Analisis Tegangan dan Regangan

a home base to excellence Mata Kuliah Kode SKS

: Mekanika Bahan : TSP – 205 : 3 SKS

Analisis Tegangan dan Regangan Pertemuan - 10

a home base to excellence • TIU :  Mahasiswa dapat menganalisis tegangan normal dan geser menggunakan lingkaran Mohr

• TIK :  Mahasiswa dapat menggunakan Lingkaran Mohr untuk melakukan analisis tegangan bidang

a home base to excellence • Sub Pokok Bahasan :  Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang  Hukum Hooke Untuk Tegangan Bidang  Tegangan Triaksial  Quiz 3

a home base to excellence Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang • Persamaan transformasi untuk tegangan bidang dapat dinyatakan dalam bentuk grafis yang sering dikenal dengan Lingkaran Mohr • Sebutan Lingkaran Mohr diberikan untuk menghargai jasa ilmuwan Jerman Otto Christian Mohr (1835-1918) yang menemukannya pada tahun 1882. • Lingkaran Mohr ini sangat berguna dalam analisis tegangan, karena dapat memberikan beragam informasi tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada setiap bidang dari suatu elemen

a home base to excellence Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang • Persamaan-persamaan transformasi untuk tegangan bidang dapat dituliskan kembali menjadi :  x1 

 x  y 2



 x  y

 x1 y1  

2

cos 2   xy sin 2

 x  y 2

sin 2   xy cos 2

• Jika kedua sisi dikuadratkan, dan jumlahkan keduanya maka akan didapatkan :   y      y   x1  x    x1 y12   x    xy 2 2    2  2

2

a home base to excellence Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang • Dengan mengingat bahwa :  ratarata 

 x  y 2

  x  y     xy 2 R    2  2

• Maka persamaan tersebut dapat dituliskan ringkas :  x1   ratarata 2   x1y12  R 2 • Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkaran dalam sistem koordinat x1 dan y1, memiliki radius R dan pusat lingkaran tersebut terletak pada x1 = rata-rata dan x1y1 = 0

a home base to excellence Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang • Dalam menggambarkan lingkaran Mohr, diambil kesepakatan tegangan geser positif digambar dalam arah sumbu vertikal ke bawah dan sudut positif sebesar 2 digambarkan berlawanan arah jarum jam   x  y     xy 2 R    2  2

 x  y  C  ;0  2  

a home base to excellence Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang Apabila nilai x, y dan xy diketahui, maka dapat digambarkan Lingkaran Mohr dengan langkah sebagai berikut : • Gambarkan sistem koordinat x1 (absis) dan x1y1 (ordinat) • Tentukan lokasi pusat lingkaran (titik C) • Tentukan lokasi titik A ( = 0o), yang merepresentasikan tegangan di muka x, dan titik B ( = 90o) yang merepresentasikan tegangan di muka y • Garis yang melalui titik A, B dan pusat C merupakan diameter lingkaran • Dengan menggunakan titik C sebagai pusat, gambarkan lingkaran Mohr melalui titik A dan B

a home base to excellence Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang

Tegangan Geser Maks

cos 2 p1 

sin 2 p1 

 x  y

 xy

2R

R

Tegangan Utama Maks

cos  

 1   x  y  cos 2   xy sin 2  R 2 

sin  

 1   x  y  sin 2   xy cos 2  R 2 

a home base to excellence Tegangan Bidang Contoh 10-1 Di suatu titik pada permukaan suatu silinder bertekanan, bahannya mengalami tegangan biaksial x = 90 MPa dan y = 20 MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr, tentukanlah tegangan yang bekerja di suatu elemen yang miring pada sudut  = 30o.

a home base to excellence 2  x  y   90  20     xy 2   R     0  35MPa 2 2     2

 = 30o

D (x1;x1y1)

x1 = rerata + R cos 60o = 72,5 MPa x1y1=  R sin 60o =  30,3 MPa

R =

60o

90o

B (20;0)

 = 120o

x1y1

C (55;0)

D’ (y1;y1x1)

y1 = rerata  R cos 60o = 37,5 MPa y1x1= R sin 60o = 30,3 MPa

 = 0o A (90;0)

x1

a home base to excellence Tegangan Bidang Contoh 10-2 Sebuah elemen yang dalam keadaan tegangan bidang di permukaan mesin besar, mengalami tegangan x = 105 MPa, y = 35 MPa dan xy = 27,5 MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr, tentukanlah: a.tegangan yang bekerja di suatu elemen yang miring pada sudut  = 40o b.Tegangan utama c.Tegangan geser maksimum

a home base to excellence   x  y R    2

2

  105  35  2    xy 2     27 ,5  44,51MPa 2    2

S1 = 64,08o

S1 (70;R)

D (x1;x1y1)  = 90o B (35;−27,5)

R 80o 41,84o

 = 109,08o P2 (2;0) 2 = 70 MPa  44,51 MPa = 25,49 MPa

41,84o

C (70;0)

 = 40o

x1 = 70 + 44,51(cos 41,84o) = 103,16 MPa x1y1=  44,51(sin 41,84o) = 29,69 MPa P1 (1;0)  = 19,08o 1 = 70 MPa + 44,51 MPa

x1

38,16o

A (105;27,5)  = 0o  = 130o

D’ (y1;y1x1)

y1 = 70  44,51(cos 41,84o) = 36,84 MPa x1y1= 44,51(sin 41,84o) = 29,69 MPa

x1y1

S2 (70;+R)

S2 = 26,92o

= 114,51 MPa

a home base to excellence

a home base to excellence Tegangan Bidang Contoh 10-3 Sebuah titik pada permukaan batang generator adalah x = - 50 MPa, y = 10 MPa dan xy = - 40 MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr tentukan : a. Tegangan pada elemen yang miring pada sudut  = 45o b. Tegangan utama c. Tegangan geser maksimum

a home base to excellence Hukum Hooke Untuk Tegangan Bidang Hukum Hooke berlaku untuk kasus tegangan bidang, dengan persamaan-persamaan sebagai berikut : x 

1  x  y   x  E 2  x  y  1  E

y 

1  y  x   y  E 2  y  x  E 1 

z    xy 

 E

 xy G



x

  y   xy  G   xy

a home base to excellence Tegangan Bidang Contoh 10-4 Sebuah pelat baja dengan tebal t = 10 mm mengalami tegangan normal seragam x dan y. Pengukur regangan (strain gages) A dan B yang mempunyai orientasi pada arah x dan y, terpasang pada pelat tersebut. Pembacaan strain gages tersebut memberikan regangan normal x = 350.10-6 (perpanjangan) dan y = 85.10-6 (perpanjangan). Jika nilai E = 200 GPa dan  = 0,30 tentukan tegangan x dan y serta perubahan ketebalan pelat.

a home base to excellence Tegangan Triaksial • Sebuah elemen dari bahan yang mengalami tegangan normal x, y dan z yang bekerja pada tiga arah yang saling tegak lurus disebut mengalami tegangan triaksial • Jika suatu bidang miring yang sejajar sumbu z dipotong melalui elemen, maka tegangan yang ada di muka miring adalah tegangan normal  dan tegangan geser  • Keduanya analog dengan x1 dan x1y1 pada tegangan bidang • Karena  dan  diperoleh dari persamaan kesetimbangan dalam bidang xy, maka keduanya tidak tergantung pada tegangan normal z (artinya persamaan transformasi pada tegangan bidang dan Lingkaran Mohr dapat dipakai mencari  dan )

a home base to excellence Tegangan Triaksial Pada keadaan tegangan triaksial berlaku pula Hukum Hooke sebagai berikut : x  y 

z 

x E

y E

z E

 



 E

 E

 E















y  z 

x 

E 1   x   y   z  1  1  2 

 z   x 

y 

E 1   y   z   x  1  1  2 



z 

E 1   z   x   y  1  1  2 

x  y 

a home base to excellence

QUIZ–3 (WAKTU 30 MENIT)

a home base to excellence

Sebuah titik pada permukaan batang generator adalah x = - 50 MPa, y = 10 MPa dan xy = - 40 MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr tentukan : a. Tegangan pada elemen yang miring pada sudut  = 45o b. Tegangan utama c. Tegangan geser maksimum