Algoritmus a csigahajtások f7paramétereinek meghatározására Dr. Antal Tibor Sándor, Dr. Antal Béla Kolozsvári M szaki Egyetem
Abstract The gear design can be achieved in several ways according to the published methods in machine design specialty literature. However, gears designed by these methods will not always have good efficiency. This paper outlines and discusses in detail the required steps that can lead to predefined efficiency fulfillment in the case of gears.
Összefoglalás A csigahajtások méreteinek meghatározására több módszer ismeretes a gépészmérnöki szakirodalomban. Ezek alapján a megtervezett hajtás nem mindig ér el megfelel& hatásfokot. A jelenlegi dolgozat bemutat egy olyan módszert, amely biztosítja azt, hogy a megtervezett csigahajtás egy el&re elképzelt hatásfokkal m(ködjön.
1. Bevezetés A csigahajtásokkal foglalkozó szakirodalomból [1], [2], [3], [4] ismert az, hogy a hajtás hatásfokát, abban az esetben ha a csiga a hajtóelem, a következ képlettel lehet kiszámítani:
=
tan( m ) , tan( m + 1 )
(1)
ahol m
z1 - a csiga emelkedési szöge; q
= arctan
z1 – a bekezdések száma; q – az átmér hányados, amelynek a román szabvány alapján (STAS 6845 – 82) meghatározott értéke van. A gyakorlatban sok esetet lehet találni ahol ennek nincs szabványosított értéke; 1
= arctan
µ
cos(
n
)
- a redukált súrlódási szög;
µ – a kapcsolódó fogfelületek között lév súrlódási tényez ; Xn = 200 a normálmetszetben lév profilszög.
2. Az átmér7hányados meghatározása A hatásfoknak különböz értékei lehetnek a z1 bekezdések, q átmér hányados és a µ1 redukált súrlódási tényez függvényében. Egy bizonyos hatásfok elérése céljából, amelyet fel lehet venni el re, ajánlatos az (1) összefüggésb l kiszámítani az átmér hányadost:
q= ahol µ1 = tan (
1
1 2 µ1
1 + + (1 2 + µ
2
4 µ1 )
1 2
) - a kapcsolódó fogfelületek közötti súrlódási tényez
M szaki Szemle • 29
z1
(2)
;
3
3. A modul meghatározása A hajtás következ fontos paramétere a csigatengely metszetében mért mx modul, amelynek nagyságát a fogfelületi teherbírás alapján lehet meghatározni. A csigára és a csigakerékre ható er k nagysága, a terhelés függvényében, az 1. ábra segítségével számítható ki.
3.1. A csigahajtásban megjelen er k
1. ábra A csiga és a csigakerékre ható er&k
A csigára ható er k: 1. Tangenciális er : Ft1 =
2. Radiális er : Fr1 =
(3)
2T1 tan ( n )cos( 1 ) ; d m1 sin ( m + 1 )
3. Axiális er : Fx1 =
4. Normál er : Fn1 =
2T1 ; d m1
2T1 d m1 tan ( m +
1
)
2T1 cos( 1 ) d m1 cos( n )sin ( m +
(4)
;
(5)
1)
.
(6)
A csigakerékre ható er k: 1. Tangenciális er : Ft 2 =
2. Radiális er : Fr 2 =
4
2T2 ; d m2
2T2 tan ( n )cos( 1 ) ; d m 2 cos( m + 1 )
(7)
(8)
M szaki Szemle • 29
3. Axiális er : Fx 2 =
4. Normál er : Fr 2 =
ahol
2T2 tan ( m + dm2
)
1 1
;
2T2 cos( 1 ) d m 2 cos( n )cos( m +
(9)
1
)
;
(10)
T1 és T2 a csiga és a csigakerék tengelyein ható forgónyomaték; dm1 és dm2 a csiga és a csigakerék gördül hengereinek átmér je.
3.2. A csigahajtás moduljának kiszámítása Az mx modul képletének meghatározása a kapcsolódó fogak érintkez feszültség alapján történik.
H
Fn 2 Lk
=
1
+ 1
1
2 2
1
2
1
E1 ahol
+
2
1
Hmeg
felületén kialakuló Hertz-
(11)
2
E2
Lk az érintkez vonal hossza (Lk Z [mdm1 = 0.55 dm1); \1 és \2 az érintkez fogfelületek görbületi sugarai normál metszetben (2. ábra); ]1 és ]2 a csiga és csigakerék anyagaira jellemz Poisson számok (]1 = 0.30 acélra és ]2 = 0.34 bronzra); E1 és E2 a csiga és csigakerék anyagainak rugalmassági tényez je (E1 - 2.1 x 105 N/mm2 acélra és E2=1 x 105N/mm2 bronzra); ^Hmeg a megengedett Hertz-feszültség a kerék anyagára.
2. ábra A fogprofilok kapcsolódása normálmetszetben A görbületi sugarak normál metszetben, megközelít pontossággal, a 2. ábrából határozhatók meg figyelembe véve a csigakerék helyesbít kerekét.
1
2
M szaki Szemle • 29
=
1 =0 !
d sin( n ) = CN 2 = rmv 2 sin ( n ) = m 2 2 cos 2 ( m )
(12)
5
Behelyettesítve a (11) képletbe a (10), (12) képleteket, a felsorolt számértékeket acélra és bronzra valamint a kerék gördül henger átmér jét dm2 = mx(z2 + 2x), sorozatos számtani átalakítások után a következ kifejezést lehet megkapni az mx modul számítására:
mx " 3
546615.97T2 (z2 + 2 x )2
q q +z 2
2
1
1
(q µ1 z1 )
2
(13)
Hmeg
Abban az esetben, ha a csigatengelyen van megadva a T1 forgónyomaték, akkor jó megközelítéssel felírható:
T2 = uT1 #
Figyelembe véve, hogy tan (
m
) = z1 q
tan ( m ) z2 T1 . tan ( m + 1 ) z1
és tan (
T2 = T1
1
) = µ1
(14)
a képlet a következ képpen fejezhet ki:
z 2 (q µ1 z1 ) . q(z1 + µ1q )
(15)
Ha a (15) képletet behelyettesítjük a (13) képletbe, akkor az mx modult a következ képpen lehet meghatározni:
m x " 81.763744 3
z2 T1 (z2 + 2 x ) (z1 + µ1q ) q 2 + z 21
1 2
(16)
Hmeg
A hajtópár teherbírását a csigatengely merevsége is befolyásolja, mivel az alakváltozások vagy deformációk az érintkezési mez t megváltoztatják. Ezért mindig ellen rizni kell a csigatengely merevségét. Ezt úgy lehet elvégezni, hogy a csigatengelyt kéttámaszú tartónak vesszük fel és meghatározzuk a lehajtást, amelyet az Ft1 és Fr1 er k okoznak [3], [4].
l3 f = 48EI m
ahol
Im =
2
2
Ft1 + Fr1 .
(17)
d 2 m1 a másodrend7 nyomaték; 64
l a támaszok (csapágyak) közötti távolság (l = [aa, [a Z 1.5 .. 2);
a=
mx (q + z2 + 2 x ) a tengelytávolság; 2
fmeg a megengedett lehajlás [4] (fmeg = 0.004mx edzett csigánál és fmeg = 0.01mx nemesített csigánál). Behelyettesítve a (17) képletbe a (4) és (5) képleteket, az alábbi kifejezést kapjuk:
6
M szaki Szemle • 29
($a a )3
f =
2T1 tan ( n ) cos( 1 ) 1+ d m1 sin( m + 1 )
4
d m1 64
48E1 vagyis
2
m (q + z2 + 2 x ) 2 × 64 $a x T1 2 1+ f = 5 48 E1 (mx q ) 3
tan( n ) z1 + µ1q
(18)
z 21 + q2
Elvégezve a megfelel számtani m7veleteket, megkapjuk a végleges képletet, amellyel ellen rizni lehet a csigatengely lehajlását, a kiszámított átmér hányados és modul értékével, egy meghatározott esetben.
$a (q + z2 + 2 x ) z 21 + q 2 f = T1 1 + 0.1324743 3 3 E1 (z1 + µ1q )2 mx q5 3
3
(19)
A számítások elvégzésére egy MathCAD program készült, amelynek segítségével gyorsan meg lehet határozni az átmér hányadost a z1 bekezdések, a µ1 súrlódási tényez és egy jó ` hatásfok esetében. Azután ki lehet számolni az mx modult és ellen rizni a csigatengely merevségét.
4. Számítási algoritmus MathCAD-ban 1 miu1 := 0.035
0.8
2
:= 0.85
z1 := 3
0.9
4
x := 0
z2 := 35
T1 := 50263.158
psia := 1.5
5 sigmahmeg := 300 5
E1 := 2.1 '10
sol1( a , z1 , miu1) :=
1 ' 1 2 'a 'miu1 3
mx( q , z1 , miu1) := 81.763744 '
3
f( q , z1 , miu1) :=
psia
'
(
a+ 1 z2
( z2 + 2 'x)
2
( q + z2 + 2 'x)
3
'
2
)
2
4 'a 'miu1
1
'z1 T1
'
2
2 2 ( z1 + miu1q ' ) ' q + z1 sigmahmeg
3 ' 'E1 mx( q , z1 , miu1) 3'q5
M szaki Szemle • 29
2 'a + a
1 2
2
'T1' 1 + 0.1324743 '
2
z1 + q
( z1 + miu1q ' )
2
7
mat :=
k)0 for i + 0 .. rows(
)
1
for j + 0 .. rows( z1)
1
matk , 0 ) i matk , 1 ) z1j
(
(
(
matk , 3 ) mx sol1
(
)
i , z1j , miu1
matk , 2 ) sol1
(
matk , 4 ) f sol1
)
)
i , z1j , miu1 , z1j , miu1
)
)
i , z1j , miu1 , z1j , miu1
k)k+ 1 mat
` 0
z1 1
q 2
mx 3
f 4
0
0.8000000
1.0000000
6.9633457
9.9896373
0.0008882
1
0.8000000
2.0000000
13.9266915
6.2930772
0.0001760
2
0.8000000
3.0000000
20.8900372
4.8025167
0.0000777
3
0.8000000
4.0000000
27.8533829
3.9643902
0.0000466
4
0.8000000
5.0000000
34.8167287
3.4164079
0.0000327
5
0.8500000
1.0000000
4.7967528
11.5083164
0.0025477
mat = 6
0.8500000
2.0000000
9.5935057
7.2497850
0.0004481
7
0.8500000
3.0000000
14.3902585
5.5326214
0.0001804
8
0.8500000
4.0000000
19.1870114
4.5670784
0.0001005
9
0.8500000
5.0000000
23.9837642
3.9357888
0.0000664
10
0.9000000
1.0000000
2.7740683
13.9180179
0.0145914
11
0.9000000
2.0000000
5.5481366
8.7678019
0.0022560
12
0.9000000
3.0000000
8.3222049
6.6910851
0.0008152
13
0.9000000
4.0000000
11.0962732
5.5233691
0.0004143
14
0.9000000
5.0000000
13.8703415
4.7598952
0.0002528
Szakirodalom [1] [2] [3] [4]
8
Drobni, J., Korszer7 csigahajtások. Tenzor Kft. Miskolc. 2001. Dudás, I., The Theory and Practice of Worm Gear Drives. Penton Press. London. 2000. Maros, D., Killmann, V., Rohonyi, V., Csigahajtások. M7szaki Könyvkiadó. Budapest. 1970. Niemann, G. und Winter, H., Maschinenelemente Band 3. Spinger Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo. 1983.
M szaki Szemle • 29
