BAB V BAHAN LATIHAN DAN SARAN PEMECAHANNYA A. Bahan Latihan Kerjakanlah soal-soal berikut. Jangan mencoba melihat petunjuk atau kunci, sebelum benar-benar Anda mengalami jalan buntu. 1. Dalam sebuah persegipanjang ditarik 40 ruas garis yang sejajar salah satu sisi persegipanjang tersebut. Berapa banyak persegipanjang yang terjadi? 2. Dalam sebuah persegipanjang dibuat 50 buah garis yang menghubungkan dua titik, yaitu sebuah titik pada sebuah sisi dan sebuah titik pada sisi lainnya. Jika p menyatakan maksimum banyak daerah poligon yang terbentuk oleh segmen-segmen garis yang terjadi dan q menyatakan banyak daerah minimumnya, berapakah p – q? 3. Dalam sebuah persegipanjang dibuat 50 buah ruas garis yang menghubungkan dua titik, yaitu sebuah titik pada sebuah sisi dan sebuah titik pada sisi lainnya. Ruas-ruas garis itu saling berpotongan. Jika p menyatakan maksimum banyak daerah poligon yang terbentuk oleh ruas-ruas garis yang terjadi dan q menyatakan minimum banyak daerah poligon yang terjadi, berapakah p – q? 4. Diketahui segitiga ABC, AB = BC. Sebuah ruas garis AD , D pada BC panjangnya sama dengan AC = BD. Hitunglah besar sudut B. 5. Dua garis bagi sebuah segitiga membentuk sudut 140o. Hitunglah besar sudut ketiga. 6. Sebuah titik P berada di dalam sebuah persegi ABCD. AB = 12 cm. Jarak P ke titik sudut C dan D sama dan sama pula dengan jaraknya ke sisi AB . Berapakah jarak tersebut? 7. ABCD adalah sebuah persegipanjang, M titik tengah sisi AB . Sebuah garis ditarik dari
M tegaklurus CM , memotong AD di P. Buktikanlah bahwa besar sudut BCM = besar sudut PCM. 8. ABCD adalah sebuah persegi. Titik T berjarak sama terhadap titik sudut C dan D, dan besar ∠TCD = 15o. Buktikanlah bahwa ∆TAB samasisi. 9. ABCD adalah sebuah trapesium sama kaki, AB || DC dan AB > DC. Titik E adalah titik tengah BC . Jika luas ∆ABE : Luas segiempat AECD = 2 : 3, tentukan B
perbandingan panjang DC dan AB . 10. Pada gambar 5.1, BD ⊥ AD . Buktikanlah bahwa:
AB2 = BC2 + CA2 + 2.BC. CD. ALKRIS: PPM 2004
D
C
A
Gambar 5.1 41
11. Panjang sebuah diagonal sebuah trapesium samakaki 25 cm. Panjang salah satu sisi sejajarnya 28 cm dan panjang kaki trapesium 17 cm. Hitung luas trapesium tersebut. 12. Diketahui sebuah persegi yang panjang sisinya a satuan. Sebuah segitiga samasisi salah satu titik sudutnya pada titik sudut persegi dan titik-titik sudut lainnya terletak pada sisi persegi yang tidak melalui titik sudut persekutuan tersebut. Hitunglah panjang sisi segitiga sama sisi tersebut. 13. Diketahui persegipanjang ABCD. Titik P pada BC dan Q pada CD . Tentukan letak titik P dan Q agar ketiga segitiga siku-siku yang terbentuk luasnya sama. 14. Titik P berada di dalam sebuah persegi ABCD. Jika PA = 3 cm, PB = 4 cm, dan PC = 5 cm, berapakah panjang PD ? 15. Dua buah segitiga mempunyai sepasang sudut yang sama. Buktikanlah bahwa perbandingan luas kedua segitiga sebanding dengan luas persegipanjang yang panjang sisi-sisinya adalah kedua sisi pengapit sudut yang sama tersebut. 16. Diketahui ∆ABC sebarang. Sisi AB , BC , dan CA diperpanjang berturut-turut dengan
BX , CY , dan AZ , masing-masing sama dengan panjang sisi semula. Hitunglah perbandingan luas ∆ABC dengan ∆XYZ. 17. Pada persegi Gambar 5.2, angka-angka menunjukkan perbandingan
panjang
bagian-bagian
sisi
oleh
(1) (2)
perpotongannya dengan garis-garis yang ditarik dari titik-titik
sudut
persegi
tersebut.
(2)
(1)
(2)
Berapakah
(1)
perbandingan luas bagian yang diarsir dengan luas (1)
(2)
persegi seluruhnya?
Gambar 5.2
18. ABCD (Gambar 5.3) adalah sebuah jajargenjang. E
D
sebuah titik pada CD . Ruas garis FG melalui A sama panjang dan sejajar EB . Buktikanlah bahwa luas
E
F A
B Gambar 5.3
jajargenjang BEFG = luas jajargenjang ABCD. 19. Diketahui segitiga lancip ABC. Ke arah keluar segitiga
C
G
ABC dilukis ∆ACD dan ∆ABF samasisi. Buktikanlah bahwa DB = CF 20. Segitiga ABC samakaki, CA = CB. Titik D pada AC dan E
C
pada BC . Besar sudut ABD = 60o dan ∠BAE = 50o. Hitung besar sudut EDB. 21. Pada ∆ABC Gambar 5.4, AB = 14 cm, BC = 16 cm, dan CA = 12 cm. Talibusur CE memotong AB di D, dan ALKRIS: PPM 2004
A
D
B
E Gambar 5.4 42
memotong busur AB sehingga panjang busur AE = panjang busur BE. Hitunglah DE. 22. ABCD adalah segiempat garissinggung. Titik-titik singgung sisi-sisi AB , BC , CD , dan DA berturut-turut P, Q, R, dan
S. Jika AP = 8 cm, BQ = 12 cm, CR = 24 cm, berapakah panjang DA ? 23. Berapakah panjang jari-jari lingkaran kecil jika lingkaran-
12 cm
lingkaran pada Gambar 5.5 saling bersinggungan?
Gambar 5.5
24. Ketiga lingkaran pada Gambar 5.6 masing-masing berjarijari 1 cm. Setiap pasang lingkaran saling bersinggungan, dan dua di antaranya menyinggung sisi-sisi persegi. Berapakah luas persegi tersebut?
Gambar 5.6
25. Pada Gambar 5.7, ketiga lingkaran saling bersinggungan dan ketiganya menyinggung garis g. Jika panjang jari-jari lingkaran terbesar 36 mm, yang terbesar kedua berjari-jari 9 mm, berapakah panjang jari-jari lingkaran terkecil? 26. Titik P berada pada busur kecil BC pada lingkaran luar ∆ABC samasisi, dan tidak berimpit dengan titik sudut segitiga tersebut. Jika AP = 5 cm dan BP
g
Gambar 5.7
= 7 cm,
berapakah panjang talibusur AP? 27. Segiempat ABCD mempunyai lingkaran luar yang berpusat di sebuah titik berjarak 12 satuan dari AB ,
CD = 30
satuan. Perpanjangan sisi DC memotong perpanjangan AB di E, sedemikian sehingga CE = CD dan BE = 20 cm. C
F
E
Berapa panjang jari-jari lingkaran luar tersebut?
D
28. Segitiga ABC (Gambar 5.8) siku-siku di A. AD adalah garis berat, AE garis bagi dan AF garis tinggi. Buktikanlah
A
bahwa besar ∠FAE = ∠EAD.
Gambar 5.8
B
C
29. Suatu segitiga ABC siku-siku di titik sudut A. Jika bilangan yang menyatakan ukuran keliling dan luasnya sama, buktikan bahwa hal itu terjadi jika dan hanya jika s = a + 2. 30. Dalam ∆ABC (Gambar 5.9), BC = 30 cm. AD dan
D T
CF adalah garis-garis tinggi sehingga CD = 24 cm dan AF
= 11 cm. Berapakah AB? ALKRIS: PPM 2004
A
F
B
Gambar 5.9
43
31. AD , BE , dan CF adalah garis-garis tinggi dalam segitiga lancip ABC. Buktikanlah bahwa ketiga segitiga di luar ∆DEF semuanya sebangun dengan segitiga ABC. 32. Diketahui ∆ABC. Titik P pada AC dan titik Q pada BC sedemikian sehingga AP = 3 4
AC dan CQ = 3 CB. Tentukanlah letak titik R pada AB sedemikian sehingga luas 4
∆PQR = 1 luas ∆ABC. 2
33. AB adalah sebuah talibusur sebuah lingkaran. M titik F
tengah talibusur tersebut (Gambar 5.10). Dibuat dua talibusur lain yang juga melalui M yaitu DC dan FE . Jika ditarik talibusur DF memotong AB di P dan talibusur CE
C A • P D
•M
• B Q
memotong AB di Q, buktikanlah bahwa AP = BQ . Gambar 5.10 E
34. Diketahui sebuah segiempat sebarang, panjang diagonalnya
p dan q satuan dan keduanya membentuk sudut 30o. Sebuah jajargenjang salah satu titik sudutnya pada pertengahan sebuah sisi segi-4 tersebut, dan titik-titik sudut lainnya pada ketiga sisi lainnya segiempat yang diketahui tersebut. Berapakah luas jajargenjang tersebut?
D
35. ABCD adalah sebuah segiempat siklik. AB = 45 cm, dan BC = S
60 cm, BA dan CD berpotongan di titik T, TD = 28 cm, dan
A
TA = 35 cm. Hitunglah panjang talibusur BD . 36. Pada Gambar 5.11, ABCD adalah sebuah segiempat talibusur. Perpanjangan DA dan CB berpotongan di titik P. Ditarik
P
B
C
g
sebuah garis g melalui P sejajar AB memotong perpanjangan
Q
DC di titik Q. Jika dari titik Q ditarik garissinggung QS
terhadap lingkaran, buktikanlah bahwa QS = QP.
Gambar 5.11
37. Pada Gambar 5.12, gambar pertama adalah sebuah persegi. Setiap persegi berikutnya yang diarsir diperoleh dengan membuat persegi baru melalui titik-titik tengah sisi persegi berukuran persegi di sebelah kirinya.
Gambar 5.12 Jika luas persegi pertama 1 satuan, hitunglah jumlah luas semua persegi terarsir sampai dengan urutan ke-10. ALKRIS: PPM 2004
44
38. Pada Gambar 5.13 gambar pertama adalah segitiga sama sisi. Gambar kedua diperoleh dari gambar pertama dengan menambahkan masing-masing sebuah segitiga sama sisi pada setiap sisi semula sehingga terbentuk segibanyak bersisi Gambar 5.13
sama. Demikian seterusnya Hitunglah keliling bangun pada urutan ke-10.
B. KUNCI/SARAN STRATEGI PENYELESAIAN SOAL/MASALAH 1. Jawab: 861. Gunakan pola bilangan, mencoba dari masalah analog yang lebih sederhana. 2. Jawab: 1225. Seperti No. 1, minimum terjadi jika ruas-ruas garisnya sejajar. 3. Jawab: 1176: Seperti No. 2, minimum terjadi jika ruas-ruas garisnya melalui satu titik. C 4. Dengan pengertian sudut luar segitiga, nyatakan besar E M D ∠A dan ∠C dalam ∠B sehingga diperoleh 5 × ∠B = 180o → Jadi besar ∠B = 36o
A
5. Dari: ∠DMB = 1 ∠A + 1 ∠B (sudut luar) dan 2
1 2
∠A +
1 2
∠B +
1 2
6 M
2
∠C = 90 ⇒ didapat ∠C = 100 o
B
Gambar 5.14
D o
C •P
6. Gunakan teorema Pythagoras pada ∆DMP
12
x A B K Gambar 5.15
PC = PD = PK = 7,5 cm.
D 7. Tarik PM memotong CD . Perhatikan kongruensi yang
C
G
E
F
T
terjadi. 8. Besar ∠TD E = ∠TCF = 90o – 15o = 75o Melalui T tarik sebuah garis sejajar AB dan sebuah garis lain sejajar AD.
A
9. Misal DC = x, AB = px Tinggi trapesium t;
Gambar 5.16
E titik tengah BC. Maka tE = 1 t
D
2
Cari Luas ∆ABE
C
t
Cari Luas trapesium ABCD Cari Luas AECD
B
H
E tE = 1 t 2
A
Gambar 5.17
B
Bandingkan L∆ABE :LAECD ALKRIS: PPM 2004
45
10. Gunakan teorema Pythagoras dan ganti BD dengan
BC + CD 11. Tarik tarik garis tinggi melalui titik pada sisi sejajar yang terpendek. Luas =300 cm2 D
12. (Gambar 5.18) Misal panjang sisi segitiga samasisi = x
F
C
x
satuan. Nyatakan CE, CF, dan FD dalam x
E
Gunakan teorema Pythagoras pada ∆AFD:
A
Jadi panjang sisi segitiga samasisi = a(√6 – √2) satuan
Gambar 5.18
D
13. Misal DQ = x, QC = y, BP = z, dan PC = w
B
x
Q
C
y
Luas ketiga segitiga sama. Cari hubungannya:
w
2
P z
y y – 1 = 0 → diperoleh y : x dan antara lain ⎛⎜ ⎞⎟ – x x ⎝ ⎠
A
perbandingan lainnya sama.
B
Gambar 5.19
14. PD = 3√2 cm 15. Gambarlah kedua segitiga dengan kedua sudut sama saling berimpit. Tarik salah satu garis tinggi pada masing-masing segitiga dari titik sudut bukan yang bersudut sama. Bandingkan luasnya dengan rumus luas
Gambar 5.20 Z
segitiga. 16. Perhatikan ∆XBZ
C
BC = CZ → L∆XBC = L∆XCZ → L∆XBC = L∆XCZ = 1 L∆XBZ
A
2
Perhatikan ∆BCX
Y
B Gambar 5.21
X
CA = CX → L∆ABC = L∆BAX→ L∆ABC = L∆BAX = 1 L∆BCX 2
(1)
(1)
(1)
Dengan penalaran sama diperoleh bagian lainnya dan
(1
akan didapat L∆ABC : L∆BAX = 1 : 7 17. Hasil: 2 : 5. Salah satu cara gunakan garis-garis sejajar sehingga terbentuk persegi-persegi atau segitiga siku-
(1 (1
(1
(1
siku yang dengan segera dapat dihitung luasnya. Gambar 5.22 ALKRIS: PPM 2004
46
18. Tarik AE
∆EAB dan jajargenjang ABCD mempunyai panjang alas (AB) dan tinggi yang sama, sehingga Luas ∆ABE =
D
E
C
F A
B
1 Luas jajargenjang ABCD. Bandingkan pula luas ∆EAB 2
G
Gambar 5.23
C
dan jajargenjang BEFG akan diperoleh luas seluruh bangun. 19. Buktikanlah melalui kongruensi ∆CDB dan ∆CAE
D
20. Tunjukkan ∆ABE samakaki
E
Tarik BF = AB. Tunjukkan ∆ABF samakaki. Didapat
F
besar ∠ABF
50o
Gambar 5.24 Melalui pembuktian ∆FBD samakaki, FD = FB
60o
A C
didapatkan ∠FDE = ∠FED = 70o. Diperoleh besar
B
∠EDB = 30o 21. (Gambar 5.25) Dari panjang busur AE = panjang busur BE,
D
A
CD garis bagi. .AD : DB =AC : BC. Jadi AD dan DB dapat
B
E Gambar 5.25
diketahui panjangnya. CD dapat dihitung menggunakan rumus panjang garis bagi. Melalui sifat kuasa titik D diperoleh DE = 4 cm. 22. (Gambar 5.26) Untuk menghitung panjang beberapa segmen
A
garis digunakan sifat kesamaan jarak titik sainggung dari
S
8 P
B 12
Q
sebuah titik di luar lingkaran. Sebagian lainnya gunakan kesamaan hasil kali panjang sisi berhadapan. AD = 12 cm. 23. Gunakan teorema Pythagoras dalam beberapa segitiga. Diperoleh r = 1,5 cm
D
R
24
C
Gambar 5.26
24. Tariklah garis-garis sejajar sisi-sisi persegi melalui pusat lingkaran. Panjang diagonal persegi dapat dihitung, kemudian Luas = (9 + 8√2) cm2 25. Tarik garis-garis sejajar garis singgung melalui pusat-pusat lingkaran, tarik garis-garis hubung pusatnya. Gunakan rumus panjang talibusur persekutuan dan teorema Pythagoras pada segitiga-segitiga siku-siku yang muncul pada gambar. rterkecil = 4 mm. 26. Gunakan sifat ∆ABC samasisi pada lingkaran dan gunakan pula dalil Ptolomeus. CP = 12 cm.
ALKRIS: PPM 2004
47
27. Dengan menggunakan kuasa titik T pada lingkaran (atau kesebangunan yang terjadi pada ∆EBC dan ∆EDA didapat panjang AB. Pusat pada sumbu AB , 12 cm dari AB . Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh panjang jari-jari lingkaran luar = 37 cm. 28. Gunakan sifat garis-garis istimewa pada segitiga dan garis berat segitiga siku-siku. 29. Nyatakan L = ½ bc dengan 2s = a + b + c. Kuadratkan, dan gunakan teorem Pythagoras. 30. Panjang sisi AB = 20 cm. (Perhatikan sifat segi-4 ATFD). 31. Ingat sifat garis antiparalel. 32. Titik R pada AB sedemikian sehingga AR : AB = 1 : 8 (Gunakan perbandingan luas segitiga yang memiliki sebuah sudut sama besar). Lihat soal No.12. 33. Melalui M tarik sumbu AB . Cerminkan ∆MBE terhadap sumbu tersebut. 34. 1 pq 4
35. BD = 60 cm 36. Gunakan segiempat siklik dan perhatikan adanya tigaan Pythagoras. 37. 1 511 . Gunakan pola. Luas persegi kedua dan seterusnya = 1 Luas persegi di kirinya. 512 19
2
38.
37
2
cm = 239 1595 cm.. Untuk memperoleh keliling bangun, dengan pola, cari banyak 2187
sisi dan panjang setiap sisinya.
ALKRIS: PPM 2004
48
