BAB 7 TEORI HIMPUNAN FUZZY
Himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah generalisasi konsep himpunan ordiner. Untuk semesta wacana (universe of discourse) U, himpunan fuzzy ditentukan oleh fungsi keanggotaan yang memetakan anggota u ke rentang keanggotaan dalam interval [0,1]. (untuk himpunan ordiner fungsi keanggotaan bernilai diskret 0 dan 1) 7.1 Notasi Fuzzy Himpunan Fuzzy Misal U merupakan kumpulan objek yang dinotasikan dengan {u}. U disebut semesta dan u menyatakan elemen generik dari U. Suatu himpunan fuzzy F di dalam semesta wacana U (Gambar 7.1) dikarakteristikkan dengan fungsi keanggotaan µF yang bemilai dalam interval [0,11] atau: µF [0.1]
Himpunan fuzzy F di dalam U disajikan sebagai pasangan berurutan elemen u dan nilai derajat keanggotaan. F = { (u, µF (u))I u € U } Bila U kontinyu, himpunan fuzzy F dapat ditulis F = ∫u µF (u) /u Bila U diskret, himpunan fuzzy F dinyatakan sebagai F = ∑ µF (ui)/ui atau
F = µF (u1)/u1 + µF (u2)/U2 + ………….. + µF (ui/ui + ……….+ µF (uN)/uN : menyatakan uni himpunan, dan bukan penjumlahan aritmatika. : menyatakan hubungan suatu elemen dan nilai keanggotaannya dan bukan pembagian aritmatika.
Himpunan Pendukung, Titik Persilangan dan Fuzzy Singleton Himpunan pendukung (support set) dan himpunan fuzzy F adalah himpunan tegas dari semua titik u di dalam U sedemikian sehingga µF (u) > 0. Elemen u di dalam U yang mana µF Universitas Gadjah Mada
1
(u) = 0,5 disebut titik persilangan (crossover point). Suatu himpunan fuzzy yang pendukungnya merupakan satu titik di dalam U disebut fuzzy singleton. Himpunan Terpotong α Himpunan terpotong α (α -cut-set) dari himpunan fuzzy F disebut Fα, adalah himpunan tegas (crisp) dan semua titik u di dalam U sedemikian sehingga µF (u) ≥ α. Terlihat bahwa himpunan terpotong α membuang titik yang nilai keanggotaannya Iebih rendah dari α. 7.2 Fungsi Keanggotaan Ada dua cara mendefinisikan keanggotaan himpunan fuzzy: 1. Secaranumeris Menyatakan derajat fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy sebagai vektor bilangan yang dimensinya tergantung pada level diskretisasi (cacah elemen diskret di dalam semesta) 2. Secara fungsional Menyatakan fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy dalam ekspresi analitis yang memungkinkan derajat keanggotaan setiap elemen dapat dihitung di dalam semesta wacana yang didefinisikan. Fungsi keanggotaan yang sering digunakan dalam praktek adalah: a. Fungsi S Fungsi ini berbentuk huruf S (Gambar 7.2). dan ditentukan oleh nilai parameter a, b, dan c. Fungsi S didefinisikan sebagai berikut:
Titik persilangan 0,5 terjadi pada b = (a + c) / 2
b. Fungsi π Fungsi ini berbentuk bel dan mempunyai dua parameter yaitu b dan c (Gambar 7.3). Parameter c menentukan titik tengah dan parameter b menentukan lebar bidang pada titik persilangan. Titik persilangan terdapat pada: u = c ± b/2 Definisi fungsi π adalah sebagai berikut: Universitas Gadjah Mada
2
c. Fungsi Segitiga (Triangular) Fungsi ini berbentuk segitiga (Gambar 7.4) dengan parameter a, b, dan c. Fungsi segitiga didefinisikan sebagai berikut:
Gambar 7.4 Fungsi keanggotaan segitiga 7.3 Operasi Himpunan Fuzzy Operasi dilakukan dengan manipulasi fungsi keanggotaan. Misalkan A dan B adalah dua himpunan fuzzy bernilai titik di dalam O dendan fungsi keanggotaan µA dan Maka µF operasi himpunan fuzzy berikut didefinisikan: Ekualitas Dua himpunan fuzzy A dan B adalah sama bila dideflnisikan pada semesta yang sama dan fungsi keanggotaannya sama. µA (u) = µF (u) untuk semua u € U
Universitas Gadjah Mada
3
Uni Uni dan dua himpunan fuzzy A dan B dengan fungsi keanggotaan µA (u) dan µF (u) adalah himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan µAµF(u) dan diberikan oleh µAµF(u) = max { µA (u), µF (u)} untuk semua u € U Interseksi Interseksi dua himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy yang fungsi keanggotaannya diberikan oleh µAµF(u) = min { µA (u), µF (u)} untuk semua u € U Komplemen Komplemen dari suatu himpunan fuzzy A yang ternormalisasi dengan fungsi keanggotaan µA (u) didefinisikan sebagai himpunan fuzzy pada semesta yang sama dengan fungsi keanggotaan: µA (u) = - µA (u) untuk semua u € U Catatan Definisi interseksi dan komplemen berlaku juga untuk himpunan tegas, sedangkan untuk kasus fuzzy: -
Bila A dan A’ adalah komplemen, maka interseksinya tidak harus himpunan kosong. Semakin himpunan mendekati tegas maka interseksinya mendekati kosong.
-
Bila A dan A’ adalah komplemen maka uninya tidak harus sama dengan semesta.. Semakin himpunan mendekati tegas maka uninya mendekati semesta Kendala interseksi adalah:
Kendala untuk uni adalah:
Normalisasi Proses ini merupakan penyekalaan ulang fungsi keanggotaan sehingga nilai maksimumnya adalah satu.
Konsentrasi Konsentrasi digunakan untuk menonjolkan keanggotaan dan elemen yang mempunyai keanggotaan lebih tinggi. Hal ini dilakukan dengan mengkuadratkan fungsi keanggotaan yang ternormalisasi.
Bila operasi ini dilakukan pada himpunan tegas maka hasilnya tidak berubah.
Universitas Gadjah Mada
4
Dilasi Dilasi digunakan untuk memperbesar pentingnya elemen keanggotaan yang lebih rendah.
Operasi dilasi untuk himpunan tegas tidak menghasilkan perubahan.
Intensifikasi Operasi ini membawa himpunan fuzzy yang ternormalisasi mendekati tegas dengan meningkatkan nilai keanggotaan elemen yang mempunyai keanggotaan di atas 0,5 dan mengurangi keanggotaan elemen yang mempunyai keanggotaan di bawah 0,5. Operasi ini sesuai dengan peningkatan kontras.
Produk Aijabar Produk aljabar (algebraic product) dan dua himpunan fuzzy A dan B dengan fungsi keanggotaan
μ A (u) dan μ B (u) adalah himpunan fuzzy yang mempunyai fungsi
keanggotaan:
Penjumlahan Terbatas Penjumlahan terbatas (bounded sum) dua himpunan fuzzy A dan B dengan fungsi keanggotaan p.A (u) dan jin (u) adalah himpunan fuzzy dengan fiingsi keanggotaan: = mm {1,iA(u) + !1n(u)} untuk semua u CU dengan ‘+‘ adalah operator penjumlahan arimatika. Produk Terbatas Produk terbatas (bounded product) dan dua himpunan fuzzy A dan B dengan fiingsi keanggotaan μ A (u) dan μ B (u) adalah himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan: untuk semua u ЄU dengan ‘+‘ adalah operator penjumlahan arimatika. Produk Terbatas Produk terbatas (bounded product) dan dua himpunan fuzzy A dan B dengan fungsi keanggotaan μ A (u) dan μ B (u) adalah himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan: untuk semua u ЄU dengan ‘+‘ adalah operator penjumlahan arimatika. Universitas Gadjah Mada
5
Produk Drastis Produk drastik (drastic product) dari dua himpunan fuzzy A dan B dengan fungsi keanggotaan μ A (u) dan μ B (u) adalah himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan:
Produk Cartesian Misal A dan B adalah himpunan fuzzy di himpunan fuzzy di X dan Y. Produk Cartesian (Cartesian Product) dan A dan B yang dinyatakan dengan A x B adalah himpunan fuzzy dalam ruang produk X x Y dengan fungsi keanggotaan:
dengan A x B dikarakteristikkan oleh fungsi keanggotaan 2 dimensi. Cartesian Co-Prod tact Cartesian co-product A + B adalah himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan:
dengan A + B dikarakteristikkan oleh fungsi keanggotaan dua dimensi.
Universitas Gadjah Mada
6
