Cakrawala Pendldlkan Nomor 2, Tahun XU, Juni 1993
111
APLIKASI PERSAMAAN D1FERENSIAL DALAM EKONOMI
Oleh Muhammad Fauzan, Sugiman dan Sahid Abstralc Persamaan diterensial merupakan bagian dari Matematika yang termasuk dalam cabang Matematika Terapan. Sebagai suatu ilmu, Persamaan Dilerensial mempunyai irnplikasi yang cukup banyak untuk bidang ilmu lainnya, di antaraoya Fisika, Biologi, Elektro, dan Ekonomi. Dalam bidang Ekonomi, Persamaan Diferensial dapat digunakan untuk menentukan harga kesetimba!:gan. Ini dapat diJakukan dengan terlebih dahulu membenA.\tk model matematika dari permasalahan yang <\da y~mg menyangkut: penawaran, permintaan, harga dan persediaan barang. Selanjutnya, dengan menyelesaikan model matematika yang telah disusun, diperoleh ha17ga kesetimbang:annya.
Pendahuluan Dalam aplikasi Matematika pada bidang lainnya, seperti Fisika, Biologi, Elektro, dan Ekonomi selalu berkaitan dengan Persamaan Diferensial. Untuk bidang Ekonomi, Persamaan Diferensial dapat digunakan untuk menurunkan kesetimbangan ·harga penawaran dan permintaan. Langkah awal yang dilakukan adalah membentuk suatu model matematika dari masalah-masalah ekonomi yang ada. Berbeda dengan pemodelan fisika yang diatur oleh hukum-hukum alam yang ketat, pemodelan ekonomi diatur oleh hanya hukum-hukum ekonomi yang sederhana dan tidak banyak jumlahnya. Dapat juga dikatakan bahwa hukum-hukum ekonomi yang mengatur fenomena-fenomena ekonomi umumnya tidak atau belum diketahui. Situasi ini justru memudahkan para matematisi untuk bereksperimen dengan pemodelan ekonomi. Permasalahannya adalah bagaimana cara membentuk model matematika yang sesuai sehingga dapat diturunkan rumus kesetimbangan harga hanya dengan mempergunakan langkah-langkah yang benar dalam Matematika dan persamaan diferensial?
',.
112
Cakrawala Pendldlkan Nomor 2, Tahun XII, Junl 1993
Tujuan tulisan ini adalah untuk menguraikan aplikasi Persamaan Diferensial dalam ekonomi hanya dengan mengetahui gejala-gejala dalam ekonomi dan mempergun~kan langkah-langkah yang benar dalam Matematika untuk m'embentuk model matematika yang sesuai. Hal ini berguna untuk menambah wawasan aplikasi matematika dalam bidang ilmu lainnya di luar matematika. Pembahasan
Untuk menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan Matematika terdapat tiga langkah yang harus dilakukan: Langkah 1: Meneari suatu model matematika dari proses. yaitu peherjemahan informasi yang diberikan dan data ke dalam bentuk matematika, yaitu ke dalam suatu model matematika. Langkah 2: Menyelesaikan model matematika. Yaitu penearian selesaian model matematika dengan pemilihan dan penggunaan metoda matematika yang sesuaL Langkah 3: Interpretasi hasil yang diperoleh, yaitu pemahanan arit dan implikasi selesaian matematika untuk masalah khusus. Berikut akan dibahas aplikasi Persamaan Diferensial Linier Orde Satu dan Persamaan Diferensial Linier Orde Dua dalam menentukan harga kesetimbangan penawaran dan permintaan. ApJikasi Persamaan Diferensial Linier Orde Satu dalam Ekonomi
Di sini akan didiskusikan sebuah model yang berhubungan dengan penawaran, permintaan dan harga pasar dari komoditi tunggal, seperti beras, telur, mobil, minyak dan lain-lain. Model yang paling sederhana yang akan digunakan adalah model Iinier. Langkah 1: Menyusun ModeJ Matematika
Dipunyai tiga peubah untuk komoditi: permintaan D, penawaran. Q dan harga P. Permintaan D tergantung pada harga. Jadl, seeara umum dapat dituliskan .
113
ApJikasi Persamaan DiFerensial dalam Ekonomi
D = D (Pl. Akan tetapi, model yang akan dibuat adalah linier, sehingga model yang mungkin hanyalah D(Pl = a + bP dengan a, b, konstanta dan b
O. d bernilai positif karena harga naik mengakibatkan produksi ikut naik. Hubungan antara harga, permintaan dan penawaran, di mana D sebagai fungsi dari P adalah monoton turun dan Q sebagai fungsi dari P adalah monoton naik, dapat dilihat pada Gambar 1 berikut:
Gambar 1
hargo.
a
=
c
+ dp
D=o.+bp
kuo.ntit.o.s
p* adalah harga kesetimbangan bila penawaran = permintaan,·
Cakrawala Pendidikan Namor 2, Tahun XlI, Juni 195
114
yaitu D = Q atau a + bP = c + dP sehingga diperoleh a - c P = ~- = p* (harga kesetimbangan) d - b Selanjutnya, dianggap harga dari produksi bukan harge kesetimbangan. Jika P > p*, maka penawaran melebihi permintaan (Q>D) dan harga akan jatuh. Sebaliknya, apabile pQ) dan harge akan naik. Untuk menggambarkan situasi ini dalam model matematika dengan batasan dar! model Iinier kita gunakan persamaan diferensial dP = y(D-Q) (3) . dt dengan ykonstanta, y>O. Sekarang model menjadi lengkap. Dipunyai tiga persamaan yaitu persamaan (1), (2) dan (3) dengan tiga, 'peubah D, Q, dal P. Bila persamaan (1) dan (2) disubstitusikan ke persamaan (3 diperoleh dP = Y(a + bP - c - dP) dt atau dP + Y(d-b)P = y(a-c) (4) dt ya:ng tidak lain adalah persamaan diferensial Iinier orde satu. Langkah 2: Menyelesaikan Model Matematika
Bandingkan persamaan (4) dan dengan selesaian y(t)
= e -h(t) Seh(t)r(t)
dt
+
dy dt
+
£(t)y = r(t)
Ce-h(t)
!
dengan h(t) = f(t) dt Di sini y = p ; f(t) = y(d-b)
r
r(t)
= y (a-c)
h(t) ~ £(t) dt Y(d-b) dt Y(d-b)t sehingga P(t) = e- Y (d"b)t Ie Y(d-b)t Y(a-c) dt + Ce- Y(d-b)t
=
=
=
115
Aplikasi Persamaan OiferensiaJ daJam Ekonomi
= - Y(d-b)t
y(a-c) y(d-b)
e
= a-c_ d-b
e Y(d-b)t Ce- Y(d-b)t
+ Ce-Y(d-b)t
Sekarang karena Y>O, d>O dan b>O, mengakibatkan Y(d-b»O sehingga suku eksponensial akan menuju ke nol bila t menjadi cukup besar (tak hingga) yaitu a-c = p* d-b yang merupakan nilai kesetimbangan harga.
>
pet)
Langkah 3: f\1enentukan Khusus
SeJesaian
Khusus
untuk
f\1asaJah
Contoh 1: Diketahui fungsi penawaran Q adalah: Q(P) = 25 + P dan fungsi permintaan D adalah D(P) = 150 3 P. Berapakah harga kesetimbangannya? Gambarkanlah 2 kurvanya dan hitunglah secara matematis. Selesaian: Fungsi D: D(P) = 150 - ~ P
= 25
Fungsi Q: Q(P)
+ P
=- 1 ;
=
Di sini a 150 ; b Maka harga kesetimbangan:
P=~ = d-b _
125
_
- 5T2 -
c + 25
d
=1
150 - 25 1
+.J. 2
50
Jadi, harga kesetimbangan P = 50. Dengan harga kesetimbangan ini jumlah barang yang diJual adalah Q = 25 + P = 75 Kurva penawaran dan permintaan dapat dilihat pada Gambar 2 berikut:
116
CakrawaJa Pendidlkan Nomor 2, Tahun XIJ, Junl 199.
Gambar 2 ho.rga. 100 Q=2!5+P
50
-.-_
-._.--
-
. 3
D=150--P 2
75
100
125
150
kuanii.las
Aplikasi Pecsamaan Oifecensial Uniec Orde Oua dalam Ekonomi Langkah 1: Menyusun Model Matematika
Dalam model yang telah didiskusikan sebelumnya untul suatu industri tunggal dipunyai D = a + bP (5) Q = c + dP (6) Sekarang dibuat model pengaruh dari persediaa barang. Dianggap tidak semua penawaran terjual. Maka per sediaan barang akan semakin banyak. Jumlah persediaa barang S(t) dari waktu t=O sampai t="t" akan menjadi t. S(t) = S(O) + [Q(T) - D(T)] dT o Bila didiferensialkan menjadi
5
.
~~
(7)
= Q(t) - D(t)
Persamaan harga yang sesuai dalam model sebelumnya adalal
~ = dt
y(D-Q) =
-y~ dt
Apllkasi Persamaan Diferensial da/am Ekonom/
117
Selanjutnya model ini dimodifikasi. Jelas sekali hahwa hila harang hertamhah hanyak dari suatu tingkat yang sudah ditetapkan sehelumnya, yaitu So = 5(0) maka diperlukan biaya untuk menyimpannya sehingga harga akan jatuh sebagaimana produsen mencoba menghabiskan kelebihan persediaan barang. Bagaimanapun jika persediaan barang jatuh di bawah tingkat yang diinginkan maka harga barang akan naik. Jadi diperoleh dP dS CIt = -Y"""""(It + 1.(50 -5) (8) p~rsediaan
dengan A>O suatu konstanta. Sampai saat ini dipunyai empat persamaan (5), (6), (7) dan (8) dengan lima peubah D, Q, 5, P, So' Cukup beralasan untuk menganggap bahwa tingkat optimal persediaan barang, So' tergantung pada permintaan D sehingga dipunyai So = ID + m (9) dengan I, m suatu konstanta. Sekarang, persamaan (5) sampai (9) memberikan suatu model yang tertutup. Langkah 2: /I1enyelesaikan /I1odel Matematika
Dengan menggunakan persamaan (5) sampai (9) untuk mengeliminasi D, Q dan So' diperoleh
~~
+
~;
{y
Cd-b)-Alb) P + AS = y(a-c) + A(la+m)
- (d-b)P
= c-a
(lO) (11)
dalam keadaan setimbang
~ dt
= 0
dan~= dt
0
sehingga dari persamaan (11) diperoleh . p*
= _[
c - a ] d - b yang merupakan nilai kesetimbangan harga. Selanjutnya, dari persamaan (10 )diperoleh
1.5* = y(a-c) + A(la+m) - y(d-b)P* + AlbJ?* dan menggunakan (12) y(d-b)P* = y(a-c)
• (12)
Cakrawala Pendidikan Nomor 2, Tahun XII, Juni
118
19~
maka diperoleh S*
= la
+ m + Ib [ ad -_ bc
]
(13',
Dalam keadaan setimbang, persamaan (10) dan (11) menjadi {y(d-b) - Alb) p* + AS* = y(a-c) + A(la+m) (14: dan -(d-b)P* = c-a (15 Dad persamaan (10), bila didiferensialkan akan diperoleh d 2p dP dS ~ + a - - + A--= 0 , dt' dt dt dengan a = y(d-b) - Alb. Untuk mengeliminasi ~; , digunakan persamaan (11), sehingg, diperoleh d2p dP ~ + a - - + AI3P = -A(c-a) dt' dt dengan 13 = d-b. Persamaan terakhir ini merupakan persamaan, diferensia Iinier orde dua. Persamaan karakteristiknya, 2
+ ax + A13= 0 dengan akar-akar karakteristiknya x
=
xl 2
-a ± la 2
_
4>.13
, 2 sehingga selesaian umum persamaan diferensial ialah P(t)
+ Be x2t + p* - A(c - a) c - a ACd - b) = - d - b
= Aexlt
dengan P* =
Kesimpulan Berdasarkan uraian sebelumnya, dapat disimpulka bahwa dengan hanya menggunakan pengetahuan Persamaa piferensial dan langkah-Iangkah yang benar dalam pemodela matematika, dapat diturunkan rumus, untuk mencari harg kesetimbangan dalam penawaran dan permintaan dalam ilm ekonomi hanya dengan mengetahui masaIah-masaIah' ekoilom tanpa perlu mengetahui ilmu ekonomi yang herkaitan.
Aplikasi Persamaan DiferensiaJ daJam Ekonomi
119
Daftar Pustaka Daniel P. Maki and Maynard Thompson. 1979. Mathematical Models and Applications. New Jersey: Prentice-Hall Inc. David L. Clement. 1992. Kuliah Matematika Terapan pada Program BSBP VI di ITB Bandung. Kreyszig Erwin. 1988. Advanced Engineering Mathematics. New York: John Wiley & Sons. Suwono Edi. 1992."Suatu Model Chaos Sederhana dalam Ekonomi". Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia. Vol.!, Nomor 1, 1992-1993, haJ.55-60.
