12 Řešení obecného trojúhelníku, věta sinová a kosinová Sinová věta - platí v obecném trojúhelníku (nemusí být pravoúhlý)
a : b : c = sin α : sin β : sin γ
Poměr délek stran je roven poměru sinů protilehlých vnitřních úhlů. Nejpoužívanější tvar:
a b c = = sin α sin β sin γ Použití: K výpočtu ostatních prvků v trojúhelníku , je-li dáno: • dvě strany a úhel proti větší z nich • dva úhly a strana Příklad: o
Je dán trojúhelník ABC , a = 395, b = 287, α = 42 20´. Určete c , β , γ. Řešení: 1) Výpočet β :
2) Výpočet γ :
b a = sin β sin α b.sin α sin β = a 287.sin 42 o10 I sin β = 395 o β = 29 10´
o
γ = 180 - α -β o
3) Výpočet c :
γ = 108 22´
a c = sin α sin γ a .sin γ c= sin α 395.sin 108 o 22 / c= sin 42 o 20/ 1
c = 556,7 Cvičení : 1. Je dán trojúhelník ABC : a = 25,6 , β = 35°40´, γ = 67°30´. Určete α , b , c . [α=75°50´;b=15,8; c=24,4]
2. Je dán trojúhelník ABC : a = 57,6 , c = 48,8 , α = 123°20´.Určete β , γ , b. [β = 11°36´;γ = 45°04´;b = 13,9]
3. Je dán trojúhelník ABC :b = 34,5 ; a = 28,9 ; γ = 38°20´.Určete β ; a ; c. [β = 85°10´;a = 28,9 ; b = 21,5]
Kosinová věta Platí v obecném trojúhelníku.
2
2
2
a = b + c - 2.b.c.cosα 2 2 2 b = a + c - 2.a.c.cosβ 2 2 2 c = a + b - 2.a.b.cosγ
Je - li velikost úhlu γ = 90°, potom platí: 2
2
2
2
2
2
2
2
2
c = a + b - 2.a.b.cos90° c = a + b - 2.a.b.0 c =a +b Pythagorova věta je tedy zvláštním případem kosinové věty. Použití: k výpočtu ostatních prvků v trojúhelníku , je-li dáno: • dvě strany a úhel jimi sevřený • tři strany Příklad: Je dán trojúhelník ABC :a =35 , b = 29 , γ = 60° .Určete c , α , β . Řešení: 1) Výpočet c : 2) Výpočet β:
2
2
2
c = a + b - 2.a.b.cosγ
c = 32,4
b c = sin β sin γ b.sin γ sin β = c
3) Výpočet α: α = 180°- β - γ
α = 69°11´
β = 50°49´
Při výpočtech počítáme největší úhel jako poslední!!! Příklad: Je dán trojúhelník ABC :a =19 ,c = 6 , β = 44°08´.Určete b , α , γ. Řešení: 1) Výpočet b :
2
2
2
b = a + c - 2.a.c.cosβ b = 15,09
Při nedodržení správného pořadí by vyšlo: 2) Výpočet α :
b a = sin β sin α 2
sin α =
a .sin β b
α = 61°15´
3) Výpočet γ :
γ = 180 - α - β β = 74°37´ Toto řešení není správné , protože je porušeno pravidlo, kdy proti největší straně musí ležet největší úhel. Správný je tento postup: 2) Úhel γ :
b c = sin β sin γ c.sin β sin γ = b 3) Úhel α :
γ = 16°03´
α = 180° - β - γ α = 119°49´
Cvičení: 1) Je dán trojúhelník ABC :a =7 ; b = 6 , c = 5 . Určete α , γ , β . [α = 78°28´; β = 57°07´;γ = 44°25´] 2) Je dán trojúhelník ABC :a =20; b = 21 , c = 29. Určete α , γ , β . [α = 43°36´; β = 46°24´;γ = 90°] 3) Je dán trojúhelník ABC :a =75; b = 64 , γ = 42°30´. Určete c , α , β . [α = 77°30´; β = 60°,c = 51,9] 4) Je dán trojúhelník ABC :α =0,845 rad; β = 0,682 rad ,c = 5,24. Určete a , b ,γ . [γ = 10615 rad ; a = 3,95 , b = 3,3] 5) Je dán trojúhelník ABC :c =10,82; b = 8,54 ; γ = 72°10´. Určete a , α , β . [α =59°10´, β = 48°40´, a = 9,76] 6) Určete obsah trojúhelníku ABC , je-li dáno: a = 25,10 ; α = 63°; β = 38°. (Použijte vzorec S = 1/2. a .b .sinγ) [213,6] 7) Určete α , β , γ , je - li a : c = 3 : 5 ; γ = 2 α . [α = 33°33´; β = 79°21´;γ = 67°06´] 8) Je dán trojúhelník ABC :a =16,9; b = 21,8 ; c = 19,4. Určete α , β , γ . [α =48°, β = 73°27´, γ = 58°33´] 9) Je dán trojúhelník ABC :a =51,34; b = 34,75 ; γ = 64°30´. Určete c , α , β . [α =74°44´, β = 40°46´,c = 48,03] 10) Určete velikost největšího vnitřního úhlu v tojúhelníku ABC , je-li a = 74 ; b = 53 ; c = 45 . [α = 97°44´] 11) V trojúhelníku ABC je dáno : b = 7 cm, vb = 3,6 cm , α = 53°. Určete a , c , β, γ . [ ] 12)V trojúhelníku ABC je dáno : a = 4 cm, va = 2,3 cm , β = 52°. Určete b , c , α , γ . [ ]
Praktické úlohy: Příklad: Dvě síly F1= 35 N a F2 = 51 N spolu svírají úhel α = 56°. Určete velikost výslednice F a její úhly s jednotlivými složkami. Řešení: Velikost síly F určíme kosinovou větou : 2
2
2
2
2
2
F = F1 + F2 - 2.F1.F2.cos(180°-α) F = 35 + 51 - 2.35.51.cos124°
F = 76,3 N Úhly síly F s jednotlivými složkami určíme sinovou větou:
3
F2 sin α sin α
= 1
1
=
(
F
sin 180 o − α
(
)
F2 .sin 180 o − α
α1= 33°39´
)
F α2 = α - α1 = 22°21´
Cvičení: 1) Dvě síly F1 = 58 N a F2 = ? spolu svírají úhel α = 59°. Výslednice F = 105 N. Určete F2. [63 N] 2) Dvě síly F1 = 300 N a F2 = 400N spolu svírají úhel α = 40°. Určete F., α1 , α2 . [659 N ; 23°; 17°] 3) Dvě síly F1 = 130 N a F2 = 70N spolu svírají úhel α = 50°. Určete F. [183 N ] 4) Jaký úhel svírají síly F1 = 80 N a F2 = 95N , je-li jejich výslednice F = 152 N? [59°39´] 5) Jaký úhel svírají síly F1 = 80 N a F2 = 95N , je-li jejich výslednice F = 88,5 N? [119°56´] 6) Nosník ABC je umístěn na svislé stěně , velikost úhlů: α ´= 72°, β = 35°. V bodě C je zatížen břemenem o tíze G = 15000N. Vypočtěte velikost tahu na rameno AC a tlaku na rameno BC.
7) Dvě síly F1= 58 N a F2= ? spolu svírají úhel α = 59°. Výslednice F=
105 N. Určete F2 , α1 , α2. [ 63 N, 30°45´, 28° 15´]
8) Síla F1= 210 N svírá s výslednicí sil F úhel α1= 33°. Velikost síly F= 350 N. Určete F2 a α2. [ 33°22´, 208 N ] 9) Tlaková síla F = 120 N se má rozdělit na 2 složky F 1, F 2. Tyto složky svírají se silou F úhly α1= 30° , α2
=
45°. Jaké jsou složky F1, F2 ? [ 87,85 N , 62,12 N] 10) 15 m vysoká budova je vzdálena 30 m od břehu řeky. Z vodorovné střechy této budovy je vidět šířku řeky pod úhlem 15°. Jak široká je řeka? [ 43,3 m ] 11) Dvě přímé důlní štoly vycházející z téhož místa C svírají úhel 100°. Délka štoly DC je 80 m. Délka štoly CE je 158 m. Jak dlouhou spojovací štolu DE bude nutno prorazit? [ 189 m ] 12) Z pozorovatelen PQ vzdálených od sebe 2,8 km bylo pozorováno letadlo L a byly změřeny velikosti úhlů LPQ = 76°30´ a PQL = 62°10´. Jak vysoko bylo letadlo nad základnou PQ v daném okamžiku? [ 3,64 km ] 13) Máme vypočítat délku tunelu AB, jestliže bylo naměřeno: BC = 619,8 m a AC = 437,8 m , BCA = 97°45 ´36". [ 805,7 m ] 14) Dvěma lany je ke stropu připevněno břemeno o tíze G = 200 N. Lana jsou stejně dlouhá a svírají s rovinou stropu úhel α = 45°. Jakými silami jsou obě lana namáhána? [ 141,4 N ] 4
15.) Na břehu řeky stojí budova, z jejichž oken ve vzdálenosti 12 m je vidět bod na druhém břehu ( v rovině kolmé ke směru řeky) v hloubkových úhlech o velikosti α = 37°57′ a β=25°26′. Vypočtěte šířku řeky. [ 39,43 m] 16.) Sílu o velikosti F = 2217,6 N je třeba rozložit dvě složky , které s ní svírají úhly o velikkostech α =46°32′ a β = 54°12′. Vypočítejte velikosti složek F1 a F2. [ F1= 1830,6 N, F2=1638,1N ] 17.) Síly o velikostech F1 = 42 N, F2 =35 N působí ve společném bodě a svírají úhel o velikosti 77°12′. Jak veliká je výsledná síla F ? [ F = 62,35 N ] 18.) Sílu o velikosti F = 300 N rozložte na složky F1 a F2. První složka svírá se sílou F úhel o velikosti 47°14′ a druhá úhel o velikosti 18°53′.. Určete velikosti sil F1 a F 2. [ F1 =106,2 N , F2 = 240,9 N ] 19.) Tři síly, jejichž velikosti jsou v poměru 9: 10: 17, působí v rovině v jednom bodě tak, že jsou v rovnováze. Určete velikosti úhlů, které svírají každé dvě síly. [ 53°08′, 154°57′, 151°55′ ] 20.) Těleso o hmotnosti m = 2000 kg je zavěšeno dvěma lany různé délky na vodorovné traverze. Lana svírají s traverzou úhly o velikostech 38°26′ a 49°54′. Určete namáhání lan v tahu. [ 1567,3 N ; 1288,8 N ] 21.) Po rampě se sklonem 18°40′ je třeba vytlačit těleso tíhy 280 N . Jak velké síly je k tomu třeba a jak velká je tlaková síla působící na rampu, když tření zanedbáváme ? [ 89,62 N ; 265,27 N ] 22.) Konzola svařená ze dvou nosníků je upevněna na svislé zdi a nese těleso o tíze 1000 N . Jaké síly působí v jejich ramenech, jestliže jedno rameno svírá úhel o velikosti 35° a druhé rameno svírá úhel o velikosti 65° s rovinou zdi. [ 1812,6 N , 1147,1 N ]
5
