Aljabar Linier Elementer Kuliah 27
Materi Kuliah ο Transformasi Linier Invers ο Matriks Transformasi Linier Umum
10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
2
Transformasi Linier Satu ke satu dan Sifat-sifatnya Definisi Transformasi linier π: π βΆ π disebut satu ke satu jika π memetakan vector-vector yang berbeda pada π ke vector-vector yang berbeda pada π. (Transformasi linier π: π βΆ π disebut satu ke satu jika untuk setiap π, π β π dengan π π = π(π) maka π = π.
Teorema 8.3.1 Jika π: π βΆ π adalah transformasi linier , maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen: a. π adalah satu ke satu b. πΎππ π = π c. nulitas π = 0 10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
3
Teorema 8.3.2 Jika π adalah ruang vector berdimensi hingga, danπ: π βΆ π adalah operator linier, maka pernyataanpernyataan berikut ekivalen: a. π adalah satu ke satu b. πΎππ π = 0 c. Nulitas π = 0 d. Range dari π adalah π; yaitu π
π = π 10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
4
Contoh 1. Suatu transformasi linier π: βπ βΆ βπ dapat diwakilkan dengan ππ΄ π = π΄π. Untuk membuktikan π: βπ βΆ βπ satu ke satu atau tidak adalah dengan membuktikan apakah matriks perkalian π΄ invertible atau tidak. Jika π΄ invertible maka π adalah satu ke satu. 2. Misalkan ππ΄ : β4 βΆ β4 adalah perkalian dengan π΄ = 1 3 β2 4 2 6 β4 8 . Tentukan apakah π΄ satu ke satu? 3 9 1 5 1 1 4 8 10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
5
Invers dari Transformasi Linier jika ππ΄ adalah transformasi linier satu ke satu maka π΄ invertibel. Jadi dapat ditentukan ππ΄β1 , yang disebut sebagai invers dari ππ΄ , dan ππ΄β1 ini juga merupakan tranformasi linier. Perhatikan bahwa: ππ΄ ππ΄β1 π = π΄π΄β1 π = πΌπ = π ππ΄β1 ππ΄ π = π΄β1 π΄π = πΌπ = π Atau ekivalen dengan ππ΄ β ππ΄β1 = ππ΄π΄β1 = ππΌ ππ΄β1 β ππ΄ = ππ΄β1π΄ = ππΌ Catatan: Jika ππ΄ mewakili transformasi linier π β1 dengan ππ΄ = π΄, maka ππ΄β1 mewakili β1 transformasi linier π dengan ππ΄β1 = π΄ Karena matriks standar untuk π β1 adalah invers dari matriks standar untuk π, maka π β1 = π β1 10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
6
Contoh Misalkan π: β3 βΆ β3 adalah operator linier yang didefinisikan dengan π₯1 3π₯1 + π₯2 π π₯2 = β2π₯1 β 4π₯2 + 3π₯3 π₯3 5π₯1 + 4π₯2 β 2π₯3 Tentukan apakah π satu ke satu. Jika ya, tentukan π₯1 π β1 π₯2 . π₯3
10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
7
Teorema 8.3.3 Jika π1 : π βΆ π dan π2 : π βΆ π transformasi linier, maka: a. π2 Β° π1 adalah satu ke satu β1 β1 β1 b. π2 Β° π1 = π1 Β° π2
10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
adalah
8
Proses Mencari Matriks Standar π Suatu transformasi linier π: βπ βΆ β dapat diwakilkan dengan ππ΄ π = π΄π. Proses mendapatkan matriks ini π π berdasarkan basis standar dari β dan β . Contoh: Misalkan π: β3 βΆ β3 adalah operator linier yang didefinisikan dengan π₯1 3π₯1 + π₯2 π π₯2 = β2π₯1 β 4π₯2 + 3π₯3 π₯3 5π₯1 + 4π₯2 β 2π₯3 1 0 0 Basis standar di β3 adalah π = 0 , 1 , 0 . 0 0 1 Mencari π΄: 1 3 0 1 0 0 π 0 = β2 , π 1 = β4 , π 0 = 3 30 1 5 0 0 0 4 31 3β2
β2 = 3 0 β 2 1 + 5 0 , 5 0 0 1 1 π΄ = ππ΄ = π 0 π 0 π
10/11/2014
jadi β2 = 5 π 0 π 1 0 π
β2 dst. 5 3 1 0 0 = β2 β4 3 0 5 4 β2 1 π
Yanita, Matematika FMIPA Unand
9
Matriks Transformasi Linier Umum β’ Jika pada proses mencari matriks standar yang digunakan adalah basis standar untuk masing-masing ruang vector rielnya, maka matriks transformasi linier umum memerlukan basis dari masing-masing ruang vektornya. β’ Proses mendapatkan matriks transformasi linier umum ini sama dengan proses mencari matriks standart. β’ Misalkan π: π βΆ π transformasi linier, dengan π΅ basis untuk π dan π΅β² basis untuk π. Maka matriks yang mewakili π dengan basis π΅ dan π΅β², maka matriks ini dinamakan dengan matriks untuk π berkenaan dengan basis π΅ dan π΅β² , symbol π π΅,π΅β² 10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
10
Proses Mencari Matriks Transformasi Linier Umum Misalkan π: π βΆ π transformasi linier, dengan π΅ = π’1 , π’2 , β¦ , π’π basis untuk π dan π΅β² basis untuk π. 1. Tentukan π π’1 , π π’2 , β¦ , π π’π 2. Tentukan π π’1 π΅β² , π π’2 π΅β² , β¦ , π π’π π΅β² 3. Matriks π π΅,π΅β² adalah matriks yang kolom-kolomnya π π’1 π΅β² , π π’2 π΅β² , β¦ , π π’π π΅β² atau
10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
11
Contoh 1. Misalkan π: β2 βΆπ₯ β3 transformasi linier yang didefinisikan oleh 2 π₯1 π π₯ = β5π₯1 + 13π₯2 . Tentukan matriks π π΅,π΅β² jika π΅ = 2 β7π₯1 + 16π₯2 1 β1 0 3 1 , adalah basis untuk β2 dan π΅β² = 0 , 2 , 1 1 2 β1 2 2 3 adalah basis untuk β . 2. Misalkan π: β2 βΆ β2 transformasi linier yang didefinisikan oleh π₯1 π₯1 + π₯2 π π₯ = . Tentukan π π΅,π΅β² jika π΅ = π΅β² = β2π₯1 + 4π₯2 2 1 1 , adalah basis untuk β2 . (Untuk kasus seperti contoh ini 1 2 π π΅,π΅β² disimbolkan dengan π π΅ 10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
12
Matriks Komposisi dan Matriks Transformasi Invers Teorema 8.4.2 Jika π1 : π βΆ π dan π2 : π βΆ π adalah transformasi linier, dan jika π΅, π΅β² dan π΅β²β² adalah masing-masing basis untuk π, π dan π, maka π2 Β° π1 π΅β² ,π΅ = π2 π΅β² ,π΅β²β² π1 π΅β²β² ,π΅ Teorema 8.4.3 Jika π: π βΆ π adalah sebuah operator linier, dan jika π΅ adalah basis untuk π, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen a. π adalah satu ke satu. b. π π΅ invertible. Selanjutnya dengan syarat ekivalensi tersebut, berlaku: β1 π β1 π΅ = π π΅ 10/11/2014
Yanita, Matematika FMIPA Unand
13