BAB III PERLUASAN INTEGRAL

BAB III PERLUASAN INTEGRAL

Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika
adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan memiliki elemen identitas. Pada bab ini terdapat suatu hal yang analog dengan konsep aljabar, yaitu integral. Perluasan integral dan sifatsifatnya merupakan konsep utama yang akan dibahas pada Tugas Akhir ini. Selain itu, juga akan digunakan konsep-konsep yang telah diberikan pada bab sebelumnya. Definisi 3.1 Misalkan  adalah suatu perluasan uniter dari ring
. Suatu    disebut integral atas
jika   0, untuk suatu polinomial monik tak nol  
 . Selanjutnya, apabila setiap elemen dari  adalah integral atas
, maka  disebut suatu perluasan integral. Hal ini dijelaskan pada definisi berikut. Definisi 3.2 Misalkan  adalah suatu perluasan dari ring
.  adalah integral atas
jika setiap elemen dari  merupakan integral atas
. Sekarang, perhatikan bahwa untuk setiap  
pastilah integral atas
, karena ada suatu polinomial monik  
 , di mana     , 25

26

sedemikian sehingga       0. Selanjutnya, jika
adalah suatu field dan  adalah perluasan field dari
, maka    integral atas
jika dan hanya jika  adalah aljabar atas
. Berikut adalah buktinya. ()

Misalkan    adalah integral atas
. Akan dibuktikan  aljabar atas
. Karena  integral atas
, maka ada suatu polinomial monik taknol  
 , sedemikian sehingga   0. Jelaslah, dari definisi aljabar dapat disimpulkan bahwa  adalah bilangan aljabar atas
.

()

Misalkan    adalah aljabar atas R. Artinya, ada 0   
 dengan   0. Akan ditunjukkan  integral atas
. Harus ditunjukkan ada polinomial monik taknol  
 sedemikian sehingga   0. Misalkan                 . Karena s aljabar atas
, diperoleh               0. Karena 0 , 1 , … ,  masing-masing elemen dari field
, maka ada  1 
yang merupakan invers dari  , sehingga diperoleh      1   1    0    0   1   1    0    0

…(1)

Ini berarti  merupakan integral atas
untuk suatu polinomial monik  
 , di mana        1        1 .

27

Sehingga, dapat disimpulkan bahwa jika R adalah suatu field dan S adalah perluasan field dari
, maka    integral atas R jika dan hanya jika s adalah bilangan aljabar. Dari penjabaran di atas, dapat diperoleh suatu kesimpulan yaitu tidak setiap aljabar adalah integral. Hal ini dapat dilihat dari polinomial yang bersesuaian dengan bilangan aljabar tersebut tidak selalu monik, kecuali dalam integral field. Namun, setiap elemen integral pastilah elemen aljabar. Hal ini dapat dilihat pada penjabaran bukti di atas. Lemma 3.3 Jika  adalah suatu perluasan ring uniter dari ring
dan    adalah aljabar atas R, maka  adalah integral atas R, di mana  adalah koefisien utama dari polinomial tak nol  
 , di mana   0. Bukti: Misalkan              
 . Karena  aljabar atas
, maka               0.

…(2)

Pengalian persamaan (2) dengan  1 menghasilkan              0 Sehingga    0, di mana  
 adalah polinomial monik dengan bentuk               . Ini menunjukkan bahwa   adalah integral atas
.

28

Lemma 3.4 Misalkan  adalah suatu perluasan ring uniter dari ring
dan    adalah 

aljabar atas R, maka  adalah integral atas
! # di mana  adalah koefisien "

utama dari polinomial taknol  
 . Bukti: 

Akan dibuktikan  adalah integral atas
!" #. Misalkan    dan  
 , dengan             . Karena  aljabar atas
, maka               0.

…(3)

di mana $ 
. Pembagian persamaan (3) oleh  diperoleh  

1 1 2 2 0        0.   

Akibatnya,  integral atas suatu polinomial monik tak nol  
 di mana     

  & &       .    

Artinya,  adalah integral atas
!" #. Misalkan S adalah perluasan uniter dari ring
.
disebut tertutup secara integral (integrally closed) pada  jika setiap elemen  yang integral atas
adalah elemen-elemen
itu sendiri. Lebih jauh, dapat dilihat bahwa untuk setiap
yang merupakan suatu UFD (Definisi 2.1.7), sebarang elemen field of fraction yang integral atas
adalah elemen-elemen dari
itu sendiri. Hal ini dapat dilihat pada proposisi berikut ini.

29

Proposisi 3.5 Jika
adalah suatu UFD dari field of fraction ', maka
tertutup secara integral. Bukti: Misalkan  adalah elemen dari ' yang merupakan suatu field of fraction (

dari
dan  integral atas
. Misalkan   , di mana *, + 
dengan * dan + ) relatif prima. Akan dibuktikan  
. Karena  integral atas
, maka diperoleh   1 1    0  0 * 

* 1

 ,+-  1 ,+-

   0  0.

…(4)

Kalikan persamaan (4) di atas dengan + , sehingga diperoleh *  1 +*1    0 +  0 

. *  1 +*1    0 +  . *  +1 *1    0 +

1

.

Karena + tidak mungkin membagi *, maka + tidak mungkin membagi * . Akibatnya, + adalah elemen invers yang tentunya ada di
. Sehingga diperoleh   *+  
. Artinya,  elemen di
. Contoh 3.6 Contoh yang paling sederhana adalah
 /, dimana / adalah UFD. Selanjutnya,

field of fraction dari
adalah '  0, maka / tertutup secara 1

integral di 0. Jelaslah untuk setiap *  0, *  2 di mana , 3  /. Menurut proposisi 3.5, elemen-elemen dari 0 yang merupakan integral atas / hanyalah elemen-elemen dari / itu sendiri.

30

Akibat 3.7 Misalkan K adalah field of fraction dari
, di mana
adalah suatu UFD. Selanjutnya, misalkan 0   
 dengan *  0, di mana *  '. Jika * 

4

5

dan 6, 7 
relatif prima, maka 6 membagi konstanta dari 

dan 7 membagi koefisien pada variabel dengan pangkat tertinggi dari . Bukti: Misalkan 8, 9 
masing-masing adalah koefisien utama dan konstanta dari . Akan ditunjukkan 7 membagi 8. Menurut Lemma 3.3, 8* adalah integral atas
dan menurut Proposisi 3.5, 8* 

:4 5


. Karena 6 dan 7 relatif prima,

akibatnya haruslah 7 membagi 8. Dengan kata lain, 7 membagi koefisien utama dari . Sekarang, akan ditunjukkan 6 membagi 9 konstanta pada . Sebelumnya, asumsikan 9    0, karena untuk 9    0 pastilah x membagi 9. Misalkan   deg >, ambil polinomial 

    >  
 . ?

Misalkan  
 , di mana               



 

  ,?-   ,?-   ,?-

   



     > ,?-            , di mana  memiliki akar

1 *

7

 6. Perhatikan bahwa 6 membagi 0 7. Namun,

karena 6 dan 7 relatif prima, maka haruslah 6 membagi 0  9. Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa 7 membagi koefisien utama dari  dan 6 membagi konstanta dari .

31

Perluasan integral juga memiliki hubungan dengan konsep field. Hal ini akan dijelaskan pada proposisi berikut yang akan dipakai pada bab selanjutnya pada pembahasan penerapan perluasan integral pada ideal prima. Proposisi 3.8 Misalkan  adalah suatu perluasan dari ring
, dengan  dan
masingmasing adalah daerah integral dan  integral atas
. Maka
adalah suatu field jika dan hanya jika  suatu field. Bukti: )

Misalkan
adalah suatu field. Akan dibuktikan  adalah suatu field. Karena
suatu field dan untuk sebarang   ,
 adalah subring dari dari  yang memuat
, maka pastilah
 suatu daerah integral. Sekarang, misalkan
 field of fraction dari
 . Selanjutnya misalkan >@ A@

sebarang elemen di
 dengan >@, A@ 
 dan A@  0.

Artinya, untuk setiap polinomial tak nol A@ 
 , A@ adalah suatu elemen yang invertible. Dengan kata lain, A@1 
 . Akibatnya,
 suatu field. Sehingga untuk setiap   , maka 1  . Artinya,  adalah suatu field. ()

Misalkan  adalah suatu field. Selanjutnya, misalkan 0   
. Karena 1  , maka 1 integral atas
. Sehingga, ada persamaan dengan bentuk 

1 1

B1 C  1 



   0  0,

dengan D 
. Kalikan persamaan di atas dengan 1 , maka diperoleh

32

1  1    0 1  
. Karena 1 
, akibatnya haruslah
suatu field. Dari penjabaran di atas, dapat disimpulkan bahwa R adalah suatu field jika dan hanya jika S suatu field. Misalkan  adalah perluasan dari ring
dan   . Maka,  integral atas
jika dan hanya jika
 (subring dari ) adalah
-modul yang dibangun secara berhingga. Selanjutnya,
 adalah
-modul yang dibangun secara berhingga jika dan hanya jika
 dimuat di G (subring dari ) yang merupakan
-modul yang dibangun secara berhingga (wikipedia, 2010). Teorema 3.9 Misalkan  adalah perluasan dari ring
. (i)

Jika  adalah
-modul yang dibangun secara berhingga, maka  integral atas
.

(ii)

Jika  
* , … , * dengan *1 , … , * masing-masing adalah integral atas
, maka  adalah
-modul yang dibangun secara berhingga.

(iii) Jika  
G dan G integral atas
, maka  integral atas
. Bukti: (i)

Karena  adalah
-modul yang dibangun secara berhingga, maka seperti yang telah dijelaskan sebelumnya,  integral atas
.

(ii)

Jika   0, maka  
integral atas
. Sekarang, misalkan  adalah adalah
-modul yang dibangun secara berhingga. Misalkan H   * , dengan * integral atas
, maka * integral atas  dan H adalah
-

33

modul yang dibangun secara berhingga. Artinya, setiap elemen dari H adalah kombinasi linier dari suatu +1 , … , +  H, dengan koefisienkoefisien di  yang juga merupakan suatu kombinasi-kombinasi linier dari suatu *1 , … , *I . Akibatnya, setiap elemen di H adalah kombinasi linier dengan koefisien-koefisien di  dari IJ elemen *$ +K sehingga H merupakan suatu
-modul yang dibangun secara berhingga. (iii) Ambil sebarang * 
G , maka * 
@ , … , @ untuk suatu @1 , … , @ elemen-elemen di G. Dari (ii) dan (i) diperoleh * integral atas
. Akibatnya,
G   integral atas
. Dari Teorema 3.9, terdapat suatu akibat di mana berlaku sifat transitif dari perluasan integral. Hal ini dijelaskan pada Akibat 3.10 berikut. Akibat 3.10 (Sifat Transitif dari Perluasan Integral) Misalkan
L  L G dengan G integral atas  dan  integral atas
, maka G integral atas
. Bukti: Misalkan @  G memenuhi persamaan berikut @  1 @1    0  0, dengan $  . Maka, @ integral atas
 , … ,  . Akibatnya,
 , … ,  , @ adalah
 , … ,  -modul yang dibangun secara berhingga. Di lain pihak,
 , … ,  adalah
-modul yang dibangun secara berhingga. Sehingga,
 , … ,  , @ adalah
-modul yang dibangun secara berhingga. Maka, @ integral atas
.

34

Misalkan
adalah subring dari . Suatu subset G dari  yang elemenelemennya adalah integral atas
adalah subring dari  yang memuat
. Ring G yang dijelaskan di atas disebut penutup integral (integral closure) dari
pada . Hal ini dipertegas oleh definisi berikut. Definisi 3.11 Suatu penutup integral dari ring
di perluasan ring  adalah himpunan
M N O   |  integral atas
Q. Dari definisi di atas, dapat ditunjukkan pula bahwa penutup integral dari ring
pada perluasan ring  adalah suatu ring. Selanjutnya, dapat ditunjukkan pula bahwa ring tersebut tertutup secara integral pada . Hal ini dijelaskan pada teorema berikut. Teorema 3.12 Misalkan  perluasan uniter dari ring
, dan misalkan G N O   |  integral atas
Q. Maka, G adalah suatu ring dan G tertutup secara integral di . Bukti: (i)

Akan dibuktikan G adalah suatu ring. Artinya, harus ditunjukkan untuk setiap @1 , @2  G maka @1 R @2 dan @1 @2 ada di G. Telah diketahui bahwa @1 R @2 dan @1 @2 ada di
@ , @& . Menurut Teorema 3.9 (ii),
@ , @& adalah
-modul yang dibangun secara berhingga. Akibatnya, setiap elemen
@ , @& integral atas
yang berarti terletak di G. Maka, G adalah suatu ring.

35

(ii)

Selanjutnya, akan dibuktikan G tertutup secara integral pada . Misalkan    integral atas G. Artinya, ada polinomial monik   G  dengan   0. Menurut Teorema 3.9 (ii), ada suatu subring G0 L G yang memuat koefisien-koefisien dari  dan merupakan
-modul yang dibangun secara berhingga. Karena  integral atas G0 , maka G0  adalah G0 -modul yang dibangun secara berhingga. Jika Γ1 adalah himpunan berhingga yang membangun G0 sebagai
-modul, dan Γ2 adalah himpunan berhingga yang membangun G0  sebagai G0 -modul maka Γ1 Γ2 adalah berhingga yang membangun G0  sebagai
-modul. Dari Teorema 3.9 (i), kita dapat menyimpulkan  integral atas
yang berarti   G. Jadi, G tertutup secara integral pada . Dari Teorema 3.12, dapat diinduksi suatu kesimpulan, yaitu mengenai

penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dari elemen integral atas suatu ring juga merupakan integral atas ring tersebut. Selain penutup integral pada ring, terdapat konsep penutup integral pada suatu daerah integral dengan definisi yang serupa. Akibat 3.13 Misalkan
adalah suatu daerah integral dari field of fraction T dan U adalah perluasan aljabar dari T. Jika  adalah ring dari elemen-elemen di U yang integral atas
, maka  adalah daerah integral yang tertutup secara integral dengan field of fraction U. Bukti: Seperti yang telah diketahui sebelumnya, bahwa  tertutup secara integral pada U dan setiap subring dari suatu field adalah daerah integral, sehingga 

36

adalah daerah integral. Sekarang, akan ditunjukkan U adalah field of fraction dari . Karena sebarang *  U aljabar atas T, maka ada               T  , sedemikian sehingga *   *    *       0. Karena T field of fraction dari
, dapat dituliskan + V

+

+

*  V1 *1    V0  0, 1

…(5)

0

+

dengan $  V$ dan +$ , V$ 
untuk setiap $  0, 1, … , . $

Selanjutnya, kalikan persamaan (5) di atas dengan V diperoleh +

+

+ *  V1 V *1    V0 V  0. 1

0

…(6)

Sekarang, kalikan persamaan (6) di atas dengan V1 diperoleh V1 + *  +1 V *1    V1 V

+0  0. V0

Kalikan terus persamaan di atas dengan penyebut-penyebut dari masing-masing koefisien sampai semua penyebutnya hilang. Sehingga diperoleh  *  1 *1    0  0, dengan 0 , … ,  
. Diperoleh polinomial baru yaitu A             
 , sedemikian sehingga A*  0. Menurut Lemma 3.3,  * adalah integral atas
, artinya  *  . Tulis  *  , untuk suatu   . Sehingga dapat dituliskan W

*  " . Karena  
L  dan *  U sebarang, maka U adalah field of fraction X

dari .

37

Selain penutup integral dari
pada , terdapat pula penutup integral dari G1
pada G1 , di mana G adalah suatu subset perkalian dari
. Hal tersebut dijelaskan pada proposisi berikut. Proposisi 3.14 Misalkan
L  di mana
dan  masing-masing ring komutatif dan
M adalah ketertutupan integral dari
di . Selanjutnya misalkan G adalah suatu sistem perkalian dari
, maka G1
M N Y

M Z  
M dan @  G[ @ M

adalah ketertutupan integral dari G1
pada G1 . Bukti: Misalkan

"\ ]

adalah sebarang elemen di G1
^ , di mana M 
M dan @  G.

Karena M integral atas
, maka dipenuhi 

M   1 M 

1

   0  0,

…(7)

dengan 0 , … , 1 
. Bagi persamaan (7) oleh @  G, diperoleh   @

, M- 

1 M 1 , @ @



   @0  0.

…(8)

Sehingga diperoleh suatu polinomial     

       . @ @

Polinomial di atas merupakan suatu polinomial monik dengan koefisienkoefisiennya merupakan elemen-elemen di G1
. Karena

"\ ]

adalah sebarang

elemen dari G1
M dan memenuhi kondisi pada persamaan (8), maka G1
M adalah penutup integral dari G1
pada G1 .

38

Proposisi 3.15 Misalkan  adalah perluasan integral atas
, maka G1  integral atas G1
. Bukti: Gunakan Proposisi 3.14 dengan
M  .