Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16
11/11/2014
1
Materi Kuliah ο Kebebasan Linier ο Basis dan Dimensi
11/11/2014
Yanita, Matematika Unand
2
5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika π = π1 , π2 , β¦ , ππ adalah himpunan tak kosong vektor-vektor, maka persamaan vektor π1 π1 + π2 π2 + β― + ππ ππ = π memiliki paling tidak satu solusi, yaitu π1 = 0, π2 = 0, β¦ , ππ = 0 Jika ini satu-satunya solusi, maka π disebut sebagai himpunan bebas linier. Jika terdapat solusi-solusi lain, maka π disebut sebagai himpunan tak bebas linier (bergantung linier) 11/11/2014
3
Contoh
11/11/2014
4
Contoh
11/11/2014
5
Teorema 5.3.1 Suatu himpunan π dengan dua atau lebih vektor adalah: a. Tidak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu dari vektor pada π dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada π. b. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor pada π yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada π. 11/11/2014
6
Contoh Vektor-vektor π1 = (2, β1,0,3), π2 = (1,2,5, β1), π3 = (7, β1,5,8) tidak bebas linier. Dengan menggunakan Teorema 5.3.1 berarti vektorvektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vektor lainnya. Buktikan. 11/11/2014
7
Teorema 5.3.2 a. Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang mengandung vektor nol adalah tidak bebas linier. b. Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika tidak satupun dari vektornya merupakan kelipatan skalar dai vektor lainnya. 11/11/2014
8
Interpretasi Geometrik dari Kebebasan Linier Interpretasi geometrik kebebasan linier pada β2 dan β3 : β’ Pada β2 dan β3 , suatu himpunan yang terdiri dari dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. β’ Pada β3 , suatu himpunan yang terdiri dar tiga vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga tiik awalnya terletak pada titik asal. 11/11/2014
9
Teorema 5.3.3 Misalkan π = π1 , π2 , β¦ ππ adalah suatu himpunan vektor-vektor pada π β . Jika π > π, maka π tidak bebas linier 11/11/2014
10
5.4 Basis dan Dimensi Definisi Jika π adalah suatu ruang vektor sebarang dan π = π1 , π2 , β¦ ππ adalah suatu himpunan vektor-vektor pada π, maka π disebut basis untuk π jika dua syarat berikut berlaku: 1. π bebas linier 2. π merentang π
Contoh: Basis standar 11/11/2014
11
Contoh
11/11/2014
12
Basis standar untuk ππ ππ = π0 + π1 π₯ + β― + ππ π₯ π ππ β β, π = 1,2, β¦ , π Tunjukkan bahwa π = 1, π₯, π₯ 2 , β¦ , π₯ π adalah basis untuk ruang vektor ππ . Untuk menunjukkan π basis untuk ππ berarti harus ditunjukkan π bebas linier dan π merentang ππ . Akan ditunjukkan π bebas linier. Misalkan π0 π1 + π1 π2 + β― + ππ ππ = π (1) Akan ditunjukkan π0 = π2 = β― = ππ Persamaan 1 ekivalen dengan π0 + π1 π₯ + β― + ππ π₯ π untuk semua π₯ pada ββ, β . Dalam aljabar linier poinomial tak nol dengan pangkat π memiliki paling banyak π akar. Implikasikasinya polinomial nol hanya dipenuhi ketika ππ = 0, π = 1,2, β¦ , π. 11/11/2014 13
Akan ditunjukkan π merentang ππ . Ambil sebarang π β ππ , artinya π adalah polinomial, yaitu π = π0 + π1 π₯ + β― + ππ π₯ π , dengan ππ β β. Berarti π adalah kombinasi linier 2 π 2 π dari 1, π₯, π₯ , β¦ , π₯ . Jadi 1, π₯, π₯ , β¦ , π₯ merentang ππ .
11/11/2014
14
Keunikan/Ketunggalan Representasi Basis
Teorema 5.4.1 Jika π = π1 , π2 , β¦ ππ adalah suatu basis dari ruang vektor π, maka setiap vektor π pada πdapat dinyatakan secara tunggal dalam bentuk π = π1 π1 + π2 π2 + β― + ππ ππ 11/11/2014
15
Koordinat-koordinat Relatif Terhadap Suatu Basis Jika π = π1 , π2 , β¦ ππ adalah basis untuk ruang vektor π, dan π = π1 π1 + π2 π2 + β― + ππ ππ Adalah pernyataan untuk suatu vektor π£ dalam bentuk basis π, maka skalar-skalar π1 , π2 , β¦ , ππ disebut sebagai koordinat π relatif terhadap basis π. Vektor (π1 , π2 , β¦ , ππ ) pada βπ yang disusun dari koordinat-koordinat ini disebut vektor koordinat π relatif terhadap π, dan dinotasikan dengan (π)π = (π1 , π2 , β¦ , ππ ) Catatan: Vektor koordinat tidak bergantung pada basis π saja, tetapi juga pada urutan penulisan vektor basis. 11/11/2014
16
Dimensi Definisi Suatu ruang vektor tak nol π disebut berdimensi terhingga jika terdiri dari himpunan terhingga vektorvektor π1 , π2 , β¦ ππ yang membentuk suatu basis. Jika tidak terdapat himpunan seperti ini, π disebut sebagai berdimensi tak hingga. Selain itu, kita akan menganggap ruang vektor nol sebagai berdimensi terhingga. 11/11/2014
17
Teorema 5.4.2 Misalkan π adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {π1 , π2 , β¦ , ππ } adalah basis sebarang. a. Jika suatu himpunan memiliki vektor lebih dari π, maka himpunan tersebut bersifat tidak bebas linier b. Jika suatu himpunan memiliki vektor kurang dari π, maka himpunan tersebut bersifat tidak merentang π. 11/11/2014
18
Teorema 5.4.3 Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memiliki jumlah vektor yang sama. Contoh Pada β3 , dimensinya adalah 3, maka semua basis 3 pada β memiliki jumlah unsur 3. 11/11/2014
19
Definisi Dimensi dari ruang vektor π yang berdimensi terhingga, dinotasikan dengan dim(π) , didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis untuk π. Selain itu, didefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol. Contoh β’ dim βπ = π β’ dim ππ = π + 1 β’ dim πππ = ππ 11/11/2014
20
Dimensi dari Ruang solusi Perhatikan sistem persamaan linier berikut ini: 1 β2 3 π₯ 0 2 β4 6 π¦ = 0 3 β6 9 π§ 0 Himpunan penyelesaian untuk sistem persamaan linier homogen ini adalah 2π β 3π‘ π»= π , π‘ β β π π‘ Maka π» adalah subruang dari β3 . Perhatikan bahwa vektor-vektor solusi dapat ditulis sebagai berikut: π₯ 2 β3 π¦ =π 1 +π‘ 0 π§ 0 1 2 β3 Yang menunjukkan bahwa π1 = 1 dan π2 = 0 merentang ruang solusi dan π1 , π2 bebas linier 0 1 (buktikan).
Maka π1 , π2 adalah basis untuk π». Jadi dim π» = 2 11/11/2014
21
Contoh
11/11/2014
22
Teorema plus/minus Teorema 5.4.4 Misalkan π adalah himpunan tak kosong vektor-vektor pada ruang vektor π. a. Jika π adalah himpunan yang bebas linier, dan jika π adalah suatu vektor pada π yang terletak di luar rentang π , maka himpunan π βͺ {π} yang diperoleh dengan menyisipkan π£ ke dalam π masih bersifat bebas linier. b. Jika π£ adalah suatu vektor pada π yag dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor-vektor lainnya pada π, dan jika π β π menotasikan himpunan yang diperoleh dengan mengeluarkan π£ dari π, maka π dan π β π merentang ruang yang sama, yaitu Rentang π = rentang(π β π )
11/11/2014
23
Teorema 5.4.5 Jika π adalah suatu ruang vektor berdimensi π, dan jika π adalah suatu himpunan pada π dengan tepat π vektor, maka π adalah basis untuk π jika salah satu dari hal berikut berlaku, merentang π atau π bebas linier.
11/11/2014
24
Teorema 5.4.6 Misalkan π adalah suatu himpunan terhingga dari vektorvektor pada suatu ruang vektor π berdimensi terhingga. a. Jika π merentang π, tetapi bukan suatu basis untuk π, maka π dapat direduksi menjadi suatu basis untuk π dengan mengeluarkan vektor-vektor yang sesuai dari π. b. Jika π adalah suatu himpunan bebas linier yang belum merupakan basis untuk π , maka π dapat diperbesar menjadi suatu basis untuk πdengan menyisipkan vektorvektor-vektor yang sesuai ke dalam π. 11/11/2014
25
Teorema 5.4.7 Jika π adalah suatu subruang dari suatu ruang vektor π yang berdimensi terhingga, maka dim(π) β€ dim(π). Lebih lanjut, jika dim π = dim((π), maka π = π.
11/11/2014
26
