MATRIKS INVERSI & SIFAT-SIFATNYA
Bila a, x, b adalah skalar bilangan real yang memenuhi ax = b , maka x = a −1b apabila a ≠ 0 . Sekarang, untuk sistem persamaan linier A x = b apakah solusi x −1 dapat diselesaikan dengan x = A b ?
Matriks Identitas −1 −1 Untuk skalar a (real number dan a ≠ 0 ), maka a a = aa = 1 .
Untuk matriks A (n x n), apabila A mempunyai A−1 , maka
AA−1 = A−1 A = I n Matriks identitas I n didefinisikan sebagai matriks (n x n) sebagai berikut: 1 0 I n = 0 : 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 : : : 0 0 1
1 0 0 1 0 I2 = ; I 3 = 0 1 0 0 1 0 0 1
TEOREMA 12 Bila B adalah matriks (m x n), maka I m B = B dan BI n = B . Demikian pula, bila A adalah matriks (n x n), maka I n A = AI n = A
In
[
pada dasarnya adalah I n = l1 l 2 ... l n
1 0 l1 = 0 : 0
0 1 l 2 = 0 : 0
]
0 0 l n = 0 : 1
Matriks Inversi
Definisi 12 Sebuah matriks B (n x n) adalah invers dari matriks A (n x n) jika memenuhi AB = BA = I n .
Contoh:
1 − 2 1 2 = B A= 3 2 − 1 2 3 4 Tunjukkan bahwa matriks A2×2 berikut ini tidak memiliki invers. 1 2 A= 3 6
Jawab: a b −1 = = A B Katakanlah c d
1 2 a b a + 2c b + 2d 1 0 = = AB = I c d 2 3a + 6c 3b + 6d = 0 1 3 6 sehingga a + 2c = 1 dan 3a + 6c = 0 ⇒
tidak ada solusi
⇒
tidak ada inversi
TEOREMA 13
Bila B dan C adalah invers dari matriks A , maka B = C . Bila matriks A mempunyai invers, maka inversnya adalah unik.
Formula sederhana untuk menghitung invers matriks (2x2):
Matriks A2×2
a b A = c d sebagai berikut:
bila ∆ = ad − bc maka a. jika
∆ = 0 , maka A tidak mempunyai invers
b. jika
∆ ≠ 0 , maka A mempunyai invers sebagai berikut:
A−1 =
1 d − b ∆ − c a
a b 1 d − b AA−1 = ⋅ ∆ − c a c d
=
0 1 ad − bc ad − bc ∆ 0
1 0 = 0 1
Contoh: 6 8 A= 3 4
1 7 B= 3 5
Jawab: Matriks A: ∆ = 4(6) – 3(8) = 24 – 24 = 0
Matriks A tidak mempunyai invers, sebab ∆ = 0
Matriks B: ∆ = 1(5) − 7(3) = −16 ,
maka B mempunyai invers yaitu:
B −1 = −
1 5 7 16 − 3 1 .
SIFAT-SIFAT INVERS MATRIKS
TEOREMA 14
A dan B adalah matriks (n x n) yang keduanya mempunyai invers, maka: 1.
A−1 mempunyai sebuah invers, dan (A−1 ) = A
2.
−1 −1 AB mempunyai invers, dan ( AB ) = B A
−1
−1
3. Bila k adalah scalar tak nol, maka invers, dan (kA) = −1
4.
kA mempunyai sebuah
1 −1 A k
AT mempunyai invers, dan (AT ) = (A−1 ) −1
T
Contoh: A dan B adalah matriks-matriks (2x2) sebagai berikut: 3 − 2 1 3 B = A= 1 − 1 2 4
a. Gunakan formula sederhana untuk menghitung A−1 , B −1 , ( AB )
−1
b. Gunakan teorema 14 untuk menghitung ( AB )
−1
−1 −1 c. Perlihatkan bahwa ( AB ) ≠ A B −1
INVERS MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
TEOREMA 15 Ax = b adalah sebuah sistem persamaan linier (n x n), dan anggap
A mempunyai invers. Maka sistem tersebut mempunyai solusi −1 yang unik yakni: x = A b
Contoh: Tentukan solusi SPL sebagai berikut:
x1 + 3x2 = −1
2 x1 + 4 x2 = 2 Jawab: Matriks koefisien − 2 3 2 1 3 −1 A = A= 1 − 1 2 ; 2 4
maka: x1 − 2 3 2 − 1 5 x = 1 − 1 2 2 = − 2 2
x1 = 5 dan x2 = −2
Catatan: • Ax = b
mempunyai
solusi
x = A−1 b
hanya
bila
A
merupakan matriks bujur sangkar dan mempunyai invers.
• Meskipun
demikian,
meski
A
mempunyai
[ ]
invers,
mereduksi matriks yang diperbesar A b adalah lebih efisien −1 dibandingkan dengan menghitung A .
• Dari sudut pandang komputasi, metode eliminasi Gauss
lebih disukai untuk memecahkan sistem persamaan linier
Ax = b .
MENENTUKAN INVERS DARI SEBUAH MATRIKS TAK SINGULAR
TEOREMA 16
Bila A (n x n) adalah sebuah matriks tak singular, maka ada sebuah matriks B (n x n) sedemikian rupa sehingga AB = I .
Contoh: Sebuah matriks A (3 x 3) sebagai berikut: 3 − 1 1 A = − 2 − 5 1 1 5 − 2
Perlihatkan bahwa A tak singular dan tentukan matriks B (3 x 3) sedemikian rupa sehingga AB = I .
Jawab: SPL homogen Ax = θ mempunyai matriks yang diperbesar sebagai berikut:
3 − 1 0 1 A θ = − 2 − 5 1 0 , 1 5 − 2 0
[ ]
bila direduksi ke dalam bentuk eselon, diperoleh 1 3 − 1 0 C = 0 1 − 1 0 0 0 1 0
Æ SPL homogen tersebut mempunyai solusi trivial, maka
A adalah matriks tak singular, sehingga Ax = b akan mempunyai solusi yang unik untuk setiap vektor b (3 x 1).
Matriks Identitas I (3 x 3) 1 0 0 I = 0 1 0 = l1 l 2 0 0 1
l3
b11 b12 matriks B = b21 b22 b31 b32
b13 b23 = x1 b33
[
]
[
x2
x3
]
Dengan demikian: Ax1 = l1 , A x 2 = l 2 , A x 3 = l 3 akan juga
mempunyai solusi yang unik.
Persamaan linier Ax1 = l1 mempunyai matriks yang diperbesar
sebagai berikut: 3 − 1 1 1 A l1 = − 2 − 5 1 0 1 5 − 2 0
[ ]
1 3 − 1 1 Bentuk eselon: 0 1 1 2 0 0 1 − 5
x1 = 5 , x2 = −3 , x3 = −5 5 maka b1 = − 3 , − 5 1 − 2 dengan cara yang sama diperoleh b 2 = − 1 dan b 3 = 1 . − 2 1
Dengan demikian, matriks B (invers dari matriks A): 1 − 2 5 B = b1 , b 2 , b 3 = − 3 − 1 1 − 5 − 2 1
[
]
check! 3 − 1 5 1 − 2 1 0 0 1 − 2 − 5 1 − 3 − 1 1 = 0 1 0 1 5 − 2 − 5 − 2 1 0 0 1
TEOREMA 17
Bila A dan B adalah matriks (n x n) sedemikian rupa sehingga
AB = I , maka BA = I . Dalam hal ini B = A−1
TEOREMA 18
Sebuah matriks A (n x n) mempunyai invers, jika dan hanya jika
A tak singular.
TEOREMA 19
A adalah matriks (n x n). Berikut ini berlaku: 1. A tak singular, yaitu x = θ hanya merupakan solusi Ax = θ 2. Vektor-vektor kolom matriks A tak bergantungan linier. 3. A x = b selalu mempunyai solusi x yang unik. 4. A mempunyai invers.
Cara lain menghitung invers matriks
Sebagai ilustrasi, misalkan A (3x3) sebuah matriks tak singular yang sebelumnya telah dijelaskan.
[
A−1 sebagai matriks B = b1
b2
]
b3 .
Dalam hal ini b1 , b 2 , b 3 adalah solusi tunggal dari 3 SPL berikut:
Ab1 = l1
Ab 2 = l 2 Ab 2 = l 2
Dari 3 kali melakukan reduksi membentuk matriks eselon, Æ sekarang cukup satu kali:
[A l
1
l2
l3
]
→
matriks (3x6)
[A I ] → [I B] → [I A ] −1
Contoh: 1 2 3 A = 2 5 4 1 − 1 10
[A l
1
l2
1 2 3 1 0 0 l 3 = 2 5 4 0 1 0 = [A I ] 1 − 1 10 0 0 1
]
R2 − 2 R1 , R3 − R1
3 1 0 0 1 2 0 1 − 2 − 2 1 0 0 − 3 7 − 1 0 1
R3 + 3R2
1 0 0 1 2 3 0 1 − 2 − 2 1 0 0 0 1 − 7 3 1
R1 − 3R3 , R2 + 2 R3
1 2 0 22 − 9 − 3 0 1 0 − 16 7 2 0 0 1 − 7 3 1
R1 − 2R2
1 0 0 54 − 23 − 7 0 1 0 − 16 7 2 = [I B] 0 0 1 − 7 3 1
54 − 23 − 7 2 → B = A−1 = − 16 7 − 7 3 1
Æ bentuk eselon
DETERMINAN
Didefinisikan hanya untuk matriks bujur sangkar
Definisi 1 A = (aij ) adalah matriks (2x2).
Determinan A adalah: det( A) = a11a22 − a12 a21 a11 a12 det( ) A = notasi: a21 a22
Contoh: Tentukan determinan matriks-matriks sebagai berikut: 1 2 A= − 1 3
3 4 B= 6 8
Jawab: det( A) = det( B ) =
1
2
−1 3 3 4 6 8
= 3+ 2 = 5
= 24 − 24 = 0
Definisi 1a
A adalah matriks (3x3). Determinan A adalah det( A) = a11
a22
a23
a32
a33
− a12
a21 a23 a31
a33
+ a13
a21 a22 a31
a32
Definisi 2 A = ( aij ) adalah matriks (n x n). M rs adalah matriks (n-1)x(n-1)
yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-r dan kolom ke-s. Matriks M rs dikatakan sebagai matriks minor dari matriks A . Selanjutnya: Aij = (−1)i + j det(M ij ) yang dikatakan sebagai kofaktor.
Contoh: Tentukan minor matriks-matriks M11 , M 23 dan M 32 untuk matriks A sebagai berikut: 1 − 1 2 A = 2 3 − 3 4 5 1
Hitung pula kofaktor A11 , A23 dan A32
Jawab: M11 diperoleh dengan menghilangkan baris 1 dan kolom 1 pada
matriks A: 1 − 1 2 A = 2 3 − 3 4 5 1
diperoleh
3 − 3 M 11 = , 5 1
diperoleh
1 − 1 M 23 = 4 5
diperoleh
1 2 M 32 = 2 − 3
dengan cara yang sama: 1 − 1 2 A = 2 3 − 3 4 5 1
1 − 1 2 A = 2 3 − 3 4 5 1
Kofaktor: A11 = (−1)1+1 det M 11 = 3.1 + 3.5 = 18
A23 = (−1) 2+3 det M 23 = −1(1.5 + 1.4) = −9 A32 = (−1)3+ 2 det M 32 = −1(−3 − 4) = 7
Definisi 3 A = (aij ) adalah matriks (n x n).
Determinan A adalah: det( A) = a11 A11 − a12 A12 + ... + a1n A1n dimana Aij adalah kofaktor aij , 1 ≤ j ≤ n .
Contoh: Hitung determinan matriks A sebagai berikut: 3 2 1 A = 2 1 − 3 4 0 1
Jawab: det( A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 =3
1 −3 0
1
−2
2 −3 4
1
+1
2 1 4 0
= 3(1) − 2(14) + 1( −4) = −29
Contoh: Hitung determinan matriks A sebagai berikut: 2 0 1 −1 2 3 A= − 3 2 − 1 2 −3 −2
2 1 0 1
Jawab: det( A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14 = A11 + 2 A12 + 2 A14 2 A11 = 2
3
1
−1 0 = 2
−3 −2 1 −1
3
−1 0 −2 1
−3
2
0
−3 1
+1
2
−1
−3 −2
1
A12 = − 3 − 1 0 = −18 2 −2 1
−1 2 3 A14 = − 3 2 − 1 2 −3 2
det( A) = A11 + 2 A12 + 2 A14 = −15 − 36 − 12 = −63
= −15
Soal: Hitung determinan matriks segitiga bawah sebagai berikut: 3 1 T = 2 1
0 0 0 2 0 0 3 2 0 4 5 1
solusi: det(T ) = t11T11 + t12T12 + t13T13 + t14T14
karena t12 = t13 = t14 = 0 , maka 2 0 0 2 0 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅1 = 12 det(T ) = t11T11 = 3 3 2 0 = 3 ⋅ 2 5 1 4 5 1
TEOREMA 1 T = (tij ) adalah matriks segitiga bawah (n x n). Maka, det(T ) = t11 ⋅ t 22 ⋅ t33 ⋅ ... ⋅ t nn
Contoh: I n adalah matriks identitas (n x n). Hitung determinan I n .
Jawab: Karena I dapat dikatakan sebagai matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen diagonal = 1, maka:
det( I ) = 1 ⋅1 ⋅1 ⋅ ... ⋅1 = 1
OPERASI ELEMENTER DAN DETERMINAN
TEOREMA 2 T Bila A adalah matriks (n x n), maka det( A ) = det( A) .
TEOREMA 3
[
A = A1
A2
]
... A n adalah matriks (n x n). Bila
B diperoleh
dari A melalui pertukaran 2 kolom atau 2 baris, maka:
det( B ) = − det( A)
Contoh: Tentukan determinan dari matriks-matriks sebagai berikut: 1 3 1 A = 2 0 4 1 2 3
1 1 3 C = 2 4 0 1 3 2
3 1 1 B = 0 2 4 2 1 3
1 1 3 F = 4 2 0 3 1 2
Dalam hal ini
[ C = [A
A = A1
A2
1
A3
] A ]
[ F = [A
A3 2
A1
A3
3
A1
2
det( A) = 10
det( B ) = det(C ) = − det( A) = +10
[
A → G = A2
A1
]
[
] A ]
B = A2
A3 → F = A3
A1
A2
maka, det(G ) = − det( A)
dan det( F ) = − det(G ) , selanjutnya det( F ) = − det(G ) = −[− det( A)] = det( A) = 10
]
TEOREMA 4
Bila A adalah matriks (n x n), dan bila B adalah matriks (n x n) yang diperoleh dengan mengalikan kolom ke-j (atau baris ke-j) matriks A dengan sebuah skalar c, maka: det( B ) = c det( A)
contoh: a a A = 11 12 a21 a22
a ca A' = 11 12 ca21 a22
ca12 a A'' = 11 a21 ca22
det( A' ) = ca11 ⋅ a22 − ca21 ⋅ a12 = c(a11a22 − a21a12 ) = c ⋅ det( A) det( A '' ) = ca11 ⋅ a 22 − ca 21 ⋅ a12 = c(a11 a 22 − a 21 a12 ) = c ⋅ det( A)
TEOREMA 4 a.
A adalah matriks (n x n) dan c adalah sebuah skalar, maka: det(cA) = c n det( A)
Contoh: Hitung determinan (3A) 1 2 A= 4 1
Jawab:
det( A) = −7 det(cA) = 32 ⋅ 7 = −63
check: 3 6 3A = 12 3
det(3 A) = 9 − 72 = −63
Microsoft Equation 3.0
