezek szerint
n2 -szeresen
elfajult. Valójában azon-
ban mint tudjuk az elektronnak van még egy bels® szabadsági foka, a sajátimpulzusnyomatéka,
ms két értéket 2 vehet föl ±1/2, és ez a két állapot is ortogonális. Emiatt az elfajulás valójában 2n -szeres. Máskép2 pen ez azt jelenti, hogy a H , L , Lz , Sz itt egy CSCO-t alkot. Az ezeknek megfelel® kvantumszámok, másnéven a spinje , amelyre
j =: s = 1/2.
A megfelel® mágneses spinkvantumszám
n, `, m, ms . radiális részében szerepl® % = κr változóban a κ értékét q q me40 1 me20 1 2m a Z = 1 esetén κn = = − ~2 ε = 2m a 2 2 2 ~ 2~ n ~2 n
amelyek az állapotot már egyértelm¶en megadják: A (39.8) sajátfüggvény gyelembe vételével beírva,
%=
1 r n a0
a0 =
~2 me20
a föntiek
(40.5)
kifejezést kapjuk, ahol az
154
(40.6)
hosszúság dimenziójú mennyiség neve a Bohr-sugár. Az energiasajátértékeket ezzel kifejezve az
εn = −
e20 1 2a0 n2
(40.7)
eredmény adódik, melynek egy további fölírási módja:
εn = − ahol
mc2
q
(40.8)
az elektron nyugalmi energiája és
α= (itt
mc2 2 1 α 2, 2 n
e20 1 q2 1 = = ~c 4πε0 ~c 137, 04
(40.9)
az elektron töltése Coulombban mérve) egy dimenziótlan szám, amelyet Sommerfeld vezetett
be és nomstruktúra állandónak nevezzük. Az elnevezés arra utal, hogy a H-atom energiaszintjeinek nomabb szerkezetét, amely els®sorban relativisztikus eredet¶ korrekciókat tartalmaz az els®dleges szerkezethez képest, az
α
állandó határozza meg. Err®l alább még szólunk.
Az energiaspektrumnak és a sajátfüggvényeknek a fönt látott módszerrel történ® meghatározása Schrödinger nevéhez f¶z®dik (1926).
A történeti h¶ség kedvéért viszont jegyezzük meg, hogy a
spektrumot ugyanebben az évben de néhány hónappal korábban W. Pauli is megkapta egy ahhoz hasonló, de annál bonyolultabb algebrai módszerrel, ahogyan az impulzusmomentum 33. szakaszban tárgyalt általános elméletében a
J2
és a
Jz
sajátértékeit és közös sajátvektorait meghatároztuk.
A sajátfüggvények explicit alakját megtalálhatjuk számos könyvben vagy az interneten pl. az alábbi címen http://panda.unm.edu/courses/ nley/P262/Hydrogen/WaveFcns.html Itt csak az alapállapot normált hullámfüggvényét adjuk meg, melynek alakja
1 ψ100 (r, θ, φ) = √ π
1 a0
3/2
Ez egy gömbszimmetrikus állapot, azaz nem függ a
e−r/a0 .
θ, φ
tartozó
ψn`m
0, 1, 2, 3
értékeknek megfelel® hullámfüggvényeket rendre az
szögekt®l.
(40.10) Adott
n, `
számpárokhoz
állapotok együttesét héjaknak, a mellékkvantumszám értéke szerint pedig az
Egy másfajta terminológia szerint az
n=1
állapot neve
K
` =
s, p, d, f pályáknak szokás nevezni. n = 2 az L héj, n = 3 az M héj.
héj, az
Az egyes pályák térbeli struktúráját viszonylag jól szemléltetik a http://www.orbitals.com/orb/orbtable.htm címen megtekinthet® ábrák, ahol a piros szín
a függvény pozitív a kék a negatív értékét jelzi. Az
egyes állapotokat, pályákat a f®kvantumszám és a mellékkvantumszám megadásával jelöljük, az értékét a megfelel® számmal,
` értékét pedig a jelzett konvenció szerinti bet¶vel.
n
Az alapállapot jele
teh át az stb.
1s,
az els® gerjesztett állapotok a
2s,
és
2p
pályák, ezután következnek a
Az eddig használt modellben (Coulomb-potenciál) az energia csak az
különböz®
`-hez
n
3s, 3p, 3d
pályák,
értékét®l függ, a
tartozó állapotok azonos energiájúak. HIDROGÉNATOM STACIONÁRIUS ÁLLAPOTAI
Az ábra az elektron megtalálási valószín¶ségi s¶r¶ségfüggvényének nívófelületeit mutatja a hidrogénatom valamely stacinárius állapotában. Az állapotot az n, l, m kvantumszámok beállításával választhatjuk ki.
155
21. ábra. Az elektron megtalálási valószín¶ségi s¶r¶ségfüggvényének nívófelületei a hidrogénatom
n=3
f®kvantumszámhoz tartozó stacinárius állapotaiban
156
A föntiekben már utaltunk rá, hogy a Coulomb-potenciálhoz tartozó (39.2) Hamilton-operátor a valódi hidrogénatomhoz tartozó Hamilton-operátornak csak egy jó közelítése, az ebb®l föntebb számított spektrumot nevezzük a H-atom els®dleges szerkezetének.
Valójában azonban a (39.2)
által nem tartalmazott további kölcsönhatások miatt a H-atom tényleges spektruma kissé különbözik a fönti egyszer¶ eredményt®l. A részletek mell®zésével alább röviden fölsoroljuk a megfelel® korrekciókat. 1. A H-atom valójában egy kéttest probléma, a proton tömege szigorúan véve nem végtelen. Viszonylag egyszer¶en megmutatható, hogy a klasszikus mechanikához hasonlóan a tömegközéppont mozgása és a relatív mozgás szétválaszthatók. A fönti eredményeket ez annyiban befolyásolja, hogy az elektron
m
tömege helyett mindenütt az
a proton tömege. Mivel
mp
mr =
mmp m+mp redukált tömeget kell használni, ahol
mp
sokkal (1837-szer) nagyobb az elektron tömegénél, ez lényegében alig
okoz számszer¶ változást az eredményekben.
22. ábra. A tömegközépponti koordináták bevezetése
2. Relativisztikus korrekciók. Ezek az els®dleges szerkezetre kapott
α2
≈
1Ry
nagyságú energiáknál
0, 53×10−4 -szer kisebbek, de a degenerációt részben föloldják, azaz az els®dkleges energianívók
egy nomabb fölbontásban több egymáshoz közeli nívóra hasadnak föl. Ezt nevezzük nomszerke-
zetnek. Relativisztikus esetben ugyanis a
H
Hamilton-operátor a spint®l is függ, és föllép az ún.
L és S (komponensenként) külön-külön már nem cserélhet®k föl, ezek már nem mozgásállandók. 2 A megmaradó mennyiség ebben az esetben a J = L + S, a teljes impulzusnyomaték operátora. A J 2 operátor ~ j(j + 1) sajátértékeiben szerepl® j kvantumszámról ilyenkor megmutatható, hogy értéke j = l + 1/2 illetve j = l − 1/2 lehet, ez utóbbi csak akkor, ha l 6= 0. A megfelel® állapotot ilyenkor lj -vel szokás jelölni, ahol az l helyére az s, p, d stb. bet¶k valamelyikét írjuk az l = 0, 1, 2 stb. pályáknak megfelel®en. A spin-pálya kölcsönhatás miatt pl. a p1/2 illetve a p3/2 állapotokhoz tartozó energiák különböznek, mert ekkor az energia már függ j -t®l. Az energiakülönbség a 2p3/2 és a 2p1/2 spin-pálya kölcsönhatás. Ilyenkor a Hamilton-operátorral az elektron pályaimpulzusnyomatéka a spinje
nívók között kb. 10,9 GHz frekvenciának felel meg. A nomszerkezetnek a kísérleti értékekkel megegyez® elméleti leírása a P. Dirac nevéhez f¶z®d® relativisztikus egyenlet alapján lehetséges, amely az elektron spinjér®l is els® elvek alapján ad számot. A részleteket illet®en az atom zikai, illetve a további kvantummechanikai tanulmányokra utalunk. Érdemes itt megjegyezni, hogy a nomszerkezet els® elméleti leírása A. Sommerfeld nevéhez f¶z®dik, aki a helyes magyarázattal szemben végül is hibásnak bizonyult értelmezéssel jutott mindazonáltal a kísérletekkel megegyez® eredményre.
157
3. Az úgynevezett Lamb-féle eltolódás, amelyet el®ször W. Lambnak sikerült megmérnie 1947ben.
Ez egy kvantumelektrodinamikai eektus, amit ugyancsak 1947-ben H. Bethe magyarázott
meg els®ként számítással. Az eltolódás az atomot körülvev® elektromágneses vákuum kvantumos tulajdonságainak a következménye. Ennek következtében a kissé különböz®vé válik, annak ellenére, hogy a
j = 1/2
2s1/2
és a
2p1/2
állapotok energiája egy
értéke a két állapot esetén ugyanaz, s így
a Dirac-elmélet szerint ezek azonos energiájúaknak adódnak. A Lamb-eltolódás nagyságrendje az els®dleges szerkezetnél
α3 |ln α| ≈ 1, 9 × 10−6 -szor
kisebb, az említett nívók esetén ez 1,057 GHz.
4. A hiper nom struktúra, amely a mag spinjéhez és az elektron spinjéhez csatolódó mágneses
n > 1 állapotokon a nomstruktúránál kb. 1000-szer kin = 1 alapállapotot is fölhasítja, ahol ennek mértéke 1420 MHz,
nyomatékok kölcsönhatásából ered, és az sebb. A hiper nom kölcsönhatás az
jóval nagyobb, mint a gerjesztett állapotok esetén. Az ennek megfelel® 21 cm-es hullámhosszúságú elektromágneses sugárzás kibocsátását lehet meg gyelni a világ¶rbeli H-atomokon.
23. ábra. Korrekciók a H-atom spektrumához
158
24. ábra. A korrekciók nagyságrendje
n = 2; l = 1
esetében
41. Többrészecske rendszerek és azonos részecskék Egy-egy részecske állapotát a korábbiak szerint egy
H Hilbert-térbeli vektorral adjuk meg.
Ha több
különböz® részecskénk van, akkor a leírásra ezen terek úgynevezett tenzori szorzatát használjuk,
|ϕi ∈ H1 és |ψi ∈ H2 . Tekintsük el®ször a |ϕi |ψi alakú rendezett párok halmazát, amelyeket a |ϕi és |ψi tenzori szorzatának nevezünk, szokásos erre a |ϕi ⊗ |ψi jelölés is. Ezeket az elemeket a H1 ⊗ H2 -vel jelölt tenzori szorzattér speciális elemeinek fogjuk tekinteni. Legyen most |ui i egy ortonormált bázis P P bj |vj i. A ai |ui i, illetve |ψi = H1 -ben és |vj i egy ortonormált bázis H2 -ben, és legyen |ϕi = j i P P |ϕi |ψi szorzatot a |ϕi |ψi = ai |ui i bj |vj i alakba írva és a szorzásokat tagonként elvégezve a i j P |ϕi |ψi = ai bj |ui i |vj i eredményt kapjuk. Ennek alapján tekinthetjük az |ui i |vj i alakú, (vagy amely maga is egy Hilbert-tér.
Ezt a következ®képpen vezetjük be.
Legyen
i,j
|ui i ⊗ |vj i
alakú) rendezett párokat a tenzori szorzattér bázisvektorainak, amely bázisban a
elem kifejtési együtthatói az
ai bj
|ϕi |ψi
alakú szorzatok.
Egy lineáris tér esetén azonban, a bázisvektorok tetsz®leges lineáris kombinációjának a tér elemének kell lennie, tehát az
|ui i |vj i
összes lehetséges tetsz®leges
|Ψi =
X
cij
(komplex) számokkal képezett
cij |ui i |vj i
(41.1)
i,j lineáris kombinációját, vagy a bonyolultabb írásmóddal a
|Ψi =
P
cij |ui i ⊗ |vj i
elemeket is meg
i,j kell engednünk ahhoz, hogy az így kapott vektorok valóban lineáris vektorteret adjanak. Ezért a következ®kben ezen lineáris kombinációk összességét tekintjük a tenzori szorzattér elemeinek de níciójaként. Világos azonban, hogy egy ilyen hogy tetsz®leges
i-re
és
j -re
cij
általában nem írható
számokhoz találjunk egy olyan
ai
és
bj
|ϕi |ψi
alakba, mert ehhez az kellene,
számsorozatot, hogy a
cij = ai bj
minden
teljesüljön, ami általában nem lehetséges.
Ha mind
H1
mind
H2
szorzattér nyilvánvalóan
cij
|Ψi
n1 illetve n2 , akkor a H1 ⊗H2 tenzori cij = ai bj alakú fölbontás lehetetlensége tetsz®leges hiszen n1 · n2 számú föltételt n1 + n2 adattal kellene
véges dimenziós és a dimenziószámok
n1 · n2
dimenziós. A
esetén ebb®l már közvetlenül is látszik,
kielégíteni.
41.1 Feladat: Legyen
H1
és
H2
is kétdimenziós és legyen ezekben
159
|ui i,
illetve
|vj i
bázis. Tekintsük a
|Ψi = c11 |u1 i |v1 i + c22 |u2 i |v2 i. ez a két együttható c11 és c22 nem
tenzori szorzattér következ® elemét Mutassuk meg, hogy ha pontosan és
|ψi,
nulla, akkor nincs olyan
|ϕi
aminek ez az elem a tenzori szorzata lenne.
A tenzori szorzattér tehát tartalmazza az egyes terek vektorainak tenzori szorzatát, de annál b®vebb, vannak olyen elemei amelyek nem írhatók szorzat alakba. A
H1 ⊗ H2 -beli bels® szorzatot a X X X X cij |ui i |vj i , dkl |uk i |vl i = c∗ij dkl hui |uk i hvj |vl i = c∗ij dij i,j
k,l
(41.2)
i,j
i,j,k,l
el®írásnak megfelel®en számítjuk ki. Meg lehet mutatni, hogy a tenzori szorzattér elemeire adott (41.1) de níció, illetve a bels® szorzat értéke független a
H1 -beli
és
H2 -beli
bázisválasztástól. Ez utóbbi tény arra utal, hogy lehetséges a
tenzori szorzattérnek egy eleve bázisoktól független, jóval elegánsabb, de emiatt több absztrakciót igényl® de níciója. Erre vonatkozóan a matematikai irodalomra utalunk. A kvantummechanikában a tenzori szorzattér elemei között föllép® különböz®ség jelent®s zikai különbséget jelent. A
|ϕi |ψi
alakú elemeket szorzatállapotoknak nevezzük, azokat pedig amelyek
nem írhatók szorzat alakba, összefonódott állapotoknak. A tenzori szorzattér általános fogalma viszonylag egyszer¶en megérthet® abból a konkrét pél-
ϕ(x1 ) és ψ(x2 ) négyzetesen integrálható függvények tere, x tengely menti elhelyezkedéséhez tartozó valószín¶ségi amplitúdók. A szorzatállapotok ekkor a ϕ(x1 )ψ(x2 ) függvényszorzatok, míg a teljes tenzori szorzattér elemei az összes mindkét változójuk szerint négyzetesen integrálható Ψ(x1 , x2 ) kétváltozós függvények. Világos, hogy nem minden ilyen kétváltozós függvény írható ϕ(x1 )ψ(x2 ) alakba, de kifejthet® az egyes terekben értelmezett ui (x1 ) és vj (x2 ) külön-külön ortonormált bázisfüggvények rendszere sze-
dából, amikor a két szóban forgó tér a amelyek egy-egy részecske
rint. A fönti konstrukció illetve de níció nyilvánvaló módon kiterjeszthet® arra az esetre, ha nem két hanem több részecskénk van. Ilyenkor az együttes állapotok
P
cij...l |ui i |vj i . . . |wl i alakúak, azaz
i,j,...l az egyes részecskék terében választott ortonormált bázisok szorzatainak lineárkombinációi adják a lehetséges állapotokat. Mindez azonban csak abban az esetben érvényes, ha a szóban forgó részecskék különböz®ek, ami azt jelenti, hogy valamely bels® tulajdonságuk szempontjából különböznek. Például egy elektron és egy pozitron különbözik a töltésében, egy elektron és egy müon különböz® tömeg¶ stb.
Ezek
az ún. megkülönböztethet® részecskék. Megkülöböztethet® részecskék együttes állapottere a megfelel®
egyrészecske terek tenzori szorzata. A kvantummechanikában azonban vannak megkülönböztethetelen részecskék is. Jelenlegi ismeretink szerint pl. két elektron, vagy két foton semmilyen módon nem különböztethet® meg. Megjegyezzük, hogy ez a tulajdonság nem azonnal nyilvánvaló egy-egy új részecske fölfedezésénél. Eleinte úgy gondolták, hogy a több különböz® folyamatban is keletkez® neutrínók is azonosak. Kés®bb kiderült, hogy ez nem így van, a neutrínó különbözik az antineutrínótól, illetve léteznek úgynevezett
µ-neutrinók
és elektron-neutrinók.
részecskék bels® szerkezetét
u
A proton, a neutron és más er®s kölcsönhatásban részt vev®
(up) és
d
(down) és további kvarkok mint összetev®k segítségével le-
het megmagyarázni. A továbbiakban világossá vált, hogy az
u
kvarkok sem mind azonosak, hanem
a színtöltésnek nevezett tulajdonságban különböznek egymástól. Az alábbiakban tehát a minden tekintetben azonos részecskékre vonatkozó meggondolásokat teszünk. A megkülönböztethetetlenség miatt egy érdekes probléma merül föl.
Ennek megvilágítására
tekintsünk példaként két azonos részecskét és egy olyan kísérletet ahol ezek a laboratóriumban szóródnak egymáson.
Legyen a két részecske állapota kezdetben
|1 : pz ; 2 : −pz i,
ahol
|pz i
egy
ˆ z
irányba haladó de Broglie-hullám. Egy pontosabb leírásnál lehet ez egy normálható hullámcsomag
160
hP i = pz . Tegyük föl, hogy a szóródás után az egyes részecskéket a tömegközépn ˆ illetve a −ˆ n egységvektorokkal jelzett irányban detektáljuk.
állapot is, amelyben pontból nézve az
25. ábra. Azonos részecskék szóródása egymáson
A folyamat kétféleképpen is végbemehet. Az egyik lehet®ség szerint az 1. részecske szóródik az
n ˆ
irányba és a 2. a
2. az
n ˆ
−ˆ n
irányba. A másik szerint pedig az 1. részecske szóródik a
−ˆ n
irányba és a
irányba. Így a következ® kétfajta átmenet lehetséges:
|1 : pz ; 2 : −pz i −→ |1 : pn ; 2 : −pn i ,
(41.3)
|1 : pz ; 2 : −pz i −→ |1 : −pn ; 2 : pn i .
(41.4)
vagy
Ez a két végállapot általános értelemben még ortogonális is egymásra. Ha a részecskék megkülönböztethet®k, akkor meg lehet mondani, hogy melyik a végállapot. Ha viszont a részecskék megkülönböztethetetlenek, akkor nem tudjuk megmondani, hogy melyik következett be, mert az eddigiek alapján a kett® közül akármelyik is lehet, s®t az is lehet, hogy az igazi végállapot a kett® lineáris kombinációja:
|Ψf (1, 2)i = c1 |1 : pn ; 2 : −pn i + c2 |1 : −pn ; 2 : pn i . Itt tehát egy zikai eredményhez (nevezetesen, hogy egy részecske érkezik az detektorba és egy a
−n
(41.5)
n irányban elhelyezett
irányban találhatóba) végtelen sok különböz® állapotvektor is rendelhe-
t®. Ezt egyfajta degenerációnak szokás tekinteni, és ezt nevezzük kicserél®dési degenerációnak. Ez azonban zikai szempontból nem kielégít®. Egyszer¶en meg lehet ugyanis mutatni, hogy a fönti, meghatározott zikai szituációhoz tartozó állapoton végrehajtott kvantumos mérési eredmény valószín¶sége függ az együtthatók választásától. Más szóval, egy meghatározott zikai szituációban a mérési eredmény valószín¶sége nincs egyértelm¶en meghatározva. Arra a következtetésre jutunk tehát, hogy a (41.5) képlettel leírt példában az együtthatóknak egyértelm¶en meghatározottnak kell lenniük. lasza a következ®. a
|Ψ(1, 2)i
Ezek megválasztására nézve pedig a természet vá-
Az egyértelm¶ és helyes eredményt bizonyos részecskéknél akkor kapjuk, ha
állapot szimmetrikus a részecskék fölcserélésével szemben, míg a részecskék egy másik
osztálya esetén a helyes állapot antiszimmetrikus. Szimmetrikusnak nevezünk egy kétrészecske állapotot, ha a részcskék cseréje esetén az állapotvektor önmagába megy át, antiszimmetrikusnak akkor, ha az állapotvektor el®jelet vált. El®rebocsátjuk az eredményt amelyet alább részletesen is elemezni fogunk, majd posztulátumként is ki fogunk mondani. Tapasztalati tény a következ®. Ha a megkülönböztethetetlen részecskék spinje egész, akkor az állapotuk szimmetrikus, ha a spinjük feles, akkor antiszimmetrikus. A fönti példában így egész spin¶ részecskék esetén a spin¶eknél a
c1 = −c2
s ezt megköveteljük a
c1 = c2 ,
feles
a helyes választás. Ha az egyes részecskékre vonatkozó állapotok normáltak,
|Ψf (1, 2)i-t®l
is, akkor továbbá
161
√ |c1 | = |c2 | = 1/ 2.
Általánosabban is meg fogjuk fogalmazni ezt. Tekintsünk egy állapotot
H ⊗ H-ban,
ahol most a
két Hilbert-tér azonos, mivel a részecskék is azonosak. A föntiek szerint ennek egy általános eleme
P
ij cij
|ui uj i.
Vezessük be a
P21
fölcserél® operátort, amelynek hatása az, hogy a két részecskét
megcseréli, azaz egy konkrét szorzatbázisban történ® kifejtés esetén a két bázisvektort átcseréli. Egy tetsz®leges állapotra tehát, amelynek alakja egy alkalmas bázisban
X
cij |ui uj i −→ P21
ij
P21
Az így de niált
2 P21
= 1.
A
P21
X
cij |ui uj i =
X
ij
cij |uj ui i .
ij
operátort kétszer alkalmazva nyilván visszakapjuk az eredeti állapotot, ezért
|ui uj i bázison a ( ui0 uj 0 , P21 |ui uj i) = ( ui0 uj 0 , |uj ui i) = δi0 j δj 0 i ,
emellett önadjungált operátor is, mivel az
ami megegyezik a
(41.6)
mátrixelemeinek alakja (41.7)
† P21
† |ui uj i) = (P21 ui0 uj 0 , |ui uj i) = ( uj 0 ui0 , |ui uj i) = δj 0 i δi0 j ( ui0 uj 0 , P21
(41.8)
mátrixelemeivel, s így az önadjungáltság föltétele a linearitás miatt ezen báziselemek minden lineáris kombinációjára, azaz tetsz®leges vektorra fönnáll. Így
† P21 = P21 .
(41.9)
A fönti két tulajdonságból következik, hogy
† † = 1, P21 = P21 P21 P21 vagyis
P21
(41.10)
unitér is.
Vizsgáljuk
P21
sajátvektorait. Ezekre
Azok a sajátvektorok, amelyekre
λ=1
P21 Φ = λΦ.
Mivel
2 Φ = Φ = λ 2 Φ, P21
λ = ±1. λ = −1 az
láthatólag
a szimmetrikus vektorok, azok pedig amelyekre
antiszimmetrikusak. Vezessük be az
1 S = (1 + P21 ) 2
és az
szimmetrizáló és antiszimmetrizáló operátorokat.
1 A = (1 − P21 ) 2
(41.11)
Érvényesek a következ® állítások:
S
és
A
ön-
adjungált és idempotens operátorok, tehát projekciók. Egymásra ortogonális alterekre vetítetnek, mert
Továbbá
illetve
Ezek a
H⊗H
SA = AS = 0.
(41.12)
1 P21 S = P21 (1 + P21 ) = S, 2
(41.13)
1 P21 A = P21 (1 − P21 ) = −A. 2
(41.14)
szimmetrikus, illetve antiszimmetrikus alterei.
Vegyünk most egy tetsz®leges vektort, alkalmazzuk rá vektora, illetve
A-t
amely
P21
S -et,
akkor ez
P21
szimmetrikus saját-
antiszimmetrikus sajátvektora. Valóban
P21 AΨ = −AΨ.
P21 SΨ = SΨ,
(41.15)
Továbbá a két tér direkt összege kiadja a teljes teret, mert
S + A = 1,
162
(41.16)
ami másképpen azt jelenti, hogy tetsz®leges kétrészecske állapot egyértelm¶en fölbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus állapot összegére:
1 1 Ψ = (1 + P21 )Ψ + (1 − P21 )Ψ = Ψs + Ψa , 2 2 ahol
Ψs
és
Ψa
ortogonálisak egymásra.
Bonyolultabb a helyzet akkor, ha a részecskék gyalásához fölidézzük a permutációk fogalmát.
N
(41.17)
N
N
száma több mint
2.
Ennek az esetnek a tár-
db különböz® objektum az alábbiakban az els®
természetes szám különböz® lehetséges sorrendekbe való rendezésést nevezzük permutációknak.
Egy permutáció a következ®
1 2 ... N k1 k2 . . . kN
,
(41.18)
vagy csak egyszer¶en
(k1 k2 ...kN ), ahol
(41.19)
(k1 k2 ...kN ) az els® N szám egy más sorrendben való fölírását jelenti. N ! és az egyes permutációkat α bet¶vel is fogjuk jelölni, ahol α
ciók száma
A lehetséges permutávalamilyen
(k1 k2 ...kN )
permutációt jelent. Ismeretes, hogy értelmezhetjük a permutációk kompozícióját vagy szorzatát és, hogy a permutációk algebrai értelemben csoportot alkotnak, amelyet szimmetrikus csoportnak nevezünk. Minden permutáció megadható mint párok fölcserélésének, más néven transzpozíciójának egymásutánja, azaz szorzata. Egy permutáció többféleképpen is el®állítható transzpozíciók szorzataként, de egy adott
N
esetén minden permutáció két osztályba sorolható, a páros és a páratlan
permutációk közé, azaz beszélhetünk a permutáció paritásáról. lyeket az eredeti
(1, 2, 3, . . . N )
A páros permutációk azok, ame-
sorozatból a számok páros számú fölcserélésével érhetünk el, míg
páratlanok azok, amelyeknél ezen fölcserélések száma páratlan. Noha a fölcserélések száma, mint említettük többféle is lehet, ezen számok paritása, azaz páros vagy páratlan volta egyértelm¶en meghatározott egy adott permutáció esetén. A páros és páratlan permutációk száma minden adott
N
N !/2. α permutációhoz hozzárendelhetünk egy εα = (−1)c számot, ahol c az (1, 2, 3, . . . N ) sorrendb®l az adott α permutáció eléréséhez szükséges cserék száma. εα = +1, ha a permutáció páros és εα = −1 ha páratlan. Rendeljünk hozzá ezek után minden α permutációhoz egy Pα operátort a következ®képpen esetén ugyanannyi:
Ilyen módon minden
P(k1 k2 ...kN ) Megmutatható, hogy a
X
Pα
α = (k1 k2 . . . kN ) −→ P(k1 k2 ...kN ) = Pα , E X ci1 i2 ...iN |ui1 ui2 . . . uiN i = ci1 i2 ...iN uik1 uik2 . . . uikN .
(41.20) (41.21)
operátorok unitérek, de nem önadjungáltak. Ez utóbbi onnan látható,
hogy két permutáció (pl. két transzpozíció) szorzata nem ugyanaz fordított sorrendben. A transzpozíciók önadjungáltak, szorzatuk viszont csak akkor, ha fölcserélhet®k, s ez utóbbi általában nem áll fönn. Vezessük be az
1 X Pα N! α
(41.22)
1 X εα P α N! α
(41.23)
S= és az
A=
S † = S , A† = A és idempoten= = A, tehát projekciók. S és A egymásra most is ortogonális, azaz SA = AS = 0, de összegük az N = 2 eset kivételével nem adja ki az egységet. Az S operátor sajátvektorai alkotják a tenzorszozat tér teljesen szimmetrikus alterét, az A operátoré az antiszimmetrikus alteret. operátorokat. Ezekr®l viszont megmutatható, hogy önadjungáltak:
2 sek, S
S , A2
163
Vannak azonban olyan ezekre ortogonális alterek, amelyek sem nem szimmetrikusak sem nem antiszimmetrikusak, kivéve ha csak két részecskér®l van szó. A permutációcsoport tulajdonságai alapján be lehet látni, hogy tetsz®leges
α0 permutáció esetén
Pα0 A = εα0 A.
Pα0 S = S,
Ez utóbbi egyenl®ségek közül az els® szerint bármilyen
Ψ
állapotra
(41.24)
Pα0 SΨ = SΨ.
Vagyis az
S
sajátalterében lév® állapotban a részecskék tetsz®leges cseréje esetén a vektor nem változik, ezért is nevezzük ezt az alteret szimmetrikusnak. A második egyenl®ség szerint pedig, az antiszimmetrikus altér egy állapotán végrehajtott permutáció nyomán az állapot nem változik, ha a permutáció páros, de el®jelet vált, ha a permutáció páratlan, így speciálisan minden csere is el®jelváltáshoz vezet. A többrészecskerendszerben értelmezett lineáris operátorok általános alakja
B(1, 2, . . . N ),
ahol
a számok egyszer¶en azt jelentik, hogy az operátor valamilyen módon hat az els®, a második stb. részecske koordinátáira (a koordináta szót itt most megfelel® általános értelemben értjük). Speciális esetként tekintsük a Hamilton-operátort. Ha a részecskék azonosak, akkor a
H
operátor nem
változhat, ha bármely két részecskét egymással fölcserélünk, s így akkor sem, ha azok bármely permutációját vesszük. Emiatt
Pα H(1, 2, . . . N )Ψ(1, 2, . . . N ) = H(α(1, 2, . . . N ))Ψ(α(1, 2, . . . N )) = = H(1, 2, . . . N )Pα Ψ(1, 2, . . . N ). A fönti egyenl®ségb®l látható, hogy a torokkal. Ezért a
H -t
H(1, 2, . . . N )
operátor fölcserélhat® a
(41.25)
Pα
permutációs operá-
és minden ilyen tulajdonsággal bíró operátort szimmetrikusnak nevezünk.
Most már kimondhatjuk a posztulátumot, amely föloldja a korábban látott kicserél®dési degenerációt:
7. Posztulátum: Több azonos részecskéb®l álló kvantumrendszer állapottere a
H = H ⊗ H ⊗ ... ⊗ H
tenzori szozat
Hilbert-térnek a részecskék fajtájától függ®en vagy a teljesen szimmetrikus, vagy a teljesen antiszimmetrikus altere. Azokat a részecskéket, amelyek állapottere a szimmmetrikus altér bozonoknak (S. Bose indiai zikus nevéb®l), amelyeké az antiszimmetrikus altér, azokat fermionoknak ( E. Fermi nevéb®l) nevezzük.
A tapasztalat szerint ha a kérdéses részecskék sajátimpulzusmomentumát,
j (0, 1, 2 . . .) kvantumszám adja meg, j (1/2, 3/2 . . .) kvantumszám, akkor fermionok. spinjét egész
akkor a részecskék bozonok, ha pedig félegész
Ezt a posztulátumot a tapasztalat alapján lehet megállapítani. Alább látni fogjuk, hogy milyen zikai tények szólnak az érvényessége mellett. A kvantummechanikán túlmutató kvantumtérelmélet keretén belül ez az úgynevezett spin és statisztika kapcsolatáról szóló tétel további megalapozást is kap.
42. Független részecskék Sokszor el®fordul, hogy egy sokrészecskerendszert úgy kezelünk, mintha az egyes részecskék között nem lenne kölcsönhatás.
Ez egzakt például üregbeli elektromágneses mez®t reprezentáló fotonok
esetén, amelyek között nincs kölcsönhatás. Sok esetben azonban közelít®leg igaznak tekinthet® pl. elektronok vagy más részecskék esetében is, ha azok térfogati s¶r¶sége nem túlságosan nagy. Ekkor az el®z® szakaszban tárgyaltak szerint a többrészecskerendszerbeli állapotok egyrészecskeállapotok, azaz az egyes Hilbert-térbeli elemek tenzorszorzatainak speciális lineáris kombinációiként írhatók föl, mert van értelme külön-külön egyrészecske állapotokról is beszélni. Vizsgáljuk el®ször két részecske esetét. Tegyük föl, hogy tudjuk, hogy két részecske esetén az egyik a
|ϕi
a másik a
|χi
állapotban van, akkor a szimmetrizálási posztulátumnak megfelel® zikai
állapot bozonok esetén
|Ψi = N (|ϕi |χi + |ϕi |χi),
164
(42.1)
fermionok estén
|Ψi = N (|ϕi |χi − |ϕi |χi),
a normálási tényez®. Ha |ϕi és |χi ortogonális N éppen 1/ 2. Abban a speciális esetben, |ϕi = |χi, a bozonokra a |ϕi |ϕi az eremény, amely nyilvánvalóan szimmetrikus, fermionokra viszont 0, azaz két fermion nem lehet ugyanabban az egyrészecske állapotban. Ezt nevezzük Pauliahol
N
(42.2)
√
amikor
elvnek.
N
független részecske esetén, ha az egyrészecske állapotok
|ϕ1 i , |ϕ2 i , . . . |ϕN i, akkor fermionok
esetén a megfelel® teljesen antiszimmetrikus állapot egy determináns:
|1 : ϕ1 i |2 : ϕ1 i . . . |N : ϕ1 i |1 : ϕ2 i |2 : ϕ2 i . . . |N : ϕ2 i |Ψi = N . . . .. . . . . . . . |1 : ϕN i |2 : ϕN i . . . |N : ϕN i amelyet Slater-determinánsnak nevezünk. adik részecske a
|ϕj i
,
(42.3)
|k : ϕj i ≡ |ϕj (k)i
Itt egy elem
azt jelenti, hogy a
k-
egyrészecske állapotban van. Ha a determinánsban bármely két egyrészecske
állapot megegyezik, akkor a determináns megfelel® sorai is megegyeznek, amib®l következik, hogy a determináns
0,
s így ilyen állapot nem lehetséges. Így ismét a Pauli-elvet kaptuk, amely tehát a
fermionokra vonatkozó antiszimmetrizálási posztulátum speciális esete. Tekintsük most az
N
db független, tehát nem kölcsönható részecske
operátorát. Mivel nincs kölcsönhatás, a
H
H(1, 2, . . . N )
Hamilton-
szükségképpen az egyes részecskék Hamilton-operátorának
összege:
H(1, 2, . . . N ) =
N X
h(i),
(42.4)
i=1 ahol minden
h(i) = h
azonos alakú, mert a részecskék azonosak. Oldjuk meg
h
sajátértékproblé-
máját:
Ekkor a teljes
h |ϕk i = εk |ϕk i .
(42.5)
H |Ψi = E |Ψi
(42.6)
H
sajátértékproblémájának megoldásai lesznek a (42.7) |Ψi = |ϕk1 (1)i |ϕk2 (2)i . . . |ϕkN (N )i alakú vektorok a tenzori szorzattérben, ahol a ϕkj (1) ≡ 1 : ϕkj állapot valamilyen megoldása a fönti (42.5) úgynevezett egyrészecske-egyenletnek, és a H megfelel® energiasajátértékei E = εk1 + εk2 + . . . + εkN . A (42.7) tenzori szorzatként írt, matematikailag helyes megoldás azonban általában nem teljesíti a szimmetria vagy antiszimmetria követelményét. Azaz ahhoz a követelményhez, hogy (42.7) egy zikai állapotnak megfelel® valódi sajátvektor, vagy az vagy az
A
S
operátor (bozonok),
operátor (fermionok) sajátvektorának is kell lennie. Ezért egy tetsz®leges sajátvektort
|Ψi-re alkalmazzuk Pα fölcserélhet®k ld. 41. szakasz, világos, hogy bármely Pα permutációs operátort alkalmazva a |Ψi vektorra az eredmény ismét ugyanezen E sajátértékhez tartozik, s ugyanez igaz a permutációk S vagy A típusú lineáris kombinációira is. Az így kapott S |Ψi, illetve A |Ψi vektorok tehát azon kívül, hogy H sajátvektorai teljesítik a megfelel® szimmetrizálni, vagy antiszimmetrizálni kell. Az el®z®ek szerint ehhez a fönti az
S,
illetve az
A
operátort, s mivel
H
és minden
szimmetrizálási posztulátumot is.
42.1. Azonos független részecskék alapállapotai Alapállapotnak a kvantumrendszer legalacsonyabb energiájú állapotát nevezzük. (A környezetével termikus egyensúlyban lév® rendszer elegend®en mély h®mérsékleten ebben az állapotban található.)
Az el®z® alpontban mondottak szerint, a bozonok esetében a független részecskékb®l álló
165
sokrészecskerendszer legalacsonyabb együttes energiája nyilvánvalóan egy olyan állapothoz tartozik, amelyben minden egyes részecske a legalacsonyabb itt állapotban van. Azaz a teljes
Ψ
ε0 -lal
jelölt energiájú
|ϕ0 i
egyrészecske
állapot
Ψ = |ϕ0 (1), ϕ0 (2), . . . ϕ0 (N )i ,
(42.8)
amely természetesen szimmetrikus, és a hozzá tartozó teljes energia
E = N ε0 .
Tömeggel rendel-
kez® részecskék közül az alkáli atomok (Na, Rb) ritka gázában sikerült 1995-ben lényegében ilyen állapotot nagyon mély h®mérsékleten létrehozni, ezt nevezzük Bose-Einstein kondenzációnak.
A
kondenzáció csak olyan esetben történik, meg ha a gázt alkotó részecskék egész spin¶ek. Ez a gáz ilyenkor egy úgynevezett BEC (Bose-Einstein condensate), amelynek létezését el®ször Einstein jósolta meg 1925-ben.
(Bose nevéhez valójában a Planck-törvénynek egy olyan levezetése f¶z®dik,
amelyben a fotonok mint megkülönböztethetetlen részecskék ideális gázára vonatkozó statisztikus zikai meggondolást használt. Einsteint ez vezette arra a kérdésföltevésre, hogy mi történik hasonló esetben tömeggel rendelkez® részecskékkel).
Érdekes módon feles spin¶ atomok gázában
is sikerült hasonló állapotot létrehozni, de ekkor, még a kondenzáció el®tt, az atomok párokba rendez®dnek, s mivel egy pár együtt már egész spin¶, a kondenzáció lehet®vé válik.
26. ábra. Azonos független részecskékb®l álló kvantumrendszer alapállapotban. A bozonok esetén minden részecske a legalacsonyabb energiájú egyrészecske állapotban található. Fermionok esetében az antiszimmetriából következ® kizárási elv szerint egy-egy egyrészecske állapotban csak egyetlen részecske lehet. A fermionok esetében a legalacsonyabb energiájú állapot egy olyan föntebb látott (42.3) Slaterdetermináns lesz, amelyben a
ϕk állapotok j
mind különböz®ek (egyébként a determináns elt¶nne),
de a hozzájuk tartozó egyrészecske energiák nem szükségképpen különböz®ek, mert az
εk
egyré-
szecske energiák elfajultak is lehetnek, s így különböz® ortogonális állapotokban azonos energiával lehetnek a részecskék. Legyenek az egyrészecske-probléma
εk
sajátértékei növekedésük sorrendjében
indexelve, azaz
ε0 < ε1 < ε2 . . . , és legyenek a megfelel® elfajultsági indexek
g0 , g1 , g2 , . . ..
(42.9) Ekkor a legalacsonyabb teljes energia
úgy valósul meg, hogy a részecskék a lehetséges legalacsonyabb egyrészecske energiaértékkel bíró állapotokat töltik be, de ez legföljebb annyi részecskét jelenthet, ahányszor a kérdéses
ε nívó elfajult.
Így a teljes rendszer alapállapoti (legalacsonyabb) energiája
E0 = g0 ε0 + g1 ε1 + . . . + gn−1 εn−1 + (N −
n−1 X k=0
ahol
n
az a legkisebb egész szám amelyre
g0 + g1 + . . . + gn ≥ N . 166
gk )εn ,
(42.10)
Ha a teljes rendszer alapállapotban van, azaz energiája állapothoz tartozó
εn = εF
E0 ,
akkor a legmagasabb még betöltött
energiát Fermi-enenergiának nevezzük, amely els®sorban a makroszko-
pikus szilárd testekben pl. fémekben és félvezet®kben mozgó elektronok viselkedésének leírásánál játszik fontos szerepet. Mivel ezekben az anyagokban szobah®mérsékleten
εF kT , ezért termikus εF vagy annál mintegy
okokból az összes elektron közül csak olyan számú gerjeszt®dik, ahány az
kT -vel
kisebb energiával rendelkezik. Ez a szám egy makroszkopikus szilárd test esetén sok nagy-
ságrenddel kisebb mint
N , aminek a termikus tulajdonságok szempontjából érdekes következményei
vannak. Err®l részletesebben a statisztikus zikai tanulmányok során lesz szó.
43.
Többelektronos atomok
A korábbiakban már jeleztük, hogy a különböz® korrekciók miatt az els®dleges szerkezeten túl már a legegyszer¶bb atom, az egy elektront tartalmazó hidrogén spektruma is bonyolult nomszerkezetet mutat.
εn = (−1/n2 ) 2 f®kvantumszámtól függ, és ez az energiaérték 2n -szeresen degenerált.
Els® közelítésben azonban a spektrum egyszer¶, az energia az
szerint csak az
n
Ry
képlet
A többelektronos atomok esetén szigorúan véve csak a sok elektron együttesének a mag és egymás terében létrejöv® stacionárius állapotairól lehetne beszélni. Ezek egy
Z
rendszámú és így
Z
elektront tartalmazó atom esetén a
Z Z Z 2 2 2 X X X X Pi q 1 Zq0 1 ψ(1, 2, . . . Z) = Eψ(1, 2, . . . Z) + 0 − 2me 4π0 |Ri | 4π0 |Ri − Rj | i=1
(43.1)
j6=i i=1
i=1
energiasajátérték-egyenlet megoldásai, amelyben a magot mozdulatlannak tekintjük. Itt az elektronok közötti a harmadik tag által leírt kölcsönhatás ellenére, az atomban megfelel® pontossággal m¶ködik a függetlenrészecske-közelítés, azaz használható az egyes elektronok állapotának fogalma. Egy adott elektronra hat a mag vonzása és az összes többi elektron taszítása. A kiválasztott elektronra az utóbbiak hatását egy úgynevezett eektív potenciállal vesszük gyelembe. Tehát csak egyetlen elektron sajátértékproblémáját oldjuk meg ebben az eektív potenciáltérben. Ezt nevezzük
egyelektron-közelítésnek, melynek
He
Hamilton-operátora:
He =
P2 + Ve (R) 2me
alakú. Atomok esetében föl lehet tételezni, hogy a
Ve
(43.2)
eektív potenciál gömbszimmetrikus, azaz a
kiválasztott elektron szempontjából a többi elektron töltéss¶r¶sége is átlagban gömbszimmetrikus a mag körül. Ez a föltételezés meglep®en jól m¶ködik, ami mutatja ennek a képnek a zikai jogosságát. A kiválasztott elektron eektív Hamilton-operátorát így a következ® alakba írhatjuk:
He =
P2 q 2 Z(R) − 0 , 2me 4π0 R
(43.3)
Z(r)q0 az elektron által "érzékelt" eektív töltés, ha az elektron a magtól r távolságra van és Z(r) → Z ha r → 0, azaz a mag közelében, és Z(r) → 1, ha r → ∞. Az utóbbi esetben a többi Z −1 elektron leárnyékolja a Zq0 töltés¶ mag hatását így az r → ∞ esetben az elektron egy pontszer¶ q0 pozitív elemi töltés potenciáljában mozog. Az operátort természetesen az r → R helyettesítéssel ahol
kapjuk. Az egyes elektronok a többi elektron és a mag gömbszimmetrikusnak tekinthet® terében mozognak és így a pályák hasonlóan jellemezhet®k, mint a hidrogén állapotai. A gömbszimmetria miatt az
L2
és az
Lz
fölcserélhet®k
He -el,
így ezek sajátértékei, azaz az
`
és az
m
jó kvantumszámok.
Egy stacionárius állapotot els® közelítésben így az energiasajátérték (f®kvantumszám) mellett, az és
m,
továbbá az
ms
He a He sajátállapotait egyelektron
spinkvantumszám-vetület jellemez. Ez utóbbi triviálisan azért, mert a
spint®l független, tehát a spinvetület operátorával is fölcserélhet®. A
167
`
állapotoknak, másnéven pályáknak szokás nevezni, de ez nem jelent semmiféle klasszikus pályát. A megfelel® sajátértékeket egyelektron energiáknak, vagy pályaenergiának hívjuk. A H-atomban a pályaenergiák
n
növelésével n®nek és
`-t®l
függetlenek. A többelektronos ato-
mokra a helyzet bonyolultabb, mert az elektron-elektron kölcsönhatás miatt a pályaenergiák az is függenek, azaz megsz¶nik az a Coulomb-térben érvényes elfajulás, hogy egy adott számhoz tartozó de különböz® mellékkvantumszámmal (`
n
`-t®l
f®kvantum-
= 0, 1, 2 . . . n − 1) jelzett állapotok azonos
energiájúak. A mellékkvantumszám értékét®l függ®en ezeket az állapotokat a H-atomhoz hasonlóan az alábbi megfeleltetés szerinti
` = 0 1 2 3 4 ... s p d f g ... bet¶kkel szokás jelölni. Ezek szerint van szó többelektronos atomnál már függ az pályaimpulzusnyomatékukra jellemz®
1s, 2s, 2p, 3s,
(43.4)
stb. pályákról, ezek energiája tehát egy
` értékét®l is. Ezért a pályákat az n f®kvantumszámmal és a ` mellékkvantumszámmal szoktuk megadni. A gömbszimmet-
n, `-hez tartozó energiaérték még a pályaimpulzusmomentum értékének valamely tengely (általában a z tengely) irányára tekintett vetülete (mágneses kvantumszám értéke) szerint (2` + 1)-szer, az elektron saját feles spinje miatt pedig még kétszeresen, tehát együttesen 2(2`+1)-szeresen degenerált. (Relativisztikus okokból a H-atomhoz hasonlóan valójában ezek között ria miatt viszont az adott
is van csekély energiakülönbség, ez a nomszerkezet). A számítások eredményei szerint a tapasztalattal egyez®en adott nagyobb energia és adott
n-hez
n
esetén szintén nagyobb
`-hez
`
esetén a nagyobb
nagyobb energia tartozik.
n-hez
Egy adott
tartozó állapotokat héjaknak is szokás nevezni. A pályaenergiák szerint növekv® sorrend a
következ®:
1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p,
(43.5)
melyet a 27.ábráról lehet leolvasni a nyilak mentén felülr®l lefelé haladva.
27. ábra. Az egyes atomi pályák sorrendje növekv® energiák szerint Alapállapotban a
Z
számú elektron azt a
Z
db egyrészecske állapotot tölti be, amelyek energiái
a fönti ábra szerint követik egymást. Az alapállapot ebben az egyrészcske-közelítésben a megfelel® Slater-determinánssal adható meg. Ezt szokás úgy megfogalmazni, hogy a Pauli-elvnek megfelel®en a legkisebb energiájú egyelektron állapotokba rendre egy-egy elektront teszünk. Egy atom elektronkon gurációján azt értjük, hogy az egyes pályákon, illetve a hozzájuk tartozó
nel és `-lel jellemzett pályán több elektron van, `-et jelz® bet¶ kitev®jeként írjuk. A H-atom alapállapota 1s a He-atomban lév® két 2 alapállapota 1s kon gurációnak felel meg. A He legels® gerjesztett állapota 1s2s kon gu-
energián hány elektron található. Ha egy adott akkor ezeket az elektron
rációjú. A periódusos rendszer következ® eleme a Li, 3 elektronnal, amelyek közül az alapállapot
1s2 2s kon gurációnak felel meg, és ez folytatódik a 10-es rendszámú neonig, amelynek kon guráci2 2 6 ója 1s 2s 2p , mert a p pályákra legföljebb 6 elektron tehet® a Pauli-elv miatt. A fönti 27. ábrából 168
28. ábra. Az egyes atomi pályák energiája
az is látható, hogy a
3p
után már nem a
3d
hanem a
4s
pálya betöltése következik, ez a kálium
és a kálcium küls® elektronhéja, amelynek kicsit kisebb az energiája, mint a részleteket illet®en atom zika könyvekre utalunk.
29. ábra. Küls® elektronhéjak a periódusos rendszerben
169
3d
pályáé. A további
