5. D sledky zákona zachování energie 5.1 Pohyb lyža e po sjezdovce 5.1.1 Zadání úlohy Lyža sjíždí ze svahu po sjezdovce o svislé výšce h0 = 80 m. Na za átku sjezdu je jeho rychlost nulová. Jaká je jeho rychlost v na konci sjezdovky23? (T ení a odpor vzduchu zanedbejte; použijte zaokrouhlenou hodnotu tíhového zrychlení g = 10 m.s-2) Tedy:
výška horního okraje sjezdovky výška dolního okraje sjezdovky rychlost lyža e na za átku sjezdu rychlost lyža e na konci sjezdu hmotnost lyža e tíhové zrychlení
… … … … … …
h0 = h = v0 = v = m g =
80 m 0m 0 m.s-1 ? 10 m.s-2
5.1.2 Podrobný zápis ešení Zákon zachování celkové mechanické energie se zpravidla zapisuje ve tvaru E p Ek
nebo a po rozepsání mgh
konst.
E p Ek
E p0 E k0
1 2 mv 2
m g h0
1 m v 02 . 2
Tuto rovnici je možné vyd lit hmotností lyža e m a vynásobit dv ma a dále upravit: v2
2 gh v
v 02
2 g h0
2 g h0
h
v 02
Obecné ešení m žeme dále zjednodušit, když si uv domíme, že h = 0 a v0 = 0: v
2 g h0
5.1.3 Zjednodušený zápis ešení Pokud si hned na za átku ešení uv domíme, že kinetická energie na po átku pohybu lyža e je nulová (Ek0 = 0) a naopak p i dojezdu na dolní okraj sjezdovky má lyža nulovou potenciální 23 P itom v bec nezáleží na tvaru sjezdovky. Tedy nemusíme se omezovat na pohyb po naklon né rovin . Na pohyb po naklon né rovin bychom se však museli omezit, pokud bychom úlohu ne ešili pomocí zákona zachování energie, ale pomocí rozklad tíhy lyža e a z toho plynoucího rovnom rn zrychleného pohybu. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
33
energii24 (Ep = 0):
Ek
E p0
1 2 mv 2 v
m g h0 2 g h0
Zjednodušený zápis vede rychleji k cíli, ale také nás snadno svede ke zjednodušené formulaci: „Potenciální energie lyža e se prom ní na kinetickou energii.“ Musíme si však uv domovat, že situace je ve skute nosti o n co složit jší. Tíhové pole Zem koná práci, když urychluje lyža e po sjezdovce. P itom se o tuto vykonanou práci sníží potenciální energie lyža e v tíhovém poli (pole koná práci) a zárove se o stejnou vykonanou práci zvýší kinetická energie lyža e (lyža spot ebovává práci). 5.1.4
íselné ešení a omezení zvoleného fyzikálního modelu
Dosazením do obecného ešení dostáváme v
2 g h0
2 . 10 m.s
2
1600 m2. s
. 80 m
2
40 m.s
1
.
To je ovšem dost vysoká, ale ješt reálná rychlost v = 40 m.s-1 = 144 km.h-1. Kdyby však byla svislá výška sjezdovky v tší, nap . h0 = 500 m, vyšla by rychlost lyža e na konci sjezdovky v = 100 m.s-1 = 360 km.h-1, což je už naprosto nereálné. Lyža i ve speciálních aerodynamických oblecích dosahují maximální rychlosti okolo 200 km.h-1, v tší rychlost jim nedovolí dosáhnout odpor vzduchu. Musíme tedy dob e zvážit, kdy lze zjednodušený fyzikální model použít a kdy by zjednodušení (nap . zanedbání t ení i odporu vzduchu) vedlo k naprosto nesprávným výsledk m.
5.2 Rovnováha na dvojzvratné páce Pro dvojzvratnou páku se asto vyvozuje podmínka rovnováhy z rovnosti moment sil (v p íklad na obrázku rovnosti moment tíhy G1 a tíhy G2), protože výsledný moment je pro rovnovážný stav roven nule, tedy M1 M2 0 M1 r1 G1 r 1 G 1 sin
π 2
α
M2 r2
25
)
g2
r 2 G 2 sin
π 2
α
a protože siny obou úhl lze goniometrickými úpravami p evést na cos α, m žeme rovnici zjednodušit na tvar 24 Samoz ejm p i vhodné volb vztažné soustavy a nulové hladiny potenciální energie (na konci sjezdovky). 25 Moment síly M2 by otá el pákou ve sm ru hodinových ru i ek, což je dohodnutý záporný sm r, proto je p ed ním znaménko mínus, které záporný výsledek obrátí. Naopak moment síly M1, p sobící proti sm ru hodinových ru i ek je sám o sob kladný. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
34
pro síly p sobící na páku a pro hmotnosti závaží
r1 G1 cosα = r2 G2 cosα
/ : cosα
r1 G1 = r2 G2 r1 m1 g = r2 m2 g r1 m1 = r2 m2
/:g
Podmínku rovnováhy na dvojzvratné páce m žeme ovšem snadno vyvodit ze zákona zachování energie. Navíc p i takovém vyvození nemusíme uvažovat vektorov , takže je i pro mén matematicky zdatné žáky snáze pochopitelné. P edstavme si, že se dvojzvratná páka pooto í z polohy znázorn né na obrázku do p esn vodorovné polohy (nazna ené árkovanou árou). K pooto ení posta í nepatrná síla, kterou m žeme zanedbat (pouze k p ekonání t ení v bod otá ení páky). Rovnováha na páce se pooto ením neporuší. Závaží vlevo se zvedne o rozdíl výšek h1 a jeho potenciální tíhová energie se zvýší o ∆E1 = G1 h1, závaží vpravo klesne o rozdíl výšek h2 a jeho potenciální tíhová energie klesne o ∆E2 = G2 h2:
∆E1
pro síly p sobící na páku a pro hmotnosti závaží
= G1 h1 = G1 h1 : sinα =
∆E2 G 2 h2 G2 h2 : sinα
G1 r1
=
G 2 r2
m1 g r1 m1 r1
= =
m 2 g r2 m 2 r2
/ : sinα
26
)
/:g
Podobným zp sobem je možné odvodit ze zákona zachování energie rovnice popisující fungování dalších jednoduchých stroj , a se jedná o další stroje vysv tlované pomocí moment p sobících sil (jednozvratná páka, kladka pevná, kladka volná, kladkostroj, kolo na h ídeli), nebo o jednoduché stroje ešené rozkladem tíhy b emene na dv navzájem kolmé složky (naklon ná rovina, šroub).
26 Ob strany rovnice m žeme vyd lit libovolným íslem r zným od nuly. Toto vyd lení se nám hodí, abychom p ešli od vertikálního posunutí závaží k délkám ramen dvojzvratné páky. Tíhu G a posunutí h m žeme také psát jako vektory. Zm na energie ∆E je pak skalárním sou inem t chto dvou vektor . Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
35
5.3 Odvození vztahu pro dobu kmitu (periodu) matematického kyvadla Ve st edoškolských u ebnicích fyziky b žn najdeme odvození vztahu pro dobu kmitu matematického kyvadla pomocí sil p sobících na závaží (hmotný bod) vychýlené z rovnovážné polohy. Ukažme si, že tento vztah lze stejn snadno odvodit také pomocí zákona zachování energie. Závaží (kuli ka, hmotný bod) je p i maximální výchylce o vzdálenost h výš než p i nulové výchylce od svislého sm ru (závaží visící voln k zemi). P i úhlové výchylce α a délce záv su kyvadla l je tento výškový rozdíl h = l . (1 – cos α) Potenciální energie závaží ve výšce h pak je Ep = m.g.h , jestliže potenciální energii závaží v nejnižší poloze (p i nulové výchylce) zvolíme rovnu nule. Kinetická energie závaží je naopak nulová v poloze s maximální výchylkou (závaží se tam na chvíli zastaví – tzv. mrtvý bod) a maximální p i pr chodu nejnižší polohou, kdy je i rychlost pohybu závaží maximální, tedy 1 Ek m v 2m 2 Protože celková mechanická energie kývajícího se závaží se nem ní (zákon zachování), musí platit: =
Ep
2
=
mgh
2
=
2gh
Ek ½ m vm vm
vm
/.2 /:m
2 gh
Tím jsme spo ítali maximální rychlost vm závaží kyvadla. Abychom vypo ítali pr m rnou rychlost v pohybu kyvadla, musíme si uv domit, že se jedná o harmonický27 pohyb, a tedy okamžitá rychlost se m ní s asem podle funkce kosinus28: v = vm . cos (ω.t + ϕ0) Pom r mezi pr m rnou a maximální rychlostí je dán pom rem obsahu plochy ohrani ené jednou p lvlnou sinusoidy a obsahu plochy obdélníka „opsaného“ této p lvln (viz. obrázek): 27 Souvislost kmit matematického kyvadla, stejn jako kmit závaží na pružin , s rovnom rným pohybem po kružnici p edkládáme žák m jako empiricky zjišt nou skute nost, i když použijeme „klasické“ odvození pomocí rozkladu sil p sobících na závaží kyvadla. 28 Ve školské fyzice zpravidla p edpokládáme, že poloha se m ní s asem podle funkce sinus, tedy rychlost jako derivace polohy podle asu se m ní podle derivace funkce sinus, kterou je funkce kosinus. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
36
π 2
π
cos x dx v vm
cos x
π 2
2
π
2
2
π 2
x
1 dx
29
π
π 2
)
π
2
π 2
Tedy pr m rná velikost30 rychlosti závaží b hem kmitu kyvadla 2
v
π
2 gh
P i malé maximální úhlové výchylce αm m žeme délku oblouku p íslušející tomuto úhlu nahradit vodorovnou výchylkou l . sin αm a celková délka trajektorie s b hem celého kmitu („tam a zpátky“): s = 4 . l . sin αm Dobu kmitu (periodu) T pak vypo ítáme, když vyd líme délku trajektorie s pr m rnou velikostí rychlosti v b hem jednoho kmitu: T
s v
4 l sin α m 2 2 gh
π
2π
l sin α m 2 gh
2π
l 2 sin 2 α m 2g l 1
cos α m
29 Na vodorovnou osu grafu m žeme vynést as t v sekundách a na svislou osu rychlost v v metrech za sekundu. Potom plocha pod sinusoidou, resp. plocha obdélníka p edstavují dráhu s = v . t, kterou kuli ka urazí, resp. kterou by urazila, kdyby se celou dobu pohybovala maximální rychlostí. Protože celková doba pohybu je v obou p ípadech stejná, je pom r ploch sou asn pom rem pr m rné a maximální rychlosti. V obrázku je nazna eno jak m žeme integraci pro žáky nižších ro ník st ední školy nahradit se tením plochy n kolika vhodn zvolených lichob žník . Postup je popsán v matematickém dodatku odvození. 30 Hovo íme o pr m rné velikosti rychlosti, aby bylo z ejmé, že pro nás v tomto konkrétním výpo tu není podstatný sm r (znaménko) rychlosti, ale jen její velikost. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
37
2π
l 1 2g 1
cos α m 2
cos α m
2π
l 1
cos α m 2g
2π
l 1 1 2g
2π
l g
)
31
A to je známý vztah pro dobu kmitu matematického kyvadla. 5.3.1 Matematický dodatek odvození – výpo et plochy pod obloukem kosinusoidy Vra me se ješt k ploše pod obloukem („p lvlnou“) kosinusoidy. Umíme-li derivovat a integrovat, snadno pomocí ur itého integrálu vypo teme, že obsah plochy je p esn 2. Grafický význam integrálu jako plochy pod k ivkou vyjad ující ur itou funk ní závislost jsou ovšem schopni pochopit i studenti prvního ro níku st ední školy. P itom v bec nemusíme hovo it o integrálu, ale pouze o tom, že dráha je sou inem rychlosti a asu. Plochu pod kosinusoidou pak rozd líme na malé lichob žníky, na okraji zbudou trojúhelníky. Pr m rnou rychlost ve zvoleném úseku vypo ítáme, když sou et po áte ní a koncové rychlosti vyd líme dv ma. Výpo et si m žeme zjednodušit, když si uv domíme osovou soum rnost celého obrazce. Sta í nám vlastn vypo ítat plochu pod „ tvrtvlnou“ a pak ji vynásobit dv ma. Mezivýpo ty provádíme na ty i desetinná místa, výsledek potom zaokrouhlíme na t i platné íslice, což je b žn používaná p esnost p i ešení úloh ve st edoškolské fyzice. x
cos x
pr m r
plocha
p ibližn
- π/2
0,0000
0,1294
0,0339
- 5π/12
0,2588
0,3794
0,0993
- π/3
0,5000
0,6036
0,1580
Mezivýpo ty provádíme s p esností na ty i desetinná ísla.
- π/4
0,7071
0,7866
0,2059
- π/6
0,8660
0,9160
0,2398
- π/12
0,9659
0,9830
0,2573
0
1,0000
------
------
Celková plocha „ tvrtvlny“ lichob žník
=
sou et ploch
Plocha pod obloukem („p lvlnou“) kosinusoidy
Výsledek potom zaokrouhlíme na t i platné íslice.
0,9942 1,9984
2,00
5.4 Bernoulliova32 rovnice pro proud ní ideální kapaliny Ideální (tedy nestla itelná) kapalina proudí z místa „1“ ve výšce h1, kde má rychlost v1 a tlak p1 do místa „2“ ve výšce h2, kde má rychlost v2 a tlak p2. P edstavme si malé množství kapaliny, které projde pr ezem S1 a pr ezem S2 za stejný as ∆t. Protože kapalina je nestla itelná je toto množství (vyjád ené hmotností) v obou p ípadech stejné: 31 V odvození využijeme jednak vzorec z goniometrie (d sledek Pythagorovy v ty známý pod názvem „goniometrická jedni ka“) sin2x + cos2x = 1, jednak fakt, že pro malé úhly je cos αm p ibližn roven jedné. 32 Daniel I. Bernoulli (1700 až 1782), len slavného rodu Bernoulli , zakladatel hydromechaniky a kinetické teorie plyn , jeho žákem a spolupracovníkem byl vynikající matematik a fyzik Leonhard Euler (1707 až 1783). [36, 100] Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
38
m1∆t S1 v1 ∆t S1 v1
= = =
m2∆t S2 v2 ∆t S2 v2
/ : ∆t )
33
V místech „1“ a „2“ má toto množství kapaliny obecn r znou potenciální i kinetickou energii a na první pohled by se mohlo zdát, že v této situaci zákon zachování (mechanické) energie neplatí. Ale to je samoz ejm nesmysl. Pouze musíme vysv tlit zm nu stavu našeho malého množství kapaliny prací, kterou vykonají tlakové síly. V místech „1“ a „2“ je totiž r zný tlak, který p edstavuje nový typ potenciální energie – tlakovou potenciální energii kapaliny.
= = =
Zm na sou tu kinetické a tíhové potenciální energie
½ m∆t v2 + m∆t g h2 - ½ m∆t v1 2
2
E2 - E1 - m∆t g h1
Práce tlakových sil
W Fp1 s1 – Fp2 s2
Tlaková síla Fp1 koná práci ve sm ru (znaménko +) pohybu kapaliny po dráze s1 (odpovídající posunutí malého množství kapaliny, které prote e pr ezem S1 za as ∆t), tlaková síla Fp2 koná práci proti sm ru (znaménko -) pohybu kapaliny po dráze s2 (odpovídající posunutí stejného malého množství kapaliny, které však nyní prote e jiným pr ezem S2 za stejný as ∆t). ½ m∆t v22 + m∆t g h2 - ½ m∆t v12 - m∆t g h1
=
p1 S1 v1 ∆t – p2 S2 v2 ∆t
Pro další úpravu rovnice je pot eba si uv domit jednak, že m∆t = ρ . V∆t, jednak, že podle rovnice kontinuity je S1 . v1 . ∆t = S2 . v2 . ∆t = V∆t, tedy malý objem kapaliny, odpovídající malému množství (hmotnosti) kapaliny, o kterém od za átku uvažujeme: 1 ρ V ∆ t v 22 2
ρ V ∆ t g h2
1 ρ V ∆ t v 12 2
1 ρ v 22 2
ρ g h2
1 ρ v 12 2
1 ρ v 22 2
ρ g h2
p2
ρ V ∆ t g h1 ρ g h1 1 ρ v 12 2
p1 V ∆ t
p2 V ∆ t
p1
p2
ρ g h1
p1
33 Rovnice kontinuity (rovnice spojitosti tok ) Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
39
ili sou et kinetické, tíhové potenciální a tlakové potenciální energie malého jednotkového objemu kapaliny V∆t je ve všech místech proudící kapaliny stejný. Bernoulliova rovnice je p ímým d sledkem zákona zachování energie.
5.5 Airiho zákon v hydrologii Na za átku 21. století postihlo echy a Moravu n kolik ni ivých povodní. Jak je možné, že když se proud eky n kolikanásobn zv tší svou rychlost, má náhle tak ni ivé ú inky? Odpov najdeme v Perelmanov knize „Zajímavá mechanika“ [38, 150-152], kde v kapitole „Kameny unášené vodou“ uvádí tzv. Airiho zákon: Vzroste-li rychlost proudu n-krát, nabývá proud schopnosti unášet p edm ty n6-krát t žší. Perelman dokazuje Airiho zákon pro kamenné krychle pomocí moment sil. My si „vyp j íme“ krychlový tvar kamen , ale ukážeme, že Airiho zákon vyplývá ze zákona zachování energie. Tekoucí voda musí kamenu p edat takovou energii, aby se z polohy na st n (t žišt krychle je v tu chvíli ve výšce poloviny délky hrany krychle) pooto il do polohy na hran (t žišt krychle je ve výšce poloviny odmocniny ze dvou krát délka hrany krychle). Z této polohy se kámen dál valí ve sm ru proudu – je unášen vodou:
∆Ep
mg
2 1 a 2
ρkV g
2 1 a 2
Tuto energii musí kamenu p edat voda (kapalné t leso) o zhruba stejném objemu, jako je objem kamene. Kdyby totiž byl objem vody výrazn v tší, obtekla by voda voln kámen a p edala by mu jen nepatrnou ást své energie. Výrazn menší objem vody by v reálné situaci sám jen t žko zp sobil pohyb kamene. P edpokládejme tedy, že kamenem pohne kapalné t leso s objemem rovným A-násobku objemu kamene, kde A je n jaký empiricky zjistitelný koeficient závisející na tvaru kamene (nikoliv na rychlosti vodního proudu). Toto kapalné t leso „p edá“ kamenu energii (koná práci na úkor své kinetické energie): 1 ρ v AV v 2 2
∆ Ek
Pokud chceme zjistit hrani ní velikost kamen , se kterými pohne vodní proud, musíme položit kinetickou energii vodního t lesa rovnou p ír stku potenciální energie kamene (proud lehce unáší také menší kameny a kaménky, p itom zvyšuje nejen jejich potenciální, ale sou asn i kinetickou energii – ud luje jim rychlost):
∆Ep
ρkV g
2 1 a 2
∆ Ek 1 ρ v AV v 2 2
Tuto rovnici vyd líme objemem V, vynásobíme dv ma a pak upravíme:
ρk g
2 1 a
ρ v A v2
Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
40
ρv A
a
ρk g
2 1
v
2
Všechny veli iny v itateli i ve jmenovateli jsou konstanty. Lze tedy konstatovat, že lineární rozm ry kamen jsou p ímo úm rné druhé mocnin rychlosti: v2
a
A protože objem kamenné krychle V = a3, umocníme ob strany úm rnosti t emi a dostáváme vztah, který je matematickým vyjád ením Airiho zákona: 3
v
V
v
6
m
v
6
a
6
Vzroste-li rychlost proudu n-krát, nabývá proud schopnosti unášet p edm ty n6-krát t žší, ili hmotnost nejt žších p edm t unášených proudem je p ímo úm rná šesté mocnin rychlosti proudu.
5.6 Rychlost družice pohybující se po eliptické dráze okolo Zem Nejprve se soust edíme na jednodušší porovnání rychlosti družice v perigeu p (místo nejblíže Zemi) a apogeu a (místo nejvzdálen jší od Zem ). Vzdálenost družice o hmotnosti m od st edu planety Zem o hmotnosti M je v perigeu dána rozdílem délek hlavní poloosy a excentricity elipsy a – e, v apogeu naopak jejich sou tem a + e. Celková mechanická energie (sou et34 kinetické a potenciální energie) z stává stejný:
κ M m
1 2 m vp 2
a e 2 κ M a e
v 2p
v 2p v 2a
a2
a e
2 κ M a e
v 2a
2 κ M a e
v 2p a 2 e 2
κ M m
1 2 m va 2
v 2a a 2 e 2
2 κ M a e
4 κ M e
e2
V rovnici máme stále dv neznáme va a vp. Abychom se jedné z nich zbavili, musíme šikovn použít II. Kepler v zákon35 (zákon ploch), ze kterého plyne substituce vp = va . (a + e)/(a – e) 2
va
a e a e
2
1
a
2
e
2
4 κ M e
34 Nedejme se splést znaménkem mínus. To pat í k potenciální energii t lesa v radiálním gravita ním poli. Skute n se zde jedná o sou et (nikoliv rozdíl) kinetické a potenciální energie. 35 Vezmeme-li malé okolí apogea a perigea, m žeme si plochy p edstavit jako malé trojúhelníky – jeden se základnou vp . ∆t a výškou a – e, druhý se základnou va . ∆t a výškou a + e. Plocha obou trojúhelník je stejná, rovnost vynásobíme dv ma a vyd líme ∆t a jednoduchou úpravou dostaneme uvedenou substituci. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
41
a 2 2 ae e 2 a 2 2 ae e 2 v a e 2 a e 2 a
v 2a
4 ae a e a e
4 κ M e
a a e a e
2
va
4 κ M e
a e
κ M
κ M a e
2
va
a a e
κ M a e
va
a a e
A ješt jednou použijeme substituci vyplývající z II. Keplerova zákona: vp
a e v a e a
a e a e
κ M a e
κ M a e
a a e
a a e
a e 2 a e
2
κ M a e a a e
Složit jší je odvození vztahu pro rychlost v libovolném míst eliptické trajektorie družice. Problém je v tom, že vektor rychlosti zde obecn není kolmý k pr vodi m (jako v perigeu a apogeu). Odvodíme ješt jeden speciální p ípad. Vypo teme rychlost v bodech, kde eliptickou dráhu družice protínají vedlejší poloosy elipsy. Tyto body nemají zvláštní název jako perigeum a apogeum (to jsou pr se íky elipsy s hlavními poloosami elipsy), rychlost družice v t chto bodech ozna me vc, vzdálenost družice od centra je rovna délce hlavní poloosy a. Z II. Keplerova zákona (zákona ploch) pro pom r druhých mocnin rychlostí plyne vp2 = v2 . (a + e) / (a – e) : 1 m v 2p 2 2
vp
v c2 a 2
a e a a e a e
v 2c a e
1 m v c2 2
a e 2 κ M a e 2 κ M a
v 2p a a e v 2c
κ M m
2 κ M a
v c2 a a e v c2 a a e
v 2c a 2
2 v c2 a e v c2 a vc
a
2 κ M a
2
vc
2 κ M a
κ M m
v c2 a e
2 κ M a e 2 κ M a e
2 κ M a
2 κ M e
2 κ M e
κ M κ M a
Zcela obecný vztah uvedeme bez odvození36: 36 Vyjád it obecn sinus úhlu, který svírá pr vodi s vektorem rychlosti družice, je velmi složité. Toto odvození by šlo jednozna n nad rámec st edoškolské matematiky. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
42
κ M
v
2 r
1 a
A ov íme, že vyhovuje všem t em d íve odvozeným speciálním p ípad m. Nejprve pro perigeum dosadíme r = a – e: vp
κ M
2 a e
1 a
κ M
2a a e a a e
κ M
a e a a e
1 a
κ M
2a a e a a e
κ M
a e a a e
Pro apogeum r = a + e : va
κ M
2 a e
Pro bod c je r = a : vc
κ M
2 a
1 a
κ M
1 a
κ M a
5.7 Kámen klouzající po hladké kulové ploše V Hajkov vysokoškolské u ebnici [13] je ada p kných úloh, ešitelných pomocí zákona zachování energie i na st edoškolské úrovni. Uvádím dv související úlohy. 5.7.1 Zadání první úlohy Na vrcholu dokonale hladké koule je hmotný bod v metastabilní poloze. Když ho vychýlíme z rovnovážné polohy, bude se pohybovat nejprve po povrchu koule. V jaké vzdálenosti od vrcholu koule opustí hmotný bod její povrch a v jaké vzdálenosti od svislého pr m ru koule dopadne na vodorovnou podložku, když polom r koule r = 1,5 m? [13, 59] 5.7.2
ešení první úlohy
ešení je podrobn popsáno v u ebnici [13, 59-61], proto uvádím pouze hlavní myšlenky ešení a výsledky. V míst , kde se hmotný bod odpoutá od povrchu koule se musí normálová složka jeho tíhy (složka mí ící do st edu koule) rovnat odst edivé síle. Polohu tohoto místa ur íme pomocí úhlu ϕ, který svírá jeho sm r ze st edu koule se svislým sm rem. Pomocí rovnice, která popisuje zákon zachování celkové mechanické energie hmotného bodu, odvodíme, že 2 cos ϕ . 3 Odtud snadno dopo ítáme velikost úhlu ϕ a z n j délku kruhového oblouku, který p edstavuje trajektorii hmotného bodu b hem pohybu po povrchu koule (s = 1,1 m). Po odpoutání od koule m žeme pohyb hmotného bodu ešit samostatn ve svislém sm ru (rovnom rn zrychlený pohyb) a ve vodorovném sm ru (rovnom rný pohyb). Z rovnice pro svislý sm r ur íme as t, který uplyne mezi odpoutáním od koule a dopadem na vodorovnou rovinu (t = 0,51 s). Nakonec vypo teme dráhu ve vodorovném sm ru a z ní vzdálenost místa dopadu od svislého pr m ru koule (d = 2,20 m). Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
43
5.7.3 Zadání druhé úlohy Kámen A je na vrcholu hladkého t lesa tvaru polokoule s polom rem R. Ud líme mu po áte ní rychlost hodnoty v0 ve vodorovném sm ru. Máme ur it, v kterém míst opustí kámen povrch polokulovitého t lesa. P i jakých hodnotách v0 opustí kámen povrch polokoule v po áte ním okamžiku? (T ení zanedbejte!) [13, 72] 5.7.4
ešení druhé úlohy
Celková mechanická energie E0 kamene v po áte ním okamžiku (na vrcholu koule) je 1 2 m v0 2
E0
mgR
v okamžiku odpoutání od povrchu polokoule (když urazil po kružnici úhlovou dráhu ϕ) má kámen celkovou mechanickou energii E1 1 m v 12 2
E1
mgR cos ϕ
(*)
Vezmeme-li v úvahu, že v míst , kde se kámen odpoutá od povrchu polokoule se normálová složka jeho tíhy (složka mí ící do st edu koule) rovná odst edivé síle, dostaneme rovnici, z níž vyjád íme tverec rychlosti v1. Ten pak dosadíme do rovnice (*): 2
v1 m R
mg cos ϕ
2
v1
gR cos ϕ
3 mgR cos ϕ 2
E1
Ze zákona zachování energie plyne, že celková mechanická energie z stává stále stejná
E1 3 mgR cos ϕ 2
E0
1 2 m v0 2
3 gR cos ϕ
2
v0
cos ϕ
2 m
mgR 1 Rg 3
2 gR
v 02 3 Rg
2 3
Z výsledného vzorce pro kosinus ϕ vidíme, že kámen bude po polokouli klouzat maximáln o úhel ϕ, jehož kosinus je dv t etiny, tedy ϕmax = 48° 11'. Minimáln o úhel jehož kosinus je roven jedné, tedy ϕmin = 0. Z toho lze také ur it mezní hodnotu rychlosti v0. P i rychlostech v tších než mezní opustí kámen povrch polokoule hned v po áte ním okamžiku. v 02 m R
mg
v0
gR
37
)
37 V Hajkov sbírce úloh [13, 72] je u výsledku této ne ešené úlohy chyba v tisku – chybí symbol odmocniny. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
44
5.8 Výpo et druhé kosmické rychlosti V Hajkov sbírce je také p kné vyvození druhé kosmické rychlosti [13, 65-66]: 5.8.1 Zadání úlohy vedoucí na výpo et druhé kosmické rychlosti T leso bylo vrženo ze zemského povrchu svisle nahoru rychlostí v0. Do jaké výšky vystoupí a jaká by musela být minimální po áte ní rychlost v0, aby t leso nespadlo zp t na Zemi? (Odpor vzduchu zanedbejte!) 5.8.2 Citace ešení (p eklad ze slovenštiny) Použijeme zákon o zachování mechanické energie. Celková energie t lesa v míst vrhu je dána kinetickou energií t lesa. V maximální výšce h, kterou t leso dosáhne, je zase celková energie dána potenciální energií t lesa. Pokud uvažujeme potenciální energii t lesa vzhledem k povrchu Zem , m žeme psát: 1 m v 02 2 Protože
g
κM R
2
κ mM
1 R h
1 R
, m žeme p edcházející rovnici upravit na tvar 1 2 m v0 2
mgR
Odtud pro hledané h vyplývá: h
v 02 2 gR v 02
h R h
R
Podmínkou pro to, aby se t leso nevrátilo zp t na Zemi, je, aby se h = ∞ (respektujeme jen vliv zemského gravita ního pole), tj. 2gR – v02 = 0 takže po áte ní rychlost musí mít hodnotu minimáln v0
2 gR
11 200 m.s
1
což je druhá kosmická rychlost.
Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyu ování fyzice)
45
