5. RUANG-RUANG VEKTOR

Diktat Aljabar Linear

RuangRuang-Ruang Vektor

5. RUANG-RUANG VEKTOR 5.1. RUANG-N EUCLIDIS DEFINISI 5.1: RUANG -N Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif maka n-pasangan terurut adalah (a1,a2,..,an) dimana ai , i = 1,..,n adalah bilangan riil. Himpunan semua n-pasangan terurut ini dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan ℜn DEFINISI 5.2 Dua vektor u = (u1,u2,...,un) dan v = (v1,v2,..,vn) pada ℜn • Dua vektor dinyatakan sama bila u1= v1, u2 = v2,...,un = vn • Jumlahan u + v = (u1 + v1, u2 + v2 , …, un + vn) • Jika terdapat k ∈ ℜ , k ≠ 0 maka perkalian scalar ku = (k u1, k u2,…,k un) • Vektor Nol : 0 = (0,0,…,0) • Invers aditif (negatif) : -u = (-u1,-u2,..., -un) • Pengurangan : u – v = (u1 - v1, u2 - v2 , …, un - vn) TEOREMA 5.3: Jika U, V, W ∈ ℜn , k,l ∈ ℜ maka : (a) Jika u,v ∈ V, maka u + v ∈ V (b) u+v = v+u (c) u+(v+w) = (u+v)+w (d) Jika 0 ∈ V sehingga 0 + u = u+ 0, ∀ u ∈ V (e) ∀ u ∈ V , ∃ - u ∈ V (negatif u). sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 (f) Jika k,l ∈ ℜ, u ∈ V, maka k u ∈V (g) k (u + v) , k u + k v (h) (k+l) u = k u + l u (i) k(l u) =(kl) u (j) 1 u = u DEFINISI 5.4: EUCLIDEAN INNER PRODUCT Jika U, V ∈ ℜn maka yang disebut sebagai Euclidean Inner product adalah U.V = u1 v1 + u2 v2 + ... + un vn Jika U =

 u1  !    u n 

V=

 v1  !   v 2 

(5.1)

maka U.V = Vt U

5.2. SUBSPACE (SUBRUANG) DEFINISI 5.5 : SUBRUANG Jika W ⊂ V , W dikatakan sebagai subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 23

Diktat Aljabar Linear TEOREMA 5.6 Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vector dari sebuah ruang vector V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku: (a) Jika u dan v adalah vector-vektor pada W, maka u + v terletak di W (b) Jika k ∈ ℜ , u adalah sebarang vektor pada W maka ku berada di W. DEFINISI 5.7 : KOMBINASI LINEAR Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1 , v2 ,..,vr jika vektorvektor tersebut dapat dituliskan dalam bentuk: (5.2) W = k1 v1 + k2 v2 + ...+kr vr dimana ki i = 1,2,..,r ∈ℜ DEFINISI 5.8: SPAN Jika v1 , v2 ,..,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor Vdan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1 , v2 ,..,vr maka vektor-vektor ini dikatakan Span di V (merentang di V) TEOREMA 5.9 Jika v1 , v2 ,..,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektro V, maka : (a) Himpunan w dari semua kombinasi linear v1 , v2 ,..,vr adalah subruang V (b) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1 , v2 ,..,vr dalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1 , v2 ,..,vr harus mengandung W. NOTASI Ruang Lin W yang span oleh himpunan vektor-vektor S = { v1 , v2 ,..,vr} akan dinyatakan oleh : Lin(S) atau Lin { v1 , v2 ,..,vr} 5.3. KEBEBASAN LINEAR DEFINISI 5.10 : KEBEBASAN LINEAR Jika S = { v1 , v2 ,..,vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor : (5.3) k1 v1 + k2 v2 + ...+kr vr = 0 mempunyai paling sedikit satu pemecahan yaitu, k1 = 0, k2 = 0, …, kr = 0 Jika ini adalah satu-satunya pememcahan dari (5.3), maka S dinyatakan sebagai himpunan yang bebas linear. Jika terdapat satu saja dri ki ≠ 0 , i = 1,2,…,r dan memenuhi persamaan (5.3) maka himpunan S dinyatakan sebagai himpunan yang bergantung linear (tak bebas linear) TEOREMA 5.11 Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah : (a) Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor-vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vector-vektor lainnya. (b) Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vector-vektor yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vector-vektor lain yang ada di S.

24 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra



TEOREMA 5.12 (a) Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tidak bebas linear (b) Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak bebas linear jika dan hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalia skalar dari vektor lainnya. TEOREMA 5.13 Misalkan S = { v1 , v2 ,..,vr } adalah himpunan vektor-vektor pada ℜn jika r > n, maka S tak bebas linear. 5.4. BASIS DAN DIMENSI DEFINISI 5.14 : BASIS Jika V ada;aj sebarang ruang vektor dan S = { v1 , v2 ,..,vr } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S dinyatakan sebagai basis untuk V jika (a) S adalah bebas linear dan (b) S span di V DEFINISI 5.15 Sebuah ruang vector tak nol V dinyatakan berdimensi berhingga jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor { v1 , v2 ,..,vn } yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu maka V dinyatakan berdimensi tak berhingga CATATAN 5.16 Ruang vektor nol dianggap sebagai ruang berdimensi berhingga, walaupun tidak mempunyai himpunan bebas linear, dan tidak mempunyai basis, serta didefinisikan berdimensi nol.

TEOREMA 5.17 Jika S = { v1 , v2 ,..,vn} adalah basis untuk ruang vector V, maka setiap himpunan dengan lebih dari n vector adalah tak bebas linear COROLLARY 5.18 Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai jumlah vektor yang sama. DEFINISI 5.19 Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdemensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. TEOREMA 5.20 (a) Jika S = { v1 , v2 ,..,vn} adalah sebuah himpunan n vekor bebas linear pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V (b) Jake S = { v1 , v2 ,..,vn} adalah sebuah himpunan n vektor yang span pada ruang V yang berdimensi n, maka S adalah basis untuk V.

Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 25

Diktat Aljabar Linear (c) Jika S = { v1 , v2 ,..,vr} adalah sebuah himpunan bebas linear pada ruang V yang berdimensi n dan r < n , maka S dapat diperbesar menjadi basis untuk V, yaitu vektorvektor vr+1, ..., vn sedingga { v1 , v2 ,..,vr, vr+1, …, vn} adalah sebuah basis untuk V.

5.5. RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS, RANK DAN PENERAPANNYA UNTUK MENCARI BASIS DEFINISI 5.21: Tinjaulah matriks mxn A= Vektor-vektor :

 a11  a 21  !   a n1

a12 a 22 a n2

" a1n  " a 2 n  !   " a nn 

r1 = (a11, a12, .., a1n) r2 = (a21, a22, .., a2n) !

rm = (am1, am2, .., amn) terbentuk dari baris-baris A yang dinamakan sebagai vektor baris dari A, dan vektor– vektor :

c1 =

 a11     a 21  , c2 =  !    a m1 

 a12     a 22  ,  !    a m 2 

… , cn =

 a1n     a 2n   !    a mn 

terbentuk dari kolom-kolom dari A yang dinamakan sebagai vektor–vektor kolom dari A. Subruang ℜn yang span oleh vektor –vektor baris ini dinamakan sebagai ruang baris (row space) A dan subruang ℜm yang span oleh vektor –vektor kolom dinamakan ruang kolom (column space) dari A. TEOREMA 5.22 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris dari sebuah matriks. TEOREMA 5.23 Vektor –vektor baris tak nol berbentuk eselon baris dari matriks A membentuk baris untuk ruang baris A. TEOREMA 5.24 Jake A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama DEFINISI 5.25: RANK Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan Rank(A)




TEOREMA 5.26 Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain: (a) A dapat diinverskan (b) Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial (c) A ekivalen baris dengan In (d) Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x 1 (e) Det (A) ≠ 0 (f) A mempunyai rank n (g) Vektor –vektor baris A bebas linear (h) Vektor –vektor kolom A bebas linear TEOREMA 5.27 Sebuah sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom A. TEOREMA 5.28 Sebual sitem persamaan linear Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar [A|b] TEOREMA 5.29 Jika Ax = b adalah sistem persamaan linear konsisten dari m pasangan n bilangan tak diketahui, dan jika A mempunyai rank r , maka pemecahan sistem persamaan linear tersebut mengandung n-r parameter.

5.6. INNER PRODUCT SPACE (RUANG HASIL KALI DALAM) DEFINISI 5.30 Sebuah inner product pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian hingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor u,v dan w di V dan juga semua skalar k. (1) = aksioma simetris (2) = + aksioma penambahan (3) = k aksioma kehomogenan (4) ≥ 0, = 0 ! v= 0 aksioma kepositifan Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah inner product dinamakan real inner product space.

5.7. PANJANG DAN SUDUT DI INNER PRODUCT SPACE MOTIVASI: Di ℜ 2 panjang vektor u= (u1,u2) diberikan oleh u = u12 + u 22 = u.u = (u.u )1 / 2

(5.4)


Diktat Aljabar Linear DEFINISI 5.31 Jika V adalah sebuah inner product space , maka norm vektor u yang dinyatakan oleh u , dapat didefinisikan sebagai berkut : 1/2 (5.5) u = < u,u> MOTIVASI: Di ℜ 2 , jarak antara dua titik u = (u1,u2) dan v = (v1,v2) diberikan oleh : d(u,v) = (u1 − v1 ) 2 + (u 2 − v 2 ) 2 = u − v

(5.6)

DEFINISI 5.32 Jika V adalah sebuah inner product space, maka jarak antara dua titik (vektor )u dan v dinyatakan oleh d(u,v) didefinisikan oleh : d(u,v) = u − v (5.7) TEOREMA 5.33: PERTIDAKSAMAAN CAUCHI SCHWARZ Jika u dan v adalah vektor pada sebuah inner product space, maka (u,v)2 ≤ (u,u) (u,v)

(5.8)

TEOREMA 5.34 Jika V adalah inner product space, maka norm u = < u,u>1/2 dan jarak d(u,v) = u − v memenuhi semua sifat-sifat berikut : N1. u ≥ 0 D1. d(u,v) ≥ 0 D2. d(u,v) = 0 ! u = v N2. u = 0 ! u = 0 N3. ku = k u D3. d(u,v) = d(v, u) D4. d(u,v) ≤ d(u,w) + d(w,v)

N4. u + v ≤ u + v

CATATAN 5.35 Pertidaksamaan Cauchi Schwarz dapat digunakan untuk mendefinisikan sudut-sudut pada inner product space yang lebih umum. Misal u dan v adalah vektor –vektor tak nol dalam inner product space V 2

 < u, v >    ≤1  u v   

atau –1 ≤

< u, v > u v

≤1

(5.9)

Jika θ adalah sudut yang mengukur radian dari 0 hingga π, maka cos θ akan mempunyai nilai antara –1 sampai dengan 1 cos θ =

< u, v > u v

dan 0 ≤ θ ≤ π

(5.10)

DEFINISI 5.36 Dalam inner product space, dua vector u dan v dikatakan orthogonal jika = 0. Selanjutnya jika u orthogonal terhadap setiap vektor pada himpunan w maka u dikatakan orthogonal terhadap w. 28 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra



TEOREMA 5.37 Jika u dan v adalah vektor–vektor orthogonal pada inner product space maka u+v

2

= u

2

u+v

2

= (u + v ), (u + v )

+ v

2

(5.11)

Bukti: = u

2

= u

2

+ 2 u, v + v + v

2

(karena u dan v orthogonal maka = 0 )

2

5.8. BASIS ORTONORMAL , PROSES GRAM – SCHMIDT MOTIVASI Dalam banyak soal yang menyangkut ruang vektor , pemilihan basis untuk ruang tersebut sangatlah penting untuk menyederhanakan pemecahan soal yang dihadapi. Pada inner product space, sering ditemukan kasus yang pilihan terbaiknya adalah basis yang semua vektornya orthogonal terhadap vektor yang lainnya. DEFINISI 5.38: Sebuah himpunan vektor pada inner product space dinamakan himpunan orthogonal jika semua pasangan vector-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut orthogonal . Sebuah himpunan orthogonal yang setiap vektor nya mempunyai norm satu dinamakan ortonormal. Jika v adalah tak nol pada inner product space, maka menurut sifat N3 dari teorema 5.34 vektor

v v

= 1 karena

1 v = v =1 v v

TEOREMA 5.39 Jika S = { v1 , v2 ,..,vr} adalah himpunan orthogonal.dan merupakan vektor tak nol dalam inner product space, maka S bebas linear TEOREMA 5.40 Misalkan V adalah inner product space dan { v1 , v2 ,..,vn } adalah himpunan ortonormal dari vektor –vektor di V. Jika W menyatakan ruang yang span oleh v1 , v2 ,..,vn maka setiap vektor u dalam V dapat dituliskan dalam bentuk : (5.12) u = w1 + w2 dimana w1 terletak di W dan w2 ortogonal terhadap W dengan memisalkan (5.13) w1 = v1 + v2 + … + vr dan w2 = u- v1 - v2 - … - vr


Diktat Aljabar Linear TEOREMA 5.41 Setiap inner product space berdimensi berhingga tak nol mempunyai sebuah basis ortonormal. Bukti : Langkah 1: Misalkan v 1 =

u1 u1

vektor v1 mempunyai norm satu.

Langkah 2: Untuk membangun vektor v2 yang memiliki norm satu dan orthogonal terhadap v1 , hitunglah komponen u2 yang orthogonal terhadap ruang w1 yang span oleh v1 , lalu normalkan komponen u2 tersebut. v2 =

u 2 − u 2 , v1 v1 u 2 − Pr oy w1u 2 = u 2 − Pr oy w1u 2 u 2 − u 2 , v1 v1

v3 =

u 3 − u 3 , v1 v1 − u 3 , v 2 v 2 u 3 − Pr oy w 2 u 3 = u 3 − Pr oy w 2 u 3 u 3 − u 3 , v1 v1 − u 3 , v 2 v 2

!

dan seterusnya. Proses inilah yang dinamakan sebagai proses Gram-Schmidt


5. RUANG-RUANG VEKTOR

Recommend Documents