BAB 2 LANDASAN TEORI

8

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Belajar Belajar adalah key term, ‘istilah kunci’ yang paling vital dalam setiap usaha pendidikan, sehingga tanpa belajar yang sesungguhnya tak pernah ada pendidikan. Sebagai suatu proses,, belajar selau mendapat tempat yang luas dalam berbagai displin ilmu yang berkaitan dengan upaya pendidikan, misalnya psikologi pendidikan dan psikologi belajar. Karena demikian pentingnya arti belajar, maka bagian terbesar upaya riset dan eksperimen psikologi belajar pun diarahkan pada tercapainya pemahaman yang lebih luas dan mendalam mengenai proses perubahan manusia itu.(Muhibbin Syah,hal 59) Pendapat tentang pengertian belajar ada bermacam-macam. Pendapat tersebut lahir berdasarkan sudut pandang yang berbeda-beda. Menurut Slameto (2003:2) belajar adalah suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan sebagai hasil pengalamanya sendiri dalam interaksi dengan lingkunganya. Menurut Cronbach dalam Djamarah (2002:13) belajar sebagai usaha aktifitas yang ditunjukan oleh perubahan tingkah laku sebagai hasil dari pengalaman. Menurut Djamarah (2002:13) belajar juga dapat diartikan sebagai suatu kegiatan yang dilakukan dengan melibatkan dua unsur yaitu jiwa dan raga. Gerak raga yang ditunjukan harus sejalan dengan proses jiwa untuk mendapatkan perubahan.Tentu saja perubahan yang didapatkan itu bukan perubahan fisik, tetapi perubahan jiwa dengan sebab masuknya kesan-kesan yang baru. Perubahan sebagai hasil dari proses belajar adalah perubahan yang mempengaruhi tingkah laku seseorang.

Universitas Sumatera Utara

9

Belajar adalah kegiatan yang berproses dan merupakan unsur yang sangat fundamental dalam penyelenggaraan setiap jenis dan jenjang pendidikan. Ini berarti bahwa berhasul atau gagalnyapencapaian tujuan pendidikan itu amat bergantung pada proses belajar yang dialami siswa baik ketika ia berada di sekolah maupun di lingkungan rumah atau keluarganya. .(Muhibbin Syah,hal 63)

2.2 Prinsip-Prinsip Belajar Proses belajar adalah suatu hal yang kompleks, tetapi dapat juga dianalisa dan diperinci dalam bentuk prinsip-prinsip atau asas-asas belajar. Hal ini perlu kita ketahui agar kita memiliki pedoman dan tekhnik belajar yang baik. Prinsip-prinsip itu adalah : 1. Belajar harus bertujuan dan terarah. Tujuan akan menuntutnya dalam belajar untuk mencapai harapan-harapan. 2. Belajar memerlukan bimbingan, baik dari bimbingan guru maupun buku pelajaran itu sendiri. 3. Belajar memerlukan pemahaman atas hal-hal yang dipelajari sehingga diperoleh pengertian-pengertian. 4. Belajar memerlukan latihan dan ulangan agar apa-apa yang telah dipelajari dapat dikuasainya. 5. Belajar adalah suatu proses aktif dimana terjadi saling pengaruh secara dinamis antara murid dengan lingkungannya. 6. Belajar harus disertai keinginan dan kemauan yang kuat untuk mencapai tujuan. 7. Belajar dikatakan berhasil apabila telah sanggup menerapkan kedalam bidang praktek sehari-hari. (Zainal Aqib 2002, hal 44-45)


10

2.3 Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Belajar Menurut Slameto (2003:54) faktor-faktor yang mempengaruhi belajar siswa dapat digolongkan kedalam dua golongan yaitu faktor intern yang bersumber pada diri siswa dan faktor ekstern yang bersumber dari luar diri siswa. Faktor intern terdiri dari motivasi, perhatian , senang terhadap suatu materi, kemampuan dalam mengolah materi yang diberikan. Sedangkan faktor ekstern terdiri dari lingkungan keluarga, lingkungan sekolah, dan lingkungan masyarakat. Faktor-faktor yang mempengaruhi belajar siswa

terhadap pelajaran

matematika sehingga siswa bisa meningkatkan mutu belajarnya adalah: 1. Kesenangan terhadap pelajaran matematika Adapun makna dari

kesenangan terhadap pelajaran matematika bahwa

perasaan suka terhadap materi-materi yang terdapat dalam pelajaran matematika.

Disini

siswa

lebih

cendrung

menyukai

berhitung

dan

mengoperasikan angka-angka yang bersangkutan dengan rumus-rumus yang berlaku. Seseorang yang tidak menyukai pelajaran matematika tentu akan merasa tidak nyaman untuk memahami pelajaran tersebut. Dalam hal ini tentunya belajarpun tidak akan menjadi efektif. 2. Metode pembelajaran yang memuaskan dan menyenangkan Metode pembelajaran yang memuaskan dan menyenangkan mengandung arti bahwa metode yang dibawakan oleh guru dapat menyenangkan siswa dan bisa menarik siswa sehingga siswa bisa menangkap pelajaran yang diberikan oleh guru dengan mudah. Metode yang baik dan menyenangkan merupakan faktor yang cukup penting bagi pelajaran siswa. Diharapkan siswa bisa belajar lebih giat dan tidak mudah bosan.


11

3. Keprihatinan dan motivasi dari orang-orang sekitar yang baik Keprihatinan dan motivasi orang-orang sekitar mengandung arti bahwa keprihatinan orang-orang di sekitar

dan sebagai motivator siswa baik

guru,orang tua, maupun teman dekat. Guru sebagai pengajar tentunya bisa memperhatikan siswa apalagi yang sangat sulit belajar matematika sehingga siswa selalu merasa terus berubah untuk belajar matematika dengan lebih baik dan mendorong siswa untuk tidak mudah putus asa atas hasil ulangan yang diperoleh. Orang tua diharapkan bisa mengontrol anaknya agar bisa belajar di rumah saat waktunya belajar. Siswa diharapkan bisa berteman dengan temanteman yang senang dan giat belajar matematika sehingga itu akan berdampak dan berpengaruh terhadap siswa lain. 4. Fasilitas sekolah yang nyaman Fasilitas sekolah yang nyaman mengandung arti bahwa sekolah tersebut hendaknya mempunyai peralatan termasuk alat peraga matematika dan tentunya juga memiliki ventilasi udara yang baik, dan kondisi kelas yang nyaman dan jauh dari keributan. 5. Keadaan ekonomi yang cukup Keadaan ekonomi yang cukup mengandung arti bahwa suatu keluarga sudah bisa mencukupi kebutuhan pokok, sekunder dan biaya sekolah siswa. 6. Hubungan keluarga yang harmonis Hubungan keluarga yang harmonis mengandung arti bahwa hubungan antara tiap personel dalam keluarga tersebut tidak sedang mengalami persengketaan, dendam antara satu dengan yang lainnya. 7. Kesehatan jasmani Siswa hendaknya memenuhi sarapan pagi sebelum berangkat ke sekolah. Karena dengan demikian berpengaruh terhadap daya tahan tubuh saat siswa nanti belajar di sekolah.


12

8. Kemampuan siswa yang baik Siswa mempunyai potensi dan kecakapan dasar dimana siswa tersebut terhadap

pelajaran

matematika

lebih

menyukai

memahami

daripada

menghafal. 2.4 Mata Pelajaran Matematika Menurut bahasa latin Matematika berasal dari kata “manthanein atau mathema yang berarti belajar atau hal yang dipelajari”. Sedangkan menurut bahasa Belanda disebut “wiskunde atau ilmu pasti”.Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen. Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini. Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.


13

2.5

Analisis Komponen Utama Secara teknisi, analisis komponen utama merupakan teknik untuk mereduksi

data multivariat yang mengubah suatu matriks data asli menjadi suatu set kombinasi linear yang lebih sedikit tetapi menyerap sebagian besar jumlah varian dari data awal. Analisis komponen utama merupakan suatu tehnik statistik untuk mengubah dari sebagian besar variabel asli yang digunakan yang saling berkorelasi satu dengan yang lainnya menjadi satu set variabel baru yang lebih kecil dan saling bebas (tidak berkorelasi lagi). Jadi analisis komponen utama berguna untuk mereduksi data, sehingga lebih mudah untuk menginterpretasikan data-data tersebut .

Sifat komponen utama:  Komponen utama yang dihasilkan saling orthogonal, saling bebas (artinya koefisien-koefisiennya bersifat orthogonal dan skor komponennya tidak berkorelasi.  Sebagian

besar

keragaman

cenderung

berkumpul

pada

komponen

utamapertama dan sedikit keragaman dari peubah asal terkumpul pada komponen utama urutan terakhir. Analisis Komponen Utama biasanya digunakan untuk : 1.

Identifikasi peubah baru yang mendasari data peubah ganda.

2.

Mengurangi banyaknya dimensi himpunan peubah yang biasanya terdiri atas peubah yang banyak dan saling berkorelasi dengan mempertahankan sebanyak mungkin keragaman dalam himpunan data tersebut, dan

3.

Menghilangkan peubah-peubah asal yang mempunyai sumbangan informasi yang relatif kecil.

Analisis komponen utama merupakan analisis antara dari suatu proses penelitian yang besar atau suatu awalan dari analisis berikutnya, bukan merupakan


14

suatu analisis yang langsung berakhir. Misalnya komponen utama bisa merupakan masukan untuk regresi berganda atau analisis gerombol.

Secara aljabar linier komponen utama adalah kombinasi linier-kombinasi linier tertentu dari p peubah acak x1, x2 ,x3 ,…xp. Secara geometris kombinasi linier ini merupakan sistem koordinat baru yang didapat dari rotasi sistem semula dengan x1 ,x2,…,xp sebagai sumbu koordinat. Sumbu baru tersebut merupakan arah dengan variabilitas maksimum dan memberikan kovariansi yang lebih sederhana.

Komponen utama tergantung kepada matrik ragam peragam  dan matrik korelasi  dari x1,x2,…,xp, dimana pada analisisnya tidak memerlukan asumsi populasi harus berdistribusi Normal Multivariate. Apabila komponen utama diturunkan dari populasi Normal Multivariate interpretasi dan inferensi dapat dibuat dari komponen sampel. Melalui matrik ragam peragam bisa diturunkan akar ciri-akar cirinya yaitu 1  2  ….  p  0 dan vektor ciri-vektor cirinya yaitu 1,2,….,p.

Menyusutkan dimensi peubah asal X dapat dilakukan dengan membentuk peubah baru Y= 11 + 22 +….+ pp atau Y = ’p dimana  adalah matrik transformasi yang mengubah peubah asal X menjadi peubah baru Y yang disebut komponen utama, karena itu sering disebut vektor pembobot. Syarat untuk membentuk komponen utama yang merupakan kombinasi linier dari peubah X agar mempunyai keragaman yang besar adalah dengan memilih ’= (1 2 … p) sedemikian hingga Var (Y) = ’ maksimum dan ’ =1 Persoalan ini dapat diselesaikan dengan Pengganda Lagrange (Lagrange Multiplier) dimana:

f  ,     '      '  1 Fungsi ini mencapai maksimum jika turunan parsial pertama f(,) terhadap  dan  sama dengan nol.


15

 f  ,    0  2    2   0  f  ,    0   '  1  0  Jika persamaan di atas digandakan dengan vektor ’ maka:

2'   2'  0   ' 

 var  ' X   var  Y 

Dalam hal ini  harus sebesar mungkin karena  = Var (Y) sendiri diusahakan maksimum, sehingga  yang diambil dari akar ciri maksimum dari . Selanjutnya  ditentukan dari persamaan ( - I)  = 0 Secara umum komponen utama ke-i adalah kombinasi linier terbobot peubah asal yang mampu menerangkan meragaman data ke-i, bisa ditulis sebagai berikut: Yi = i11 + i22 + … + ipp VAR (Yi) = I , i = 1, 2,…, p Dari persamaan diatas diketahui ’i-1I = 0, maka Cov (Yi-1-Yi) = 0. Ini menunjukkan bahwa komponen utama tidak saling berkorelasi dan komponen utama ke-i memiliki keragaman sama dengan akar ciri ke-i. Oleh karena itu keragaman total yang mampu diterangkan setiap komponen utama adalah proporsi antara akar ciri komponen tersebut terhadap jumlah akar ciri atau teras (trace) matrik . Matrik ragam peragam  yang digunakan dalam masalah ini jika peubah yang diamati ukurannya pada skala dengan perbedaan tidak besar atau jika satuan ukurannya sama. Bila peubah yang diamati ukurannya pada skala dengan perbedaan yang sangat lebar atau satuan ukurannya tidak sama, maka peubah tersebut perlu dibakukan (standardized) sehingga komponen utama ditentukan dari peubah baku. Peubah baku (Z) didapat dari transformasi terhadap peubah asal dalam matrik berikut:

 

Z V

1

2

1

 X  


16

V1/2 adalah matrik simpangan baku dengan unsur diagonal utama adalah (ii)1/2 sedangkan unsur lainnya adalah nol. Nilai harapan E(Z) = 0 dan keragamannya adalah Cov (Z) = (V1/2)-1  (V1/2)-1 =  Dengan demikian komponen utama dari Z dapat ditentukan dari vektor ciri yang didapat melalui matrik korelasi peubah asal . Untuk mencari akar ciri dan menentukan vektor pembobotnya sama seperti pada matrik . Sementara teras matrik korelasi  akan sama dengan jumlah p peubah yang dipakai.

Penyusutan dimensi asal dengan cara mengambil sejumlah kecil komponen yang mampu menerangkan bagian terbesar keragaman data. Apabila komponen utama yang diambil sebanyak q buah, dimana q < p, maka proporsi keragaman yang bisa diterangkan adalah: (1 + 2 +… + q ) / i i = 1,2,…,p Sehingga nilai proporsi dari varian total populasi dapat diterangkan oleh komponen pertama, kedua atau sampai sejumlah q komponen utama secara bersamasama adalah semaksimal mungkin. Tidak ada ketetapan berapa besar proporsi keragaman data yang dianggap cukup mewakili keragaman total. Meskipun jumlah komponen utama berkurang dari peubah asal tetapi ini merupakan gabungan dari peubah-peubah asal sehingga informasi yang diberikan tidak berubah. Pemilihan komponen utama yang digunakan didasarkan pada akar ciri yang nilainya lebih besar dari 1 (i > 1). Idealnya, banyaknya komponen utama yang secara kumulatif telah dapat menerangkan sekitar 60 persen atau lebih variasi dalam data, khususnya untuk data sosial. Berikutnya kita melakukan penghitungan matrik korelasi dimana digunakan untuk melihat keeratan hubungan antara peubah yang satu dengan peubah yang lainnya, untuk itu dapat dilakukan dua cara yaitu:


17



Uji Bartlett Uji ini digunakan untuk melihat apakah matrik korelasi bukan merupakan matrik identitas. Dipakai bila sebagian besar dari koefisien korelasi kurang dari 0,5. Langkah-langkahnya adalah: 1. Hipotesis Ho : Matrik korelasi merupakan matrik identitas H1 : Matrik korelasi bukan merupakan matrik identitas 2. Statistik uji

2 p  5 ln R   2   N  1  6   N = Jumlah observasi

p = Jumlah peubah

R = Determinan dari matrik korelasi 3. Keputusan Uji Bartlett akan menolak H0 jika nilai

 2 o b s   2  , p  p  1 / 2 

Uji Kaiser Mayer Olkin (KMO) Uji ini digunakan untuk mengetahui apakah metode sampling yang digunakan

memenuhi syarat atau tidak. Uji KMO juga digunakan dalam analisis faktor dimana untuk mengetahui apakah data tersebut dapat dianalisis lebih lanjut atau tidak dengan analisis faktor. Rumusan uji KMO adalah:

r KMO 

i

j

2

ij

j

i

r

2

ij

   a 2 ij i

; i = 1,2,…,p ; j = 1,2,…,p

j

Dimana: rij = Koefisisen korelasi sederhana antara peubah i dan j aij = Koefisien korelasi parsial antara peubah i dan j Penilaian uji KMO dari matrik antar peubah adalah sebagai berikut: a. 0,9 < KMO  1,00  data sangat baik untuk analisis faktor b. 0,8 < KMO  0,9  data baik untuk analisis faktor


18

c. 0,7 < KMO  0,8  data agak baik untuk analisis faktor d. 0,6 < KMO  0,7  data lebih dari cukup untuk analisis faktor e. 0,5 < KMO  0,6  data cukup untuk analisis faktor f. KMO  0,5

2.6

 data tidak layak untuk analisis faktor

Matriks

2.6.1 Pengertian Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka, sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda "  " atau "  " . Sebuah

matriks

dinotasikan

dengan

simbol

huruf

besar

seperti Amn , X , atau Z dan sebagainya. Sebuah matriks A yang berukuran m baris dan kolom dapat dituliskan sebagai berikut :

Am n

a1n  a2 n    amn 

 a11 a12 a a22 21     am1 am 2

Atau dapat juga ditulis : A  a ij  ; i  1,2,  , m; j  1,2,  , n

Contoh :

a A23   11 a 21

a12 a 22

a13  a 23 

Disebut matriks A dengan 2 baris dan 3 tiga kolom. Jika A sebuah matriks, maka gunakan a ij untuk menyatakan elemen yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A. dalam contoh ini i = 1,2 dan j = 1,2,3 atau dapat ditulis


19

A  a ij ; i  1,2 ; j  1,2,3

2.6.2 Operasi Matriks Perkalian skalar Defenisi : Jika A  a ij  adalah matriks m x n dan r adalah suatu skalar, maka hasil kali A dari r adalah B  bij  matriks m x n dengan bij  ra ij 1  i  m,1  j  n  . Contoh : 2 7 A  dengan diberikan r = 4 maka 9 3  2 7   8 28 4A     9 3 36 12  Perkalian Matriks Defenisi : Jika A  a ij  adalah matriks m x p dan B  bij  adalah matriks p x n maka hasil kali dari matriks A dan B yang ditulis dengan AB adalah C matriks m x n. secara matematik dapat ditulis sebagai berikut :

C ij  ai1b1 j  ai 2 b2 j    ai1b1 j  k 1 aik bkj p


20

Penjumlahan Matriks

 

Jika A  a ij

 

adalah matriks m x p dan B  bij

adalah matriks p x n maka

penjumlahan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan

  

C  cij  aij  bij



Pengurangan Matriks

 

Jika A  aij

 

adalah matriks m x p dan B  bij

adalah matriks p x n maka

 

pengurangan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan C  cij dimana cij  a ij  bij i  1,2,  , m; j  1,2,  , n 

Teorema

 

Jika A  aij adalah matriks n x n yang mengandung sebaris bilangan nol, maka

A  0. Contoh :

A33

 1 2 3  2 1 4  A  0 0 0 0

Matriks segitiga

 

Matriks A  a ij suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga bawah jika

 

a ij  0 untuk i < j dan matriks A  aij matriks bujur sangkar dikatakan segitiga atas

jika a ij  0 untuk i > j.


21

Contoh : 5  1 Segitiga bawah A   3  2

0 2 1 1

0 0 3 4

0  1  0 0 , segitiga atas B   0 0   1 0

2 1 0 0

4 1 3  1 2 5  0 5

Teorema

Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka A adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, yakni A = a11 a 22  a nn Contoh :

A44

2 7  3 0  3 7  0 0 6  0 0 0

8 5  , A  2  361  36 7  1

Teorema : Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka A  A t Teorema : Jika A dan B adalah matriks kuadrat, maka AB  A B

3 1  1 3 2 17  Contoh : A22   , B22   , AB22     , 2 1  5 8 3 14 A B  1 23  23, AB  23 Sehingga det (AB) = det (A) det (B)


22

2.7 Eigenvalue dan Eigenvektor Defenisi Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol X di dalam R n dinamakan eigenvektor dari A jika AX adalah kelipatan skalar dari X yakni, AX =  X Untuk suatu skalar  , skalar  dinamakan eigenvalue dari A dan X dikatakan eigenvektor yang bersesuaian dengan  . Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n :

Ann

I nn

 a11 a   21    a m1

a12 a 22 am2

a1n  a 2 n  ,   a nn 

1 0  0 0 1  0         0 0  1 

 X1  X  2 X        X n  AX  X , X  0 AX  IX

IX  X  0 I  AX  0 X  0  I  A  0


23

Untuk memperoleh nilai 

I  A  0 a1n    a11        0   a n1    a nn  f    a 0 n  a1n 1    a n 1  a n  0

n buah akar 1 ,  2 ,  ,  n Jika untuk setiap  n disubsitusikan ke persamaan I  AX  0 , maka solusi dari eigenvektor X n adalah  n I  AX n  0 . Defenisi

 

Misalkan A  a ij , matriks n x n. determinan

  f    det  I n  A      

 a 11 a 21  a n1

a 12   a 22

 

a n2

 

       a nn  a1n a 2n

Dikatakan karakteristik polinom dari A, persamaan f    det I n  A  0 Dikatakan persamaan karakteristik dari A.

2.8 Matriks Korelasi Matriks korelasi adalah matriks yang di dalamnya terdapat korelasi-korelasi. Andaikan X adalah matriks data, x adalah matriks rata-rata dan S adalah matriks varians kovarians.


24

Dengan demikian x i 

xi1  xi 2    xin 

 y1 '   x1   n   x11    y2 '   x 2    1  x 21    x     n  n         x p1  x p   y p '   n  x

x12 x 22  x12

n



yi '

n

 x1n  1  x 2 n  1          x pn  1

1 X 1 ....................................................1.1 n

x dihitung dari matriks data yang dikalikan dengan vector 1 dan konstanta

1 . n

Selanjutnya persamaan (1.1) dikalikan dengan vector 1’, sehingga dihasilkan matriks

x1'  x1  x 1 x1'  X 11'    n    x p

x1 x2  xp

 x1    x2  ..........................................(1.2)      x p 

Kurangkan matriks X dengan persamaan matriks (1.2) yang menghasilkan matriks deviasi p x n dinotasikan dengan D  x11  x1  x  x2 1 D  X  X 11'   21   n   x p1  x p

x12  x1 x 22  x 2  x p2  x p

 x1n  x 1    x2n  x 2  .............(1.3)      x pn  x p 

Matriks (n-1)S adalah perkalian silang antara matriks (1.3) dengan matriks transposnya


25

 x11  x 1  x x n  1S   21 2    x p1  x P

 x1n  x 1   x11  x1    x 2 n  x 2   x12  x 2 .         x pn  x p   x1n  x1 1 1     1    X  X 11'  X  X 11' '  X 1  X 11'  X ' n n     n  x12  x1 x 22  x 2  x p2  x P

 x p1  x p    x p2  x p  .      x pn  x p 

x 21  x 2 x 22  x 2  x2n  x 2

Karena 1 1 1 1  1  1  1  X 11' 1  X 11' '  1  11' 11' 2 11'11'  1  11' n n n n  n  n 

Sehingga didapat

S

1  1  X 1  X 11' ' X '......................(1.4) n 1  n 

Persamaan (1.4) menunjukkan dengan jelas hubungan operasi perkalian matriks data X dengan dan transpos matriks data. Jika S telah diketahui dari persamaan (1.4), maka S dapat dihubungkan ke matriks korelasi R dengan cara : 1. Menghitung matriks S S ik 





1 n  xir  x i xkr  x k n  1 r 1

  x  x  x  x



     x x  x   x x  x   x x  x   x x  x   x  x 

S 11  x 1  x 1 x 1  x 1  x 1  x 1 S 12 S1p S2p S

pp

1

1 1 2

p

p

2

p

p

p

p

p

2

p





2  x1  x1  S  x x x x 1 p p  1



2

2

1

2



x

1

 x

p

p



 x1 x2  x 2







 



2



 x2 xp  x p

x

1





 x1 x p  x p     2  xp  x p 






26

 s11  S   s1 p 

 s1 p       s pp 

s12  s2 p

2. Menghitung matriks deviasi yang isinya adalah standar deviasi, dengan asumsi i  k dihasilkan covi, k   0 sehingga dapat ditulis kedalam bentuk matriks

sebagai berikut :

1

D p2 p 

     

s11 0  0

0 s 22  0

0   0     s pp 

   

  12  3. Menghitung invers dari maatriks deviasi dengan cara  D   

1 2  p p 

D

         

1

0

s11



1

0 

s 22 

0

0

  

1

D



1 2

 0   0     1  s pp  

1

Maka dapat dihasilkan matriks dengan korelasi dengan rumus R  D 2 SD     R     

1 s11 0

0 1



s 22 

0

0

 s11   s11 s11  R    s1 p   s11 s pp

   

s12 s11 s 22  s2 p s11 s 22

 0   0     1  s pp 

 s11     s1 p 



 

s12  s2 p

 s1 p       s pp 

s1 p s11 s pp  s pp s pp s pp

   1        r1 p  

         

1 s11

0



1 s22 

0

0

0

   



1 2

 0   0      1  s pp 

r12  r1 p       r2 p  1 


27

Dengan n  x  xi rik    ir  S r 1  ii

 x kr  x k   S kk 

   

Untuk i  k menghasilkan r  1







 x  x 1  x1  x1  x1  x 1 x1  x1  = r11   1 1  S  S  s s 11 11 11 11   

 xp  x p p r11    S pp 

 x p  x p   S pp 





 x  x p p xp  x p  = p  s pp s pp 



1

Dan untuk i  k



















 x  x1  x 2  x 2  r12   1  S  S 22 11  

  = x1  x 1 x 2  x 2  s11 s 22 

 x  x 1  x p  x p  r1 p   1  S  S pp 11  

  = x1  x 1 x p  x p  s11 s pp 

 x  x2 r2 p   2  S 22 

 x p  x p   S pp 

  = x2  x 2 x p  x p  s 22 s pp 


BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents