BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari fungsi dari variabel kompleks dan pengembangannya dalam teori differensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari fungsi analitik, yang mana sangat berperan dalam analisis kompleks. 9. FUNGSI DARI SUATU VARIABEL KOMPLEKS Misalkan S suatu himpunan bilangan kompleks. Suatu fungsi f yang didefinisikan pada S adalah suatu aturan pengaitan setiap z di S dengan tepat satu bilangan kompleks w . Bilangan w disebut nilai dari f di z dan dinotasikan dengan f (z); yaitu w = f(z). Himpunan S disebut daerah definisi dari f. Tidak selalu tepat untuk menggunakan notasi yang berbeda diantara suatu fungsi yang diberikan dan nilainya. Sebagai contoh, jika f didefinisikan pada setengah bidang Re z>0 yang berarti bahwa persamaan w= secara sederhana fungsi
1 1 , berhubungan dengan fungsi w= , atau z z
1 , dimana Re z > 0. z
Akan ditegaskan bahwa daerah definisi dan suatu aturan yang dibutuhkan dalam urutan untuk fungsi terdefinisi. Jika daerah definisi tidak disebutkan secara khusus maka kita mengambil himpunan yang paling besar sehingga fungsi tersebut tedefinisi dengan baik. Selanjutnya, jika kita hanya mengatakan dari fungsi
1 maka daerah definisinya z
adalah himpunan dari semua titik yang tidak nol dalam bidang. Misalkan bahwa w=u+iv adalah nilai dari suatu fungsi f di z= x+iy , sehingga u+iv = f(x+iy). Setiap bilangan real u dan v tergantung pada variabel real x dan y, dan dari sini bahwa f(z) dapat diekspresikan dalam bentuk suatu pasangan dari fungsi bernilai real dari variabel x dan y : (1)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y).
35
Jika koordinat polar r dan , sebagai pengganti dari x dan y untuk digunakan , maka u+iv = f(rei ), dimana w =u+iv dan z = (rei). Dalam kasus ini , kita tulis (2)
f(z)=u (r,)+iv(r,).
Contoh : Jika f(z)= z2 , maka f(x+iy)=(x+iy)2 = x2 –y2 +i2xy. Jadi u (x,y)=x2 –y2 dan v(x,y)= 2xy. Jika kita menggunakan koordinat polar, f(rei )= (rei)2=r2 ei2=r2cos 2+ir2sin 2. Akibatnya , u(r,) =r2cos2 dan v(r,)=r2sin 2. Jika, dalam persamaan (1) atau (2), fungsi v adalah selalu sama dengan nol, maka bilangan f(z) adalah selalu real. Sebagai
contoh suatu fungsi yang bernilai real dari variabel
kompleks adalah f(z)= z x 2 y 2 i 0 . 2
Jika n = 0 atau suatu bilangan bulat positif dan jika a0, a1, a2, …., an adalah konstanta kompleks dengan an0, maka fungsi P(z)=a0+a1z+ a2z2+…+anzn adalah suatu polinom yang berderajat n. Perlu dicatat bahwa penjumlahan dari sejumlah hingga suku-suku di atas daerah definisinya adalah seluruh bidang z. Pembagian P(z)/Q(z) dari polinom adalah disebut fungsi rasional disetiap titik z dengan Q(z) 0. Polinom dan fungsi rasional merupakan fungsi elementer, tetapi sangat penting dalam kelas fungsi dari suatu variabel kompleks. Perumuman dari konsep fungsi adalah aturan pengaitan paling banyak satu nilai dari setiap titik z didaerah definisinya. Fungsi bernilai banyak terjadi dalam teori fungsi dari variabel kompleks, demikian juga dalam kasus variabel real. Jika fungsi bernilai banyak dipelajari, harus selalu satu dari nilai yang mungkin setiap titik yang diambil, dalam kesimetrian, dan suatu fungsi (bernilai tunggal) adalah dikonstruksi dari fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, misalkan bahwa z adalah suatu bilangan kompleks tak nol z = rei.
36
i
Kita ketahui dari bahagian 7 bahwa z1/2 mempunyai dua nilai yaitu z 2 r e 2 , dimana 1
adalah nilai utama (-<) dari arg z. Tetapi, jika kita hanya memilih nilai positif dari
r dan ditulis f z r e
i 2
(r>0, -<<), terlihat bahwa ini merupakan fungsi (bernilai
tunggal) f adalah terdefinisi dengan baik pada daerah yang diberikan. Dimana nol adalah hanya mempunyai akar kuadrat nol, kita juga menulis f(0) = 0. Fungsi f adalah terdefinisi dengan baik pada daerah yang terdiri dari seluruh bidang kompleks kecuali sepanjang = , yakni pada sumbu real negatif. 10. PEMETAAN. Sifat dari fungsi bernilai real dari variabel real adalah fungsinya selalu dapat digambarkan dengan grafik. Tetapi jika w =f(z), dimana z dan w adalah bilangan kompleks, tidak selalu sederhan digambarkan dengan grafik sebab setiap bilangan z dan w berada dalam bidang yang lebih besar dari pada garis. Salah satu cara bagaimana menggambarkannya adalah dengan mengindikasi setiap pasang titik z = (x,y) yang berhubungan dengan titik w = (u,v). Disini pada umumnya kita menggambarkan bidang z dan w secara terpisah. Jika fungsi f dilakukan dengan cara ini, maka selalu dihubungkan dengan pemetaan, atau transformasi. Bayangan dari titik z dalam daerah definisi S adalah titik w = f(z), dan himpunan semua bayangan dari semua titik dalam himpunan T yang termuat dalam S disebut bayangan dari T. Bayangan dari seluruh daerah definisi dari S disebut range dari f. Bayangan invers dari suatu titik w adalah himpunan semua titik z dalam daerah definisi dari f yang mempunyai pasangan bayangan w. Bayangan invers suatu titik boleh memuat hanya satu titik, beberapa titik, atau tidak sama sekali. Kasus ini terjadi jika w bukan merupakan range dari f. Bentuk translasi, rotasi, dan pencerminan adalah digunakan untuk menyampaikan karateristik geometri dari pemetaan tertentu. Dalam kasus ini, kadang-kadang tepat untuk digambarkan z dan w dalam bidang yang sama. Sebagai contoh, pemetaan w = z + 1 = (x+1) + iy,
37
Dimana z = x + iy, dapat ditentukan melalui suatu translasi dari setiap titik z satu satuan kekanan. Karena i = ei/2, maka pemetaan w = iz = r exp i , 2 dimana z = rei, rotasi pada jari-jari vektor untuk setiap bilangan kompleks tak nol terus kekanan sudut titik asal yang berlawanan dengan arah jarum jam; dan pemetaan w = z =x – iy adalah transformasi setiap titik z = x + iy kedalam pencermianan terhadap sumbu x. Informasi umum yang digunakan dalam menggambar bayangan dari suatu kurva dan daerah yang lebih sederhana adalah mengindikasi bayangan titiknya satu persatu. Dalam contoh berikut, kita ilustrasikan ini dengan transformasi w = z2. Contoh 1. Dari contoh dalam bagian 9, pemetaan w = z2 dapat dijelaskan melalui transformasi: u = x2 – y2,
(1)
v = 2xy
dari bidang xy kebidang uv. Bentuk pemetaan ini yang akan digunakan dalam menemukan bayangan dari hyperbola tertentu. Mudah ditunjukkan bahwa, setiap cabang dari hyperbola x2 – y2 = c1 (c1 > 0) adalah pemetaan satu-satu dan pada kegaris vertikal u = c1. Kita mulai dengan mencatat persamaan (1) bagian yang pertama bahwa u = c1 jika (x,y) adalah suatu titik yang terletak pada salah satu cabang. Khususnya, jika terletak pada cabang bagian kanan, bagian kedua dari persamaan (1) dapat diketahui bahwa v = 2 y y 2 c1 . Jadi bayangan dari cabang bahagian kanan dapat dinyatakan dalam bentuk parameter melalui u = c1,
v = 2 y y 2 c1
- y ;
dan jelas bahwa bayangan dari titik (x,y) pada cabang dipindahkan keseluruh garis melalui jejak (x,y) dengan arah ke atas (lihat gambar 14). Demikian juga, dimana pasangan dari persamaan
38
v = 2 y y 2 c1
u = c1,
- y ;
melengkapi persamaan parameter untuk bayangan dari cabang bahagian kiri dari hyperbola, bayangan dari titik bergerak turun sepanjang seluruh cabang bahagian kiri adalah terlihat dipindahkan ke atas pada seluruh garis u = c1. Sebagai latihan, tunjukkan bahwa setiap cabang dari hyperbola 2xy = c2 (c2 > 0) adalah ditransformasi kedalam garis v = c2, melalui indikasi dalam gambar 14. Kasus dimana c1 dan c2 adalah negatif juga disajikan dalam latihan.
v
y
u=c1>0 v=c2>0
x
0
0
u
Gambar 14. w =z2
Contoh 2. Misalkan kita menggunakan persamaan (1) untuk menunjukkan bahwa bayangan dari sebagian bidang vertikal 0x1, y0, yang ditunjukkan dalam gambar 15, adalah daerah semi parabola tertutup . Jika 0 < x1<1, titik (x1, y) digerakan ke atas suatu penggal garis vertikal, yang diberi nama L1 dalam gambar 15, melalui y naik dari y = 0. Bayangan di luar jejak bidang uv menurut persamaan (1), yang dinyatakan dalam bentuk parameter (2)
u = x12 y 2 ,
v = 2x1y
39
(0y< ).
Gunakan persamaan yang kedua untuk mensubtitusi y kedalam yang pertama, terlihat bahwa bayangan titik-titik (u,v) harus terletak pada parabola y D
L1 L2 A
v A’ L2’ L1’
B C
1
D’
x
C’
1 u
Gambar 15. w = z2
v 2 4 x12 u x12 ;
(3)
dengan puncak di x12 ,0 dan fokusnya dititik asal. Dimana v adalah naik dengan y melalui v =0, menurut persamaan (2) bagian kedua, terlihat bahwa melalui titik (x1,y) digerakan ke atas melalui L1 dari sumbu x, bayangannya adalah digerakan ke atas melalui sebagian parabola L1’ dari sumbu u. Selanjutnya, jika suatu bilangan x2 lebih besar dari x1, tetapi lebih kecil dari 1, adalah ditentukan, penggal garis L2 mempunyai bayangan L2’ yaitu sebagian parabola dikanan L1’, melalui indikasi dalam gambar 15. Perlu dicatat bahwa bayangan dari penggal garis BA didalam gambar adalah setengah parabola v2 = -4(u-1) yang paling atas dan diberi nama dengan B’A’. Bayangan dari penggal garis CD yang diperoleh dari persamaan (1) bahwa titik (0,y), dimana y0, pada CD ditransformasi kedalam titik (-y2,0) dalam bidang uv. Juga, melalui titik yang digerakan ke atas dari titik asal sepanjang CD, bayangannya digerakan kekiri dari titik asal sepanjang sumbu u. Jadi jelas bahwa penggal garis vertikal di bidang xy, bayangannya adalah parabola dibidang uv yang turun sampai pada penggal garis C’D’.
40
Sekarang jelas bahwa bayangan dari semua penggal garis dintara dan didalam CD dan BA adalah merupakan daerah semiparabola tertutup yang dibatasi oleh A’B’C’D’. Juga setiap titik dalam daerah tersebut mempunyai bayangan hanya satu titik didalam bagian tertutup yang dibatasi oleh ABCD. Juga daerah semiparabola adalah merupakan bayangan dari bagian tadi dan merupakan pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada antara titik dalam daerah tertutup. Contoh 3. Kita kembali pada contoh di bagian 9 bahwa w = z2 = r2ei2 dimana z = rei. Jika w = ei , kita mempunyai ei = r2ei2; dan akibatnya
r2,
=2 + 2n (n = 0, 1, 2, …).
Jelas, bayangan dari setiap titik tak nol z adalah diperoleh dengan mengkuadratkan modulus dari z dan menggandakan nilai dari arg z. Selidiki bahwa titik z = r0ei pada lingkaran r = r0 adalah ditransformasikan kedalam titik w = r02ei 2 pada lingkaran r02 . Melalui titik pada lingkaran pertama digerakan berlawanan dengan arah jarum jam dari sumbu real positif ke sumbu imajiner positif, bayangannya pada lingkaran kedua dipindahkan berlawanan dengan jarum jam dari sumbu real positif
ke sumbu real negatif (lihat gambar 16). Juga, semua nilai positif yang
mungkin dari r0 yang dipilih, berhubungan dengan sudut dalam z dan w berada dikuadran pertama dan di atas bidang masing-masing. Transformasi w = z2 adalah pemetaan satu-satu dan pada dari kuadran pertama r0, 0/2 dalam bidang z pada setengah bidang
0,0 dari bidang w, melalui indikasi dalam gambar 16. Titik z = 0 adalah jelas dipetakan pada w = 0. Transformasi w = z2 juga memetakan sebagian bidang atas r0, 0/2 pada seluruh bidang w. Bagaimanapun, dalam kasus ini, transformasi adalah bukan satu-satu karena kedua sumbu real negatif dan positif dalam bidang z adalah dipetakan pada sumbu real positif dalam bidang w.
41
Jika n suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 2, sifat pemetaan dari transformasi w = zn, atau ei r n ein adalah serupa dengan w = z2. Sehingga peta transformasi dari seluruh bidang z pada seluruh bidang w dimana setiap titik taknol dalam bidang w adalah bayangan dari n titik-titik yang berbeda dalam bidang z. Lingkaran r = r0 adalah dipetakan pada lingkaran r0n ; dan sektor rr0, 02/n adalah dipetakan pada cakram r0n , tetapi bukan satu-satu. y
v
r0
0
x
0
2 r0
u
Gambar 16. w = z2
Latihan 1. Untuk setiap fungsi di bawah ini, tentukan daerah definisinya: (a). f z
1 ; z 1 2
z 1 1 (b). f z Arg ; (c). f z ; (d). f z 2 zz z 1 z
2. Tuliskan fungsi f(z) = z3 + z + 1 dalam bentuk f(z) = u(x,y) + iv(x,y). 3. Misalkan f(z) = x2 – y2 – 2y + i(2x – 2xy), dimana z = x + iy. Gunakan x y
zz dan 2
zz untuk mengexpresikan f(z) dalam suku-suku dari z, dan berikan jawaban 2
yang paling sederhana. 1 4. Tuliskan fungsi f z z , z 0 dalam bentuk f(z) = u(r,) + iv(r,). z
42
5. Tunjukkan bahwa setiap cabang dari hyperbola 2xy = c2 (c2>0) adalah pemetaan pada garis v = c2 dengan transformasi w = z2, melalui indikasi dalam gambar 14. 6. Domain x > 0, y > 0, xy < 1 terdiri dari semua titik pada cabang atas hyperbola dari keluarga xy = c, dimana 0 < c < 1. Gunakan hasil pada soal nomor 5 untuk menunjukkan bahwa bayangan dari domain ini di bawah transformasi w = z2 adalah sebagian dari bidang horizontal 0 < v <2. 7. Berdasarkan contoh 1 bagian 10, dan soal no. 5 carilah suatu domain dalam bidang z yang mempunyai bayangan di bawah transformasi w = z2 adalah domain kuadrat dalam bidang w yang dibatasi oleh garis u = 1, u = 2, v = 1 dan v = 2. 8. Cari dan gambarkan, serta tunjukkan hubungan orientasi, bayangan dari hyperbola x 2 – y2 = c1 (c1 < 0) dan 2xy = c2 (c2 < 0) dibawah transformasi w = z2. 9. Tunjukkan, dengan mengindikasi orientasi hubungan, pemetaan w = z2 transformasi y =
c2 ( c2 > 0) kedalam parabola v 2 4c 22 u c 22 yang semua titik apinya di w =0. 10. Gunakan hasil dalam soal no. 9 untuk menunjukkan bahwa transformasi w = z2 adalah pemetaan satu-satu dari bidang ayb di atas sumbu x pada daerah tertutup diantara dua parabola v2 = 4u2(u+a2) dan v2 = 4u2(u+b2). 11. Bagaimana merubah bentuk dalam contoh 2, bagian 10, bahwa transformasi w = z2 memetakan suatu bidang vertikal 0xc, y0 dari sembarang luas pada suatu daerah semi parabola tertutup, melalui gambar 16.b.
43
12. Modifikasi contoh 2 bahagian 10, untuk menunjukkan bahwa jika w = z2, bayangan dari daerah segitiga tertutup dengan garis y = x dan x = 1 adalah daerah parabola tertutup yang dibatasi pada bahagian kiri dengan -2v2 dari sumbu v dan bahagian kanan dibatasi oleh parabola v2 = -4(u-1). Selidiki hubungan titik-titik pada kedua daerah tertutup dan terbatas tersebut melalui gambar 17.
13. Gambar daerah pada sektor r1, 0 /4 yang dipetakan oleh transformasi (a). w = z2 ;
(b). w = z3;
(c). w = z4.
14. Interprestasi lain dari fungsi w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) adalah suatu lapangan vektor dalam daerah definisi f . Fungsi yang mengaitkan suatu vektor w, dengan komponenkomponen u(x,y) dan v(x,y), kesetiap titik yang didefinisikan. Indikasikan grafik yang dinyatakan dengan lapangan vektor (a). w =iz; (b).
z . z
11. LIMIT Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi disemua titik z dalam lingkungan penghilangan dari z0. Pernyataan bahwa limit dari f(z) melalui z yang didekati dengan z0 adalah suatu bilangan w0, atau
44
lim f z w0
(1)
z z0
mempunyai arti bahwa titik w = f(z) dapat dibuat sembarang dekat dengan w0 jika kita memilih z yang cukup dekat dengan z0 tetapi berbeda dengan z0. Kita sekarang mengekspresikan definisi dari limit dalam bentuk yang tepat digunakan. Pernyataan (1) mempunyai arti bahwa, untuk setiap bilangan >0, terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga
f z w0
(2)
asalkan 0 z - z 0 .
Secara geometri definisi ini mengatakan bahwa, untuk setiap lingkungan- w w0 dari w0, terdapat suatu lingkungan penghilangan- dari z0, 0 z z 0 sedemikian sehingga untuk setiap z dalam lingkungan tersebut mempunyai suatu bayangan w dalam lingkungan (lihat gambar 18). Perlu dicatat bahwa, meskipun semua titik dalam lingkungan penghilangan
0 z - z 0 tidak perlu semua bayangannya keseluruh lingkungan
w w0 . Jika f suatu fungsi konstan yang bernilai w0, maka bayangan dari z selalu
merupakan pusat dari lingkungan. Sebagai catatan, sekali kita mendapatkan suatu , maka kita dapat mengganti dengan dengan setiap bilangan positif yang lebih kecil dari , misalnya /2. v
y
z0 0
w w0
z x
0
u
Gamabar 18 Definisi (2) menyatakan bahwa f terdefinisi disemua titik dalam suatu lingkungan penghilangan z0. Sehingga lingkungan penghilangan selalu ada jika z0 adalah suatu titik interior dari suatu daerah dimana f terdefinisi. Kita dapat memperluas definisi dari limit
45
dalam kasus dimana z0 adalah titik batas dari daerah yang memungkin bahwa persamaan (2) yang pertama dipenuhi dengan hanya titik z terletak dikedua daerah dan domain
0 z z0 . Contoh 1. Tunjukkan bahwa jika f(z) = iz/2 dalam cakram buka z 1 , maka lim f z 2i . z 1
Titik z = 1 terletak pada batas dari daerah definisi f. Akan diselidiki bahwa jika z dalam daerah z 1 , f z 2i
iz 2
2i
z 1 2
.
Juga, untuk setiap z dan suatu bilangan positif , f z 2i
asalakan 0 z - 1 2 .
Jadi syarat persamaan (2) dipenuhi oleh titik-titik dalam daerah z 1 jika sama dengan 2 atau bilangan positif yang lebih kecil (lihat gambar 19).
Dalam pendahuluan konsep tentang limit pada paragraph pertama bagian ini, kita dapatkan suatu sifat bahwa, jika suatu limit dari suatu fungsi f(z) ada disuatu titik z0, maka limitnya itu adalah tunggal. Untuk membuktikan sufat ini, kita memisalkan bahwa lim f z w0
z z0
dan lim f z w1 . Maka, untuk setiap bilangan positif, z z0
terdapat bilangan positif 0 dan 1 sehingga f z w0
asalkan 0 z - z 0 0
46
dan f z w1
asalkan 0 z - z 0 1 .
Jadi, jika 0 z z 0 , dimana menyatakan bilangan yang paling kecil antara 0 dan 1, maka
f z w0 f z w1 f z w0
f z w1 2
Hal ini menunjukkan bahwa, w1 w0 2 . Tetapi w1 w0 adalah suatu konstanta non negatif , dan dapat dipilih sembarang yang paling kecil. Jadi w1-w0 = 0, atau w1 = w0. Jika z0 adalah suatu titik interior dari daerah definisi f, dan limit dari persamaan (1) ada, persamaan (2) yang pertama harus berlaku untuk setiap titik dalam lingkungan penghilangan
0 z - z 0 . Jadi simbol z z 0 mengakibatkan bahwa z adalah dapat
mendekati z0 dalam sembarang arah, tanpa dari suatu arah yang khusus. Contoh berikut menggunakan cara ini. Contoh 2. Jika f z
z , maka z lim f z
(4)
z 0
tidak ada. Jika limitnya ada, maka kita dapat menemukan limitnya dengan memisalkan titik z = (x,y) mendekati titik asal dari berbagai arah. Tetapi jika z = (x,0) adalah titik tak nol pada sumbu real, f z
x i0 1; x i0
dan jika z = (0,y) adalah titik tak nol pada sumbu imajiner,
f z
0 iy 1 . 0 iy
Jadi, dengan memisalkan z mendekati titik asal sepanjang sumbu real, kita peroleh limitnya adalah 1. Pada hal lain, didekati sepanjang sumbu imajiner diperoleh limitnya sama dengan –1. Dari ketunggalan limit, kita simpulkan bahwa limit pada persamaan (4.1) tidak ada.
47
12. TEOREMA-TEOREMA PADA LIMIT Teorema 1. Misalkan bahwa f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0, dan w0 = u0 + iv0. Maka
lim f z w0
(1)
z 0
jika dan hanya jika (2)
lim
x , y x0 , y0
u x, y u 0
dan
lim
x , y x0 , y0
v x, y v 0 .
Untuk membuktikan teorema di atas, kita asumsikan bahwa limit pada (2) benar dan akan dibuktikan limit pada (1). Limit pada persamaan (2) bagian 11 diketahui bahwa, untuk setiap positif terdapat bilangan positif 1 dan 2 sehingga (3)
u u0
2
asalkan 0
x-x0 2 y y 0 2
1
v v0
2
asalkan 0
x-x0 2 y y0 2
2 .
dan (4)
Misalkan menyatakan bilangan yang paling kecil antara 1 dan 2. Karena
u iv u 0 iv0 u u 0 iv v0 u u 0
v v0
dan
x-x0 2 y y0 2
x x0 i y y 0 x iy x0 iy 0 .
Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh
u iv u 0 iv0 2 2 asalkan
0 x iy x0 iy 0 . Jadi, limit pada (1) benar. Misalkan sekarang mulai mengasumsikan bahwa limit (1) benar. Dengan asumsi ini kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat bilangan positif sehingga (5)
u iv u 0 iv0
(6)
0 x iy x0 iy 0 .
asalkan
48
Tetapi u u 0 u u 0 i v v0 u iv u 0 iv0 v v0 u u 0 i v v0 u iv u 0 iv0 .
dan
x iy x0 iy 0 x x0 i y y0 x-x0 2 y y0 2
.
Jadi dari sini persamaan (5) dan (6) memberikan bahwa u u0
dan
v v0
asalkan
0
x iy x0 iy 0 .
Ini menunjukkan bahwa limit (2) telah dibuktikan, dan bukti teorema telah lengkap. Teorema 2. Misalkan bahwa (7)
lim f z wo
z z0
dan lim F z Wo z z0
maka (8) (9)
lim f z F z wo Wo ,
z z0
lim f z F z wo Wo
z z0
dan, jika W0 0, maka (10)
f z wo lim . F z Wo
z z0
Teorema ini dapat dibuktikan secara langsung dengan menggunakan definisi limit dari fungsi bernilai kompleks. Tetapi dengan teorema 1, pembuktian lebih mudah. Sebagai contoh, kita buktikan (9), dan kita tulis
f z u x, y iv x, y , z0 = x0 + iy0,
F z U x, y iV x, y ,
w0 = u0 + iv0,
W0 = U0 + iV0.
Maka dari hipotesis persamaan (7) limit (x,y) mendekati (x0,y0) dari fungsi u, v, U, dan V ada dan mempunyai limit u0, v0, U0, dan V0 masing-masing. Jadi komponen real dan
49
imajinernya dari perkalian f(z)F(z) = (uU – vV) + i(vU + uV) mempunyai limit u0U0 – v0V0 dan v0U0 + u0V0, masing-masing, dengan (x,y) mendekati (x0,y0). Jadi dengan menggunakan teorema 1, f(z)F(z) mempunyai limit (u0U0 – v0V0) + i( v0U0 + u0V0) dengan z mendekati z0; dan ini sama dengan w0W0. Sifat (9) buktinya telah diberikan, dan untuk sifat (8) dan (10) dapat dibuktikan dengan cara serupa. Sebagai akibat dari teorema 1 adalah
lim c c
z z0
untuk setiap konstanta kompleks c = a + bi dan setiap z0. Juga, lim z z 0 ;
z z0
dan dari sifat (9) dan induksi matematika, bahwa
lim z n z 0n
z z0
(n = 1, 2, …).
Juga, dalam sifat (8) dan (9), limit dari suatu polinom P(z) = a0 + a1 z + a2 z2 + …+ an zn Dengan z mendekati z0 adalah nilai dari polinom dititik z0, yakni :
lim P z P z 0 .
(11)
z z0
Selain itu sifat dari limit adalah (12)
Jika lim f z w0 , maka lim f z w0 . z z0
z z0
Sifat ini mudah dibuktikan dengan menggunakan definisi dari limit dan kenyataan bahwa (lihat bagian 4)
f z w0 f z w0 13. LIMIT DITITIK TAK HINGGA Terkadang cukup baik untuk memasukkan titik di ketakhinggaan dalam bidang kompleks, yang dinotasikan dengan , dan menggunakan limit yang memuatnya. Bidang kompleks bersama-sama dengan titik takhingga ini disebut bidang kompleks perluasan. Untuk memvisualisasi titik diketakhinggaan, salah satu yang dapat dipikirkan dari bidang
50
kompleks misalnya perputaran suatu titik mengelilingi suatu permukaan bola menurut garis katulistiwa dengan pusat titik z = 0 (gambar 20). Setiap titik z di bidang mempunyai hubungan dengan tepat satu titik P pada permukaan bola. Titik P ditentukan oleh garis yang melalui titik z dan kutub utara N dari bola dengan permukaannya. Dengan cara demikian, setiap titik P pada permukaan bola, yang lainnya pada kutub utara N, terdapat hubungan dengan tepat satu titik z di bidang. Dengan memisalkan titik N dari bola yang berhubungan dengan titik tak hingga, diperoleh korespondensi satu-satu antara titik-titik pada bola dan titik-titik pada bidang kompleks perluasan. Bola tersebut dikenal sebagai bola Riemann, dan hubungannya disebut proyeksi stereografik.
N P 0
z
Gambar 20 Perhatikan bagian luar dari lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal bidang kompleks yang berhubungan dengan belahan bumi bagian atas di mana katulistiwa dan titik N dihilangkan. Selanjutnya, untuk setiap bilangan positif kecil , titik-titik tersebut di bidang kompleks di luar lingkaran |z| = 1/ berhubungan dengan titik-titik pada bola dekat ke N. Kita sebut himpunan ini |z| > 1/ suatu lingkungan , atau lingkungan dari . Perlu disepakati bahwa, berkenaan dengan titik z, kita artikan suatu titik di bidang hingga. Selanjutnya, jika titik diketakhinggaan dipertimbangkan, maka akan dijelaskan secara khusus. Artinya sekarang kita siap memberikan pernyataan
51
lim f ( z ) w0
z z0
jika salah satu z0 atau w0, atau mungkin keduanya diganti dengan titik takhingga. Dalam definisi limit pada bagian 11, kita mengganti lingkungan dari z0 dan w0 dengan lingkungan dari . Pernyataan lim f z , mempunyai arti bahwa untuk setiap bilangan positif, z z0
terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga f z
(1)
1
asalkan 0 z - z0 .
Jadi, titik w = f(z) terletak dalam lingkungan- w lingkungan penghilangan dari z0,
1
dari asalkan z terletak dalam
0 z - z 0 . Pernyataan pada persamaan (1) dapat
ditulis 1 0 asalkan 0 z - z0 , f z dari sini terlihat bahwa
lim f z jika dan hanya jika lim
(2)
z z0
z z0
1 0. f z
Contoh 1.
iz 3 z 1 karena lim 0 z 1 z 1 z 1 iz 3 lim
Selanjutnya,
lim f z w0
z
mempunyai arti bahwa, untuk setiap positif, terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga (3)
f z w0 asalkan z 1 .
Dengan mengganti z pada persamaan (3) dengan 1/z , maka diperoleh
52
1 f w0 asalkan z - 0 . z Ini berarti bahwa,
1 lim f z w0 jika dan hanya jika lim f w0 z z 0 z
(4)
Contoh 2. Berdasarkan pernyataan pada persamaan (4),
2 / z i lim 2 iz 2 . 2z i 2 karena lim z z 1 z 0 1 / z 1 z 0 1 z lim
Terakhir, pernyataan
lim f z
z
mempunyai arti bahwa untuk setiap bilangan positif, terdapat bilangan positif sedemikian sehingga f z
(5)
1
asalkan z 1 .
Jika z diganti dengan 1/z, pernyataan ini dapat ditulis dalam bentuk
1 f
1z 0
asalkan 0 z - 0 ;
jadi,
lim f z jika dan hanya jika lim
(6)
z
z 0
Contoh 3.
lim
z
2z 3 1 z2 1
1 lim z z 1 2 z 1
, karena lim
z 0 2
z2 z
z 0
3
3 3
1 f
1z 0 .
0
14. KEKONTINUAN Suatu fungsi f adalah kontinu di titik z0 jika memenuhi ketiga syarat berikut : (1)
lim f(z) ada z z0
53
(2)
f(z0) ada
lim f(z) = f(z0)
(3)
z z0
Pernyataan pada persamaan (3) jelas memuat pernyataan pada persamaan (1) dan (2), karena secara implisit keberadaan nilai dari setiap sisi adalah sama. Pernyataan pada persamaan (3) mengatakan bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga (4)
f z f z 0 asalkan z z 0 . Suatu fungsi dari variabel kompleks dikatakan kontinu dalam daerah R jika fungsi
tersebut kontinu disetiap titik dalam R. Jika dua fungsi f, g adalah kontinu di suatu titik, maka f + g dan f.g juga kontinu di suatu titik; demikian juga f/g kontinu di suatu titik asalkan g tidak nol. Hal ini merupakan akibat dari teorema 2 bagian 12. Berdasarkan definisi pada persamaan (4) diperoleh bahwa komposisi dari fungsifungsi kontinu adalah kontinu. Untuk menunjukkan ini, kita misalkan w = f(z) adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap z dalam lingkungan dari titik z0; dan misalkan pula g(w) suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi memuat bayangan (lihat bagian 10) dari lingkungan z0. Sekarang, anggaplah f kontinu di z0 dan g kontinu di titik w0 = f(z0). Dari kekontinuan g di titik w0, kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat bilangan positif sedemikian sehingga
g f z g f z 0 asalkan f z f z 0 . tetapi, berhubungan dengan , terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga ketaksamaan kedua dipenuhi asalkan z z 0 . Ini berarti, bahwa kekontinuan dari g[f(z)] di z0 telah dibuktikan. Berdasarkan definisi pada persamaan (4) dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa jika suatu fungsi f(z) adalah kontinu dan tidak nol disuatu z0, maka f(z) 0 untuk setiap z
54
dalam suatu lingkungan dari z0. Untuk itu, jika f(z0) 0 dan bilangan positif
f z0 2
,
maka berdasarkan ketaksamaan (4) terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga f z0 2
f z f z 0
asalkan z - z0 .
Jika terdapat suatu titik z dalam lingkungan z - z0 sehingga f(z) = 0, maka kontradiksi dengan f z 0
f z0 2
.
Dari teorema 1, bagian 12, diperoleh bahwa suatu fungsi f dari variabel kompleks adalah kontinu di titik z0 = (x0,y0) jika dan hanya jika fungsi komponen u dan v kontinu di titik z0 = (x0,y0). Contoh. Fungsi
f z cos x 2 y 2 cosh 2 xy i sin x 2 y 2 sinh 2 xy adalah kontinu dimana-mana dalam bidang kompleks, karena komponen real dan imajiner dari f adalah kontinu disetiap titik (x,y). Kekontinuan dari fungsi-fungsi komponen adalah akibat dari kekontinuan dari polinom dalam x dan y melalui kekontinuan dari fungsi trigonometri dan hiperbolik. Berbagai sifat fungsi kontinu dari variabel kompleks dapat diturunkan melalui hubungan dari fungsi kontinu bernilai real dengan dua peubah real. Sebagai contoh, fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) yang kontinu dalam daerah R adalah tertutup dan terbatas. Fungsi
u x, y 2 vx, y 2 adalah
kontinu di R dan mencapai nilai maksimum dimana-mana
dalam R. Jadi, f adalah terbatas pada R dan f z mencapai nilai maksimum dimana-mana dalam R. Atau secara tepatnya f dikatakan terbatas dalam R, jika terdapat bilangan real non negatif M sehingga (5)
f z M
untuk setiap z dalam R
Hasil lain yang dapat diturunkan dari hubungan fungsi bernilai real dari dua variabel real, bahwa fungsi f yang kontinu dalam suatu daerah R yang tertutup dan terbatas
55
adalah kontinu seragam. Yaitu, suatu nilai dari , tidak tergantung dari z0, jadi dapat dipilih sehingga syarat pada persamaan (14.4) adalah dipenuhi untuk setiap titik z0 dalam R. LATIHAN 1. Misalkan a, b, c dan z0 menyatakan suatu konstanta kompleks. Gunakan definisi limit pada persamaan (2) bagian 11 untuk membuktikan bahwa (a). lim c c ; z z0
b . lim az b az 0 b a 0 ; c . lim z 2 c z 02 c
d . lim Re z Re z 0 ; z z0
f .
z z0
z z0
e. lim
z z0
lim x i 2x y 1 i
z 1i
z z0 ;
z x iy ;
2
g . lim z 0 . z z0 z
2. Misalkan n suatu bilangan bulat positif dan misalkan pula P(z) dan Q(z) adalah polinom, dengan Q(z0) 0. Gunakan teorema 2 bagian 12, untuk menentukan limit berikut ini
a . lim
1 n z z0 z
,
1 Pz ; c . lim z z0 Q z z 1
z 0 0 ; b . lim iz z i
3
3. Gunakan sifat (9) bagian 12 dari limit dan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa lim z n z 0n dimana n suatu bilangan bulat positif. z z0
2
z 4. Tunjukkan bahwa lim tidak ada. Kerjakan soal ini dengan memisalkan titik tak z 0 z nol z = (x,0) dan z = (x,x) mendekati nol. 5. Buktikan pernyataan pada persamaan (8) bagian 12 teorema 2, gunakan (a). Teorema 1 bagian 12, dan sifat limit fungsi bernilai real dari dua variabel real; (b). Definisi (2) bagian 11 dari limit.
56
lim f z w0 jika dan hanya jika
6. Misalkan z z z 0 dan tunjukkan bahwa
z z0
lim f z 0 z w0
z 0
7. Tunjukkan bahwa
lim f z g z 0 jika lim f z 0
z z0
z z0
dan jika terdapat suatu
g z M untuk setiap z dalam suatu
bilangan positif M sedemikian sehingga lingkungan dari z0. 8. Buktikan sifat (12) bagian 12 dari limit.
9. Dengan menggunakan sifat (2), (4) dan (6) bagian 13 dari limit, tunjukkan bahwa
a . lim
z
4z 2
z 12
4;
b . lim
z 1
1
z 13
z2 1 c . lim z z 1
;
10. Gunakan sifat (2), (4) dan (6) bagian 13 dari limit untuk menunjukkan bahwa jika T z
az b cz d
ad - bc 0 , maka
(a). lim T z jika c = 0. b .. lim T z z
z
a c
dan
lim T z jika c 0.
z d c
11. Gunakan definisi (1) dan (3) bagian 13 dari limit di ketakhinggaan untuk menunjukkan 1 1 dan lim 0 z 0 z z z
bahwa lim
12. Pandang suatu fungsi f yang didefinisikan pada bidang perluasaan dengan persamaan 1 z jika z 0 f z jika z 0 . Tunjukkan bahwa f kontinu dimana-mana dalam bidang 0 jika z perluasan. 13. Tunjukkan bahwa limit di titik tak hingga adalah tunggal. 14. Tunjukkan bahwa himpunan S adalah tak terbatas (bagian 8) jika dan hanya jika setiap lingkungan dari titik tak hingga memuat paling sedikit sati titik di S.
57
15. TURUNAN Misalkan f suatu fungsi dengan daerah definisinya memuat lingkungan dari suatu titik z0. Turunan dari f di z0, ditulis f z 0 , adalah didefinisikan dengan
f z 0 lim
(1)
z z0
f z f z 0 , z z0
asalkan limitnya ada. Fungsi f dikatakan terdiferensiabel di z0 jika turunannya di z0 ada. Dengan mengubah z pada persamaan (1) dalam bentuk variabel kompleks yang baru
z = z – z0, maka kita dapat menuliskan definisi di atas menjadi f z 0 lim
(2)
z 0
f z 0 z f z 0 z
Sebagai catatan, karena f terdefinisi pada suatu lingkungan dari z0, bilangan f z 0 z adalah selalu terdefinisi untuk z yang cukup kecil (lihat gambar 21). y z
z0 z 0 z 0
x Gambar 21
Jika pada persamaan (2) dari definisi turunan, kita akan mengganti z0 dengan z dan kita misalkan bilangan
w f z z f z menyatakan perubahan nilai dari f yang berkaitan dengan perubahan z pada titik dimana f dihitung. Maka, jika kita menulis
dw dz
untuk f z , persamaan (2) menjadi
58
(3)
dw w lim . dz z 0 z
Contoh 1. Misalkan bahwa f(z) = z2. Disetiap titik z,
z z 2 z 2 lim 2 z z 2 z , w lim z 0 z z 0 z 0 z lim
karena 2 z z adalah suatu polinom dalam z . Jadi
dw 2 z atau f z 2 z . dz
Contoh 2. Pandang suatu fungsi f z z . Jadi, 2
2
w z z z z z Jika limit dari
2
z z z z z z z z z z . z
z
w ada, maka kita memisalkan titik z x, y mendekati titik asal z
dalam bidang z dalam berbagai arah. Khususnya, jika z mendekati titik asal sepanjang horizontal melalui titik x,0 pada sumbu real (gambar 22), maka kita dapatkan z z . Jadi jika limit dari
w ada, kita peroleh z z . Selanjutnya, jika z mendekati titik asal z
sepanjang vertikal melalui titik-titik
0, y
pada sumbu imajiner, juga diperoleh
z z , dan limitnya harus sama dengan z z asalkan limitnya ada. Karena limit suatu
fungsi adalah tunggal, maka diperoleh bahwa z z = z z , atau z = 0, asalkan y
(0, y )
(0,0)
x,0 Gambar 22
59
x
dw ada. dz
Jadi
dw ada hanya dititik z = 0. dz
Contoh 2 menunjukkan bahwa suatu fungsi dapat terdiferensialkan di suatu titik tertentu tetapi tidak dalam lingkungan titik itu. Karena bagian real dan imajiner dari
f z z
2
adalah (x,y) = x2 + y2 dan v(x,y) = 0,
(4)
hal ini menunjukkan bahwa komponen real dan imajiner dari fungsi bernilai kompleks adalah mempunyai turunan parsial yang kontinu dari setiap pasang titik, tetapi fungsi tersebut tidak terdiferensial. Fungsi f z z
2
adalah kontinu disetiap titik dalam bidang karena komponen (4)
adalah kontinu disetiap titik. Jadi kekontinuan dari suatu fungsi di suatu titik tidak mengakibatkan fungsi tersebut mempunyai turunan di titik itu. Tetapi keberadaan turunan suatu fungsi di suatu titik mengakibatkan fungsi kontinu disuatu titik tersebut. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita asumsikan bahwa f z 0 ada dan kita tulis
lim f z f z 0 lim
z z0
z z0
f z f z 0 lim z z 0 f z 0 .0 0 z z0 z z0
dari sini diperoleh bahwa
lim f z f z 0
z z0
Ini menunjukkan bahwa f kontinu di z0 (lihat bagian 14). 16. RUMUS DIFFERENSIAL Definisi turunan dalam bagian 15 adalah serupa dengan turunan dari fungsi bernilai real dari suatu variabel real. Kenyataan ini, dijadikan dasar untuk memberikan rumus differensial yang diturunkan dari definisi, bersama-sama dengan teorema-teorema pada limit, dengan cara yang sama digunakan dalam kalkulus. Dalam rumus ini, turunan dari
60
fungsi f di suatu titik z adalah dinotasikan dengan salah satu
d f z f z , tergantung dz
pada mana notasi ini digunakan. Misalkan c suatu konstanta kompleks, dan f suatu fungsi yang mempunyai turunan di suatu titik z. Maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa (1)
d c 0, dz
d z 1, dz
d cf z cf z . dz
Juga, jika n bilangan bulat positif, (2)
d n z nz n1 . dz
Rumus ini juga benar untuk n suatu bilangan bulat negatif, asalkan z 0. Jika turunan dari dua fungsi f dan F ada di suatu titik z (3)
d f z F z f z F z dz
(4)
d f z F z f z F z f z F z ; dz
dan, jika F(z) 0, (5)
d f z F z f z f z F z dz F z F z 2
Penurunan rumus (4) diperoleh dengan cara merubah f(z)F(z) menjadi
f z z F z z f z F z f z F z z F z f z z f z F z z Jika kedua sisi dibagi dengan z dan kita misalkan z menuju nol, maka rumus di atas menunjukkan turunan f z F z . Terdapat juga aturan rantai untuk differensial fungsi komposisi. Misalkan bahwa f mempunyai turunan di z0 dan g mempunyai turunan di f(z0). Maka fungsi F[z] = g[f(z)] mempunyai turunan di z0, dan (6)
F z 0 g f z 0 f z 0 .
Jika kita tulis w = f(z) dan W = F(z), juga W = F(z), dari aturan rantai
61
dW dW dw . dz dw dz
Contoh. Untuk mencari turunan dari (2z2 + i)5, kita tulis w = 2z2 + i dan W = w5. Maka
5 4 d 2 z 2 i 5w 4 4 z 20 z 2 z 2 i . dz
Kita mulai membuktikan rumus (6), pilih titik z0 sehingga f z 0 ada. Tulis w0 = f(z0) dan juga asumsikan bahwa g w0 ada. Maka terdapat suatu lingkungan w w0 dari w0 sehingga, untuk setiap titik w dalam lingkungan, kita mendefinisikan suatu fungsi
yang mempunyai nilai w0 =0 dan w
(7)
g w g w0 g w0 jika w w0 . w w0
Sebagai catatan bahwa, dari definisi turunan
lim w 0 .
(8)
w w0
Jadi adalah kontinu di w0. Selanjutnya dari persamaan (7) diperoleh (9)
g w g w0 g w0 ww w0
w - w0
adalah benar jika w = w0; karena f z 0 ada maka f kontinu di z0. Kita dapat memilih bilangan positif sedemikian sehingga titik f(z) terletak dalam lingkungan w w0 dari w0 jika z terletak dalam lingkungan z z 0 dari z0. Jadi dengan menggati variabel w dalam (9) dengan f(z) jika z suatu titik dalam lingkungan z z 0 . Dengan substitusi w0 = f(z0), persamaan (9) diperoleh (10)
g f z g f z 0 f z f z 0 g f z 0 f z z z0 z z0
dimana z z0.
62
0
z - z0 ,
LATIHAN 1. Gunakan hasil dalam bagian 16 untuk mencari f z jika : (a). f(z) = 3z2 – 2z + 4;
b . f z 1 4 z 2 ; c . f z 3
z 1 1 z ; 2z 1 2
d . f z 1 2z z
2
z 0
2. Gunakan hasil dalam bagian 16, untuk menunjukkan bahwa (a). suatu polinom P z a 0 a1 z a 2 z 2 ... a n z n
(an 0) yang berderajat n (n1) adalah
terdiferensialkan dimana-mana, dengan turunannya P z a1 2a 2 z ... na n z n 1 (b). koefisien dari polinom P(z) dalam bagian (a) dapat ditulis a0 P 0 , a1
P 0 , 1!
P 0 P n 0 . a2 ,..., a n 2! n!
3. Gunakan definisi (3) bagian 15 dari turunan untuk memberikan bukti langsung bahwa f z
1
z2
jika f z
1
z
z 0 .
4. Misalkan bahwa f(z0) = g(z0) = 0 dan f z 0 dan g z 0 ada, dimana g z 0 0 . Gunakan definisi (1) bagian 15
lim
z z0
dari turunan untuk menunjukkan
bahwa
f z f z 0 . g z g z 0
5. Buktikan rumus (3) bagian 16 untuk turunan dari jumlah dua fungsi. 6. Buktikan persamaan (2) bagian 16 untuk turunan zn jika n suatu bilangan bulat positif dengan menggunakan : (a). Induksi matematika dan rumus (16.4), untuk turunan dari perkalian dua buah fungsi. (b). definisi (3) bagian 15 dari turunan dan rumus Binomial (soal 14 bagian 6). 7. Buktikan bahwa persamaan (2) bagian 16 untuk turunan zn adalah benar jika n adalah suatu bilangan bulat negatif (n = -1, -2, …), jika z 0. 8. Gunakan metode dalam contoh 2 bagian 15, untuk menunjukkan bahwa f z tidak ada disetiap titik z jika : a . f z z ; (b). f(z) = Re z; (c). f(z) = Im z.
63
z2 9. Misalkan f menyatakan suatu fungsi dengan nilai f z z 0 bahwa jika z = 0, maka
jika z 0
w 1 untuk setiap titik tak nol pada sumbu real dan imajiner z
dalam bidang z atau x, y . Tunjukkan bahwa
x, x
jika z 0 . Tunjukkan
w 1 disetiap titik tak nol z
pada garis y x dalam bidang z . Kesimpulan dari hasil penyelidikan
adalah f 0 tidak ada. 17. PERSAMAAN CAUCHY-RIEMANN Dalam bagian ini, kita memperoleh pasangan dari persamaan turunan parsial orde pertama fungsi komponen u dan v dari fungsi
f z u x, y iv x, y
(1)
harus memenuhi di suatu titik z0 = (x0 , y0) jika turunan dari f ada di titik z0 = (x0 , y0). Kita juga tunjukkan bagaimana menulis f z 0 dalam suku-suku dari turunan parsialnya. Misalkan bahwa turunan f z 0 lim
(2)
z 0
f z 0 z f z 0 z
ada. Tulis z0 = x0 + iy0 dan z x iy , maka dari teorema 1 bagian 12, kita mempunyai (3)
Re f z 0
f z 0 z f z 0 lim Re x,y 0,0 z
(4)
Im f z 0
f z 0 z f z 0 lim Im x,y 0,0 z
dimana (5)
f z0 z f z0 u x0 x, y0 y u x0 , y0 iv x0 x, y0 y v x0 , y0 z x iy x iy
64
Persamaan ini sangat penting untuk memikirkan bahwa persamaan (3) dan (4) benar untuk
x, y menuju (0,0) dalam sembarang arah yang kita pilih. Khususnya, misalkan x, y menuju (0,0) sepanjang horizontal melalui titik-titik
x,0 ,
dengan indikasi pada gambar 22 (bagian 15). Ini berarti bahwa y 0 dalam
persamaan (5), dan kita peroleh bahwa u x 0 x , y 0 u x 0 , y 0 x0 x
Re f z 0 lim
v x 0 x , y 0 v x 0 , y 0 x 0 x
Im f z 0 lim
Jadi, (6)
f z 0 u x x0 , y 0 ivx0 , y 0 ,
dimana u x x0 , y 0 dan v x0 , y 0 menyatakan turunan parsial orde pertama dari variabel x dari fungsi u dan v di x0 , y 0 . Kita dapat memisalkan x, y meunju nol sepanjang garis vertikal 0, y . Dalam hal ini, x 0 dalam persamaan (5); dan diperoleh (7)
f z 0 v y x0 , y 0 iu x0 , y 0
Ini menunjukkan bahwa f z 0 dinyatakan dalam bentuk turunan parsial orde pertama dari u dan v terhadap variabel y. Sebagai catatan bahwa persamaan (7) dapat juga ditulis
f z 0 i u y x0 , y 0 iv x0 , y0
Persamaan (6) dan (7) tidak hanya memberikan f z 0 dalam bentuk turunan parsial dari fungsi komponen u dan v, tetapi juga merupakan syarat perlu untuk keberadaan f z 0 . Pada persamaan bagian real dan imajiner pada bagian kanan persamaan di atas, kita peroleh bahwa keberadaan dari f z 0 memerlukan bahwa (8)
u x x0 , y0 v y x0 , y 0 dan u y x0 , y 0 v x x0 , y 0
Persamaan (8) ini disebut Persamaan Cauchy-Riemann (C-R) Sebagai ringkasan dari hasil di atas, kita nyatakan dalam teorema berikut ini
65
Teorema. Misalkan bahwa
f z u x, y iv x, y dan f z 0 ada di titik z0 = x0 + y0. Maka turunan parsial orde pertama dari u dan v harus ada di titik (x0 , y0), dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann u x v y dan u y v x
(9)
Juga f z 0 dapat ditulis f z 0 u x iv x
(10)
dimana turunan parsialnya dihitung pada (x0 , y0). Contoh 1. Dalam contoh 1 bagian 15, terlihat bahwa fungsi
f z z 2 x 2 y 2 i 2 xy adalah terdiferensiabel dimana-mana dan f z 2 z . Akan diselidiki bahwa persamaan CR dipenuhi dimana-mana. Kita catat bahwa u x, y x 2 y 2 dan v x, y 2 xy . Jadi u x 2x v y ,
u y 2 y v x .
Selanjutnya, dari persamaan (10),
f z 2 x i 2 y 2 x iy 2 z . Karena persamaan C-R adalah merupakan syarat perlu untuk keberadaan dari turunan suatu fungsi f di titik z0, maka persamaan C-R selalu dapat digunakan untuk mengetahui dititik mana f tidak mempunyai turunan. Contoh 2. Jika f z z , kita mempunyai u x, y x 2 y 2 dan v x, y 0 . Misalkan 2
persamaan C-R benar di suatu titik (x , y), dari sini bahwa 2x = 0 dan 2y = 0, atau x = y = 0. Akibatnya, f z tidak ada disetiap titik tak nol, dan ini telah kita ketahui pada contoh 2 dalam bagian 15. Perlu dicatat bahwa teorema di atas tidak menjamin keberadaan dari
f 0 . Pada teorema dalam bagian berikut ini akan dibahas syarat cukup dari suatu fungsi yang terdiferensiabel.
66
18. SYARAT CUKUP UNTUK KETERDIFFERENSIALAN Syarat dari persamaan C-R dititik z0 = (x0 , y0) adalah tidak cukup untuk menjamin keberadaan turunan dari suatu fungsi f(z) di titik z0 = (x0 , y0). (lihat latihan 6, bagian 19). Tetapi, dengan syarat kekontinuan, sangat bermanfaat dan dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema. Misalkan
f z u x, y iv x, y terdefinisi pada suatu lingkungan dari suatu titik z0 = x0 + iy0 . Misalkan pula bahwa turunan parsial orde pertama dari fungsi u dan v terhadap x dan y ada dimana-mana dalam lingkungan tersebut dan kontinu di titik (x0 , yo). Jika turunan parsialnya memenuhi persamaan C-R u x v y dan u y v x di (x0 , yo), maka f z 0 ada. Kita mulai membuktikan, dengan menulis z x iy, dimana 0 z , dan w f z 0 z f z 0 . Jadi w u iv , dimana (1)
u u x0 x, y 0 y u x0 , y 0 , v vx0 x, y 0 y vx0 , y 0 ,
Sekarang, dari kekontinuan turunan parsial orde pertama u dan v di titik (x0 , y0), (.2)
u u x x0 , y0 x u y x0 , y 0 y 1
x 2 y 2 ,
v v x x0 , y 0 x v y x0 , y 0 y 2
x 2 y 2 ,
dimana 1 dan 2 menuju 0 melalui x, y mendekati (0,0) dalam bidang z . Jadi w u x x0 , y 0 x u y x0 , y 0 y 1 (3)
x 2 y 2
i v x x0 , y 0 x v y x0 , y 0 y 2
67
x 2 y 2 .
Keberadaan dari persamaan (2) untuk fungsi dua variabel real dengan kekontinuan turunan parsial orde pertama dapat diperoleh pada kalkulus lanjut dan hubungannya dengan differensial. Dari asumsi bahwa persamaan C-R dipenuhi di (x0 , y0), kita dapat mengganti u y x0 , y 0 dengan v x x0 , y 0 dan v y x0 , y 0 dengan u x x0 , y0 dalam persamaan (3) dan semuanya dibagi dengan z , untuk memperoleh (4)
Tetapi
w u x x0 , y 0 iv x x0 , y 0 1 i 2 z
x 2 y 2
z , dan juga
x 2 y 2 z
x 2 y 2 z 1.
Juga 1 + i2 menuju 0 asalkan x, y mendekati (0,0). Jadi bentuk terakhir bagian kanan dari persamaan (4) menuju 0 melalui variabel z x iy menuju 0. Ini berarti bahwa limit dari bagian kiri persamaan (4) ada dan (5)
f z 0 u x x0 , y 0 iv x x0 , y0 .
Contoh 1. Misalkan bahwa
f z e x cos y i sin y , dimana y adalah menyatakan radian jika cos y dan sin y dihitung. Maka u x, y e x cos y dan v x, y e x sin y .
Dimana u x v y dan u y v x dimana dan setiap turunannya adalah kontinu, maka syarat dalam teorema adalah dipenuhi disemua titik dalam bidang kompleks. Jadi f z ada dimana-mana, dan f z u x iv x e x cos y i sin y
Sebagai catatan bahwa f z = f(z). Contoh 2. Dari teorema di atas juga fungsi
f z z , yang mempunyai komponen 2
u x, y x 2 y 2 dan v x, y 0 mempunyai turunan di z = 0. Kenyataannya bahwa,
68
f 0 0 i0 (bandingkan dengan contoh 2, bagian 15). Kita ketahui dalam contoh 2, bagian 17, fungsi ini tidak mempunyai turunan disetiap titik tak nol karena persamaan C-R tidak dipenuhi. 19. KOORDINAT POLAR Jika z0 0, teorema dalam bagian 18 adalah diberikan dalam koordinat polar dengan arti bahwa transformasi koordinat (bagian 5) (1)
x = r cos ,
y = r sin
bergantung pada bagaimana kita menulis z = x + iy atau z = rei
( z 0 )
jika w = f(z), bagian real dan bagian imajiner dari w = u + iv adalah dinyatakan dalam bentuk salah satu variabel x dan y atau r dan . Misalkan bahwa turunan parsial orde pertama dari u dan v terhadap x dan y ada dimana-mana dalam suatu lingkungan titik tak nol z0 yang diberikan dan kontinu dititik tersebut. Turunan parsial orde pertama terhadap r dan juga mempunyai sifat yang sama, dan dengan aturan rantai untuk differensial fungsi bernilai real dari dua variabel real dapat digunakan untuk mendapatkan suku-sukunya terhadap variabel x dan y. Karena
u u x u x , r x r y r
u u x u x , x y
dan dapat ditulis (2)
u r u x cos u y sin ,
u u x r sin u y r cos ,
dengan cara serupa (3)
v r v x cos v y sin ,
v v x r sin v y r cos .
Jika turunan parsial terhadap x dan y juga memenuhi persamaan C-R (4)
u x v y dan u y v x
di z0, persamaan (3) memberikan (5)
v r u y cos u x sin ,
v u y r sin u x r cos
69
dititik z0. Hal ini jelas bahwa dari persamaan (2) dan (5) 1 u r v , r
(6)
1 u v r r
dititik z0. Jika, pada hal lain, persamaan (6) diketahui benar dititik z0, untuk selanjutnya tunjukan (soal no. 7) bahwa persamaan (4) juga benar. Persamaan (6) adalah merupakan suatu alternatif dari bentuk persamaan C-R pada (4). Kita dapat mengulangi teorema dalam bagian 18 dengan menggunakan koordinat polar. Teorema. Misalkan fungsi
f z u r , ivr , terdefinisi pada suatu lingkungan dari titik tak nol z0 = r0exp(i0). Misalkan pula bahwa turunan parsial orde pertama dari fungsi u dan v terhadap r dan ada dimana-mana dalam lingkungan tersebut dan kontinu dititik (r0 ,0). Jika turunan parsial pertama memenuhi persamaan C-R dalam bentuk koordinat polar di (r0 ,0), maka turunan f z 0 ada. Turunan f z 0 dapat ditulis (soal no. 8) (7)
f z 0 e i u r iv r ,
dimana sisi bagian kanan dihitung pada (r0 ,0). Contoh. Pandang fungsi
f z
1 1 i z re
dimana cos u r , r
dan
sin vr , . r
Syarat dalam teorema di atas adalah dipenuhi disetiap titik tak nol z = rei dalam bidang. Juga turunan dari f ada disana, dan dari persamaan (7),
70
1 cos sin f z e i 2 i 2 r r re i
2
1 z2
.
Latihan 1. Gunakan teorema dalam bagian 18 untuk menunjukkan bahwa f z tidak ada disetiap titik jika (a). f z z;
c .
b . f z z z ;
f z 2 x ixy 2 ;
2. Gunakan teorema dalam bagian 18 untuk menunjukkan
d . f z e x e iy . bahwa f z dan turunan
f z ada dimana-mana, dan carilah f z jika:
a . f z iz 2 ; b . f z e x e iy ; (c). f(z) = z3; (d). f(z) = cos x cosh y – isin x sinh y. 3. Dari hasil yang termuat dalam bagian 17 dan 18, tentukan dimana f z ada carilah nilainya jika (a). f z
1 ; (b). f(z) = x2 + iy2; (c). f(z) = z Imz . z
4. Gunakan teorema dalam bagian 19 untuk menunjukkan setiap fungsi berikut adalah terdiferensial dalam daerah definisinya, dan gunakan persamaan (19.7) untuk mencari
f z : (a). f z
1 z4
z 0; b . f z
r e 2 r 0,- ; i
c . f z e cosln r ie i sin ln r r 0,0 2 . 5. Tunjukkan bahwa f z x 3 i 1 y 3 mempunyai turunan f z u x iv x 3x 2 hanya jika z = i. 6. Misalkan u dan v menyatakan komponen bagian real dan imajiner dari fungsi f yang
didefinisikan
dengan
persamaan
z2 f z z , jika z 0 . Selidiki bahwa 0 , jika z 0
persamaan C-R u x v y dan u y v x adalah dipenuhi pada titik asal z = (0,0).
71
7. Selesaikan persamaan (2) bagian 19 untuk ux dan uy dan untuk menunjukkan bahwa u x u r cos u
sin , r
u y u r sin u
cos . Maka gunakan persamaan ini dan r
cara serupa untuk vx dan vy untuk menunjukkan bahwa, dalam persamaan (4) bagian 19 adalah dipenuhi di suatu titik z0 jika persamaan (6) bagian 19 adalah dipenuhi. Selengkapnya selidiki bahwa (6) bagian 19 adalah persamaan C-R dalam bentuk polar. 8. Misalkan bahwa suatu fungsi f(z) = u + iv adalah terdiferensiabel disuatu titik tak nol z0 = r0 exp(i0). Gunakan ux dan vx dalam soal no. 7, bersama-sama dengan koordinat polar (6) bagian 19 dari persamaan C-R, untuk menunjukkan bahwa f z 0 dapat ditulis f z e i u r iv r , dimana ur dan vr dihitung pada (r0 , 0). 9. (a). Dengan menggunakan bentuk polar (6) bagian 19, dari persamaan C-R, turunkan bentuk f z 0
i u iv dari f z 0 dalam soal no. 8. z0
(b). Gunakan bentuk f z 0 yang didapatkan dalam bagian (a) untuk mrnunjukkan bahwa turunan dari fungsi f z
f z
1 z2
1 z
z 0
dalam contoh bagian 19 adalah
.
10. (a). Ingat kembali (bagian 3) bahwa jika z = x + iy, maka x
zz zz dan y . 2 2i
Dengan menggunakan rumus aturan rantai dalam kalkulus untuk fungsi F(x,y) dari dua variabel, untuk menhitung
(b). Definisikan operator
F F x F y 1 F F . i y z x z y z 2 x
1 i , dengan menggunakan bagian (a), untuk y z 2 x
menunjukkan bahwa turunan parsial orde pertama bagian real dan imajiner dari suatu fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) memenuhi persamaan C-R, maka
72
f 1 f u x v y i v x u y 0 . Jadi penurunan bentuk kompleks 0 dari z 2 z
persamaan C-R. 20. FUNGSI ANALITIK Pada bagian ini akan dipelajari pendahuluan dari suatu fungsi analitik. Suatu fungsi f dari variabel kompleks z adalah analitik dalam suatu himpunan buka jika fungsi f mempunyai turunan disetiap titik dalam himpunan tersebut. Jika suatu fungsi f adalah analitik dalam suatu himpunan S yang tidak buka, maka f adalah analitik dalam suatu himpunan buka yang memuat S. Khususnya, f adalah analitik di suatu titik z0 jika f itu analitik dalam lingkungan z0. Sebagai catatan, bahwa fungsi f z bidang hingga. Tetapi fungsi
f z z
2
1 adalah analitik disetiap titik tak nol dalam z
adalah tidak analitik disetiap titik karena
turunannya hanya ada di z = 0 dan tidak pada seluruh lingkunganya. (lihat contoh 2. bagian 15). Suatu fungsi dikatakan entire jika fungsi tersebut adalah analitik disetiap titik dalam suluruh bidang hingga. Sebagai contoh turunan dari fungsi polinom ada dimana-mana, maka setiap fungsi polinom adalah suatu fungsi entire. Jika suatu fungsi f tidak analitik disuatu titik z0 tetapi analitik pada beberapa titik pada setiap lingkungan dari z0, maka z0 maka z0 disebut titik singular atau singularitas dari f. Titik z = 0 adalah jelas merupakan suatu titik singular dari fungsi
f z z
2
f z
1 . Fungsi z
tidak mempunyai titik singular sebab tidak analitik dimana-mana.
Syarat perlu, tetapi bukan syarat cukup, suatu fungsi f analitik dalam suatu domain D adalah kontinu pada seluruh D. Persamaan C-R adalah juga syarat perlu, tetapi bukan syarat cukup. Syarat cukup untuk analitik dalam domain D adalah dijelaskan pada teorema dalam bagian 18 dan 19.
73
Selanjutnya, kita akan selalu menggunakan syarat cukup dari rumus differensial yang termuat dalam bagian 16. Turunan jumlah dan perkalian dua fungsi ada asalkan turunan dari masing-masing fungsi tersebut ada. Jadi, jika dua fungsi analitik dalam domain D, maka jumlah dan perkaliannya adalah analitik dalam domain D. Dengan hal serupa, hasil baginya adalah analitik dalam domain D asalkan penyebutnya tidak bernilai nol disetiap titik dalam D. Khususnya, hasil bagi
P z dari dua polinom adalah analitik Qz
dalam setiap domain Q z 0 . Dari aturan rantai untuk turunan dari suatu fungsi komposisi, kita peroleh bahwa komposisi dari dua fungsi analitik adalah analitik. Sebagai bukti, misalkan bahwa suatu fungsi f(z) adalah analitik dalam domain D dan bayangannya (bagian 10) dari D oleh transformasi w = f(z) adalah termuat dalam daerah definisi fungsi g(w). Maka komposisi g[f(z)] adalah analitik dalam D, dan turunannya d g f z g f z f z dz
Teorema. Jika f z 0 dimana-mana dalam suatu domain D, maka f z harus konstan pada seluruh D. Untuk membuktikan ini, kita tulis f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Karena f z 0 di D, maka ux + ivx = 0; dan, dari persamaan C-R, vy - iuy = 0. Akibatnya, ux = uy = vx = vy = 0 disetiap titik dalam D. 21. PRINSIP REFLEKSI Dalam dua bagian terakhir dari bab ini, kita akan mengembangkan sifat yang penting dari fungsi analitik, sebagai tambahan yang sangat berguna dalam aplikasi. Teorema dalam bagian ini ditampilkan berdasarkan kenyataan dari beberapa fungsi
analitik yang mempunyai sifat bahwa f z f z untuk semua z dalam daerah tertentu dan yang lainnya tidak. Sebagai contoh z + 1 dan z2 memenuhi sifat tersebut jika D adalah
74
seluruh bidang hingga; tetapi tidak benar untuk z + i dan iz2 . Teorema ini diketahui melalui prinsip refleksi, yang ditentukan dengan jalan memprediksi fungsi f(z) dalam sumbu real yang berhubungan dengan pencerminan dari z. Theorema. Misalkan bahwa fungsi f adalah analitik dalam suatu domain D yang memuat segmen sumbu x dan simetri terhadap sumbu x. Maka
f z f z
(1)
untuk setiap titik z dalam domain jika dan hanya jika f(x) adalah real disetiap titik x pada segmen. Kita mulai membuktikan dengan asumsi bahwa f(x) adalah real disetiap titik x pada segmen. Pertama-tama akan ditunjukan bahwa
F z f z
(2)
adalah analitik di D, dengan menggunakan asumsi yang termuat dalam persamaan (21.1). Untuk menyelidiki keanalitikan dari F(z), kita tulis f(z) = u(x,y) + iv(x,y),
F(z) = U(x,y) + iV(x,y)
dan dari persamaan (2) diperoleh (3)
f z u x, y iv x, y ,
sehingga komponen dari F(z) dan f(z) dihubungkan oleh persamaan (4)
U(x,y) = u(x,t)
dan V(x,y) = -v(x,t),
dimana t = -y. Karena f(x + it) adalah suatu fungsi analitik dari x + it, turunan parsial orde pertama dari fungsi u(x,t) dan v(x,t) adalah kontinu diseluruh D dan memenuhi persamaan C-R (5)
ux = vt ,
ut = -vx.
Selanjutnya, dari persamaan (4),
U x ux ,
V y vt
dt vt ; dy
dan dari sini dan persamaan (5) bagian yang pertama bahwa Ux = Vy . Dengan cara serupa,
U y ut
dt u t , dy
V x v x ;
75
dan dari persamaan (5) yang kedua diperoleh bahwa Uy = -Vx . Sebab melalui turunan parsial orde pertama dari U(x,y) dan V(x,y) memenuhi persamaan C-R dan turunannya adalah kontinu, kita peroleh bahwa fungsi F(z) adalah analitik dalam D. Selanjutnya, karena f(x) adalah real pada segmen dari sumbu real yang terletak dalam D, v(x,0) = 0 pada segmen, dan dari persamaan (4), ini berarti bahwa F(x) = U(x,0) + iV(x,0) = u(x,0) - iv(x,0) = u(x,0) Jadi, (6)
F(z) = f(z)
Disetiap titik z = x pada segmen. Kita sekarang merujuk pada hasil yang termuat dalam Bab 6 (bagian. 58). Sebutlah, suatu fungsi bahwa analitik dalam domain D adalah tunggal yang ditentukan dengan nilai sepanjang setiap segmen garis yang terletak dalam D. Jadi persamaan (6) adalah benar untuk seluruh D. Sebab dari definisi (21.2) dari fungsi F(z), maka,
f z f z ;
(7)
adalah sama melalui persamaan (1). Untuk membuktikan sebaliknya dari teorema di atas, kita asumsikan bahwa persamaan (1) adalah benar, dan dari (3), (7) persamaan (1) dapat ditulis u(x , -y) - iv(x , -y) = u(x , y) + iv(x , y) Khususnya, jika (x,0) adalah titik pada segmen dari sumbu real yang terletak dalam D, u(x , 0) - iv(x ,0) = u(x ,0) + iv(x , 0) ; dan, dengan menyamakan bagian imajinernya, kita peroleh bahwa v(x , 0) = 0. Jadi f(x) adalah real pada segmen dari sumbu real yang terletak dalam D. Contoh. Dari pernyatan pada awal teorema di atas, kita catat bahwa z 1 z 1 dan z2 z
2
untuk setiap z dalam bidang hingga. Dari teorema di atas, diketahui bahwa ini
benar, dimana x + 1 dan x2 adalah real jika x adalah real. Kita juga mencatat bahwa z + i dan iz2 tidak memenuhi sifat refleksi pada seluruh bidang, dan kita ketahui bahwa x + i dan ix2 adalah bukan real jika x adalah real.
76
22. FUNGSI HARMONIK Suatu fungsi bernilai real H dari dua variabel real x dan y dikatakan harmonik dalam suatu domain yang diberikan dari bidang xy jika turunan parsialnya orde pertama dan kedua adalah kontinu dan memenuhi persamaan differensial parsial (1)
H xx x, y H yy x, y 0
persamaan (1) disebut persamaan Laplace Fungsi harmonik adalah sangat penting dalam aplikasi matematika. Sebagai contoh, fungsi temperatur T(x , y) dalam plat yang terletak dalam bidang xy adalah selalu harmonik. Suatu fungsi V(x,y) adalah harmonik jika menyatakan suatu potensial listrik yang berubahubah dengan x dan y dalam daerah ruang tiga dimensi adalah bebas. Contoh 1. Mudah untuk ditunjukkan bahwa fungsi T x, y e y sin x adalah harmonik pada setiap domain dari bidang xy dan khususnya, daerah 0 < x < , y > 0. Txx x, y T yy x, y 0
T 0, y 0 ,
T , y 0
T x,0 sin x ,
lim T x, y 0
y
y
T=0
0
Txx + Tyy = 0
T = sin x
T=0
x
Gambar 23 Teorema 1. Jika suatu fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) adalah analitik dalam domain D, maka fungsi komponen u dan v adalah harmonik dalam domain D.
77
Untuk membuktikan teorema ini kita membutuhkan suatu hasil bahwa, jika fungsi dari suatu variabel kompleks adalah analitik di suatu titik, maka komponen bagian real dan imajiner mempunyai turunan parsial yang kontinu pada sumua pasangan titik. Asumsikan bahwa f analitik dalam D, kita mulai menghitung turunan parsial orde pertama dari komponen fungsi harus memenuhi persamaan Cauchy-Riemann sepanjang D; (2)
ux = vy,
uy =- vx
Differensialkan kedua ruas persamaan (22.2) terhadap x, kita mempunyai (3)
uxx = vyx,
uyx =- vxx
Dengan cara serupa, differensialkan juga terhadap y dan diperoleh (4)
uxy = vyy,
uyy =- vxy
Sekarang, berdasarkan teorema dalam kalkulus lanjut, kekontinuan dari turunan parsial dari u dan v harus memenuhi uyx = uxy dan vxy = vyx. Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh bahwa uxx + uyy = 0 dan vxx + vyy = 0 Jadi u dan v harmonik dalam D. Contoh 2. Fungsi f(z) = e-ysin x – ie-y cos x adalah entire (latihan 1(c)). Juga fungsi temperatur T(x,y) = e-ysin x dalam contoh 1 harmonik dalam setiap domain dari bidang xy. Contoh 3. Fungsi g(z) = z2 = (x + iy)2 = x2 – y2 + i2xy adalah entire, juga perkalian fungsi f(z)g(z), dengan f(z) adalah sama pada contoh (2). Fungsi Re[f(z)g(z)] = e-y[(x2-y2) sin x + 2xycos x] juga harmonik sepanjang bidang xy. Jika diberikan fungsi u dan v harmonik dalam domain D dan turunan parsial orde pertama memenuhi persamaan Cauchy-Riemann (22.2) sepanjang D, v disebut harmonik conjugate dari u. Arti kata conjugate disini tidak sama dengan conjugate dalam bagian 3. Teorema 2. Suatu fungsi f(z) = u(x,y) +iv(x,y) adalah analitik dalam domain D jika dan hanya jika v merupakan harmonik conjugate dari u.
Contoh 4. Misalkan bahwa u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy.
78
Merupakan komponen bagian real dan imajiner fungsi entire f(z) = z2, kita tahu bahwa v adalah harmonik konjugate dari u seluruh bidang xy. Tetapi u bukan harmonik konjugate dari v, hal ini dapat diselidiki dalam latihan 2(b), fungsi 2xy + i(x2-y2) tidak analitik dimana-mana. Kita dapat menunjukkan dalam latihan 11(b) bahwa jika dua fungsi u dan v saling harmonik konjugate satu sama lain, maka kedua fungsi u dan v merupakan fungsi konstan. Jika v harmonik konjugate dari u dalam domain D, maka –u adalah harmonik konjugate dari v dalam D, dan sebaliknya. Perhatikan fungsi di bawah ini, f(z) = u(x,y) + iv(x,y),
-if(z) = v(x,y) - iu(x,y)
f(z) adalah analitik dalam D jika dan hanya jika –if(z) analitik dalam D. Contoh 5. Kita akan ilustrasikan bagaimana mencari suatu harmonik konjugate dari suatu fungsi harmonik yang diberikan. Fungsi u(x,y) = y3 – 3x2y
(5)
adalah harmonik sepanjang bidang xy. Akan dicari harmonik konjugate v(x,y). Turunan parsial u terhadap x adalah ux(x,y) = -6xy. dan ux = vy, sehingga diperoleh vy(x,y) = -6xy. Karena x tetap, kita integralkan kedua ruas persamaan di atas terhadap y, dan diperoleh v(x,y) = -3xy2 + (x),
(6)
dimana fungsi sembarang dari x. Karena uy = -vx harus dipenuhi, maka dari persamaan (5) dan (6) 3y2 – 3x2 = 3y2 + ’(x). Juga ’(x) = 3x2; dan ini berarti (x) = x3 + c , dimana c suatu bilangan real. Juga fungsi v(x,y) = x3 -3xy2 + c adalah harmonik konjugate dari u(x,y). Jadi fungsi analitik yang berkaitan adalah (7)
f(z) = (y3 – 3x2y) + i(x3 – 3xy2 + c).
79
Juga mudah ditunjukkan bahwa f(z) = i(z3 + c). Jika y = 0, persamaan (7) menjadi f(z) = i(x3 + c) Latihan 1. Gunakan teorema dalam bagian 18 untuk menyelidiki, apakah setiap fungsi di bawah ini adalah entire: (a). f(z) = 3x + y + i(3y – x)
(b). f(z) = sin x cosh y + icos x sinh y
(c). f(z) = e-ysin x- ie-ycos x
(d). f(z) = (z2 – 2)e-xe-iy
2. Dengan menggunakan teorema pada bagian 17, tunjukkan setiap fungsi berikut tidak analitik dimana-mana : b. f(z) = 2xy + i (x2 – y2)
a. f(z) = xy + iy
c. f(z) = eyeix
3. Keadaan bagaimana suatu komposisi dari dua fungsi entire adalah entire. Juga, keadaan bagaimana suatu kombinasi linear c1f1(z) + c2f2(z) dari dua fungsi entire, dimana c1 dan c2 konstanta kompleks adalah entire. 4. Dalam setiap kasus, tentukan titik singular setiap fungsi berikut dan pada saat kapan fungsi tersebut analitik dimana-mana kecuali dititik singularnya. a. f z
2z 1 z z2 1
b. f z
z3 i z 2 3z 2
c. f z
z2 1 z 2 z 2 2 z 2
5. Berdasarkan latihan 4(b) bagian 19, fungsi g z r e 2 , r>0, adalah i
analitik dalam daerah definisinya, dengan turunan g ' z
1 . Tunjukkan bahwa 2 g z
komposisi fungsi g(2z-2+i) adalah analitik dalam bidang x>1, dengan turunan
1 . g 2 z 2 i 6. Gunakan hasil dalam bagian 19 untuk menyelidiki bahwa fungsi g(z) = ln r + i , r>0, 0<<2 adalah analitik dalam daerah definisinya, dengan turunan g ' z
80
1 . Maka z
tunjukkan bahwa komposisi fungsi g(z2+1) adalah fungsi analitik dari z dalam kuadran x>0, y>0, dengan turunan
2z . z 1 2
7. Misalkan fungsi f(z) analitik dalam domain D. Buktikan bahwa f(z) harus konstan dalam D jika a. f(z) adalah bernilai real untuk semua z dalam D. b.
f z adalah analitik dalam D
c.
f z adalah konstan dalam D
81
