1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki

1. hét 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B 2. Fejezzük ki (a) A \ B -t a n és [ m½uveletével!

(b) A [ B -t a \ m½uveletével és az

A; B halmazra vonatkozó komplementer képzéssel!

3. Mikor teljesülhet: (a) A \ B = A

(b) A [ B = A 4. Legyen F = f] lumaival!

1; a[ ]

5. Legyenek A1 A2 ; halmazokat, amivel

1; b[j a; b 2 Rg

2

2R ; fejezzük ki az [5; 10[ [3; 4[ intervallumot F2 interval-

egy H halmazgy½ur½u elemei, adjunk meg olyan B1 ; B2 ;

2 H páronként diszjunkt

[ni=1 Ai = [ni=1 Bi : 6. Legyen

= [0; 1], milyen struktúrát alkotnak az alábbi halmazrendszerek?

k ; 10l [j k (a) A = [ 10

l = 0; 1;

; 10 ;

(b) B = f[ni=1 Ai j Ai 2 Ag ; (c) C = fA

j A véges halmazg ; mi lesz

(e) E = fA

j A véges vagy megszámlálhaztó halmazg ; mi lesz

(d) (f)

7. Ha

-algebra-e D = fA

-algebra-e F = fA

(C) ;

j A vagy Ac 2 Cg ;

(E) ;(+2p)

c

j A vagy A 2 Eg ;

a kockadobás lehetséges eredményeinek halmaza, hány eseménye van a 2 halmazalgebrának?

8. Adjunk meg 16 elem½u -algebrát! 9. Legyenek A; B

; adjuk meg (fA; Bg)-t!

1

2. hét j A vagy Ac megszámlálhatóg ; milyen tulajdonságúak a következ½o hal-

1. Legyen = [0; 1]; A = fA mazfüggvények: 1 (A)

2. Legyen

=

0 ha A véges +1 egyébként

2 (A)

0 ha A megszámlálható +1 egyébként

=

= R; milyen tulajdonságú a 1 ha 0 2 A 0 egyébként

(A) =

A

R

halmazfüggvény? 3. Legyen

véges, n elem½u halmaz és A = 2 , milyen tulajdoságú a következ½o halmazfüggvény:

(A) = A (A) = 4. Legyen

n

A

? ?

= R és A = 2 , milyen tulajdoságú a következ½o halmazfüggvény: (A) =< A elemeinek száma > A

5. Milyen tulajdonságú a

halmazfüggvény, ha

(a)

= N, és (A) =< A elemeinek száma>

(b)

= R, és (A) =< A \ N elemeinek száma>

(c)

= R, és (I) = b

R?

a I intervallum, a

A

N; A

R;

b 2 Rb végpontokkal;

6. Legyen F : R ! R+ 0 monoton nem csökken½o, balról mindenütt folytonos függvény. Igazoljuk, hogy a : f]

1; c[j2 Rg ! R

(]

1; c[) 7! F (c)

halmazfüggvény egyértelm½uen egyértelm½uen meghatároz egy gvénnyt a (a) F = f[a; b[j a

b; b 2 Rg félgy½ur½un;

(b) I = f[a; b[; [a; b]; ]a; b[; ]; ]a; b] j a

-véges, folytonos és additív halmazfüg-

b 2 Rg félgy½ur½un; (+3p)

2

3. hét 1. Legyen F : R ! R monoton nem csökken½o, balról mindenütt folytonos függvény. Igazoljuk, hogy a : f[a; b[j2 Rg ! R

([a; b[) 7! F (b)

halmazfüggvény egyértelm½uen egyértelm½uen meghatároz egy gvénnyt a (a) F = f[a; b[j a

-véges, folytonos és additív halmazfüg-

b; b 2 Rg félgy½ur½un;

(+2p) I = f[a; b[; [a; b]; ]a; b[; ]; ]a; b] j a 2. Legyen

F (a)

b 2 Rg félgy½ur½un;

= f1; 2; 3; 4; 5; 6g; A = 2 ; :Mérték-e a (A) =

maxfk j k 2 Ag ha ; = 6 A2A 0 ha ; = A

halmazfüggvény? 3. Legyen

a számegyenes B Borel halmazain az F (x) =

x3 ha x 0 1 + x3 ha 0 < x

eloszlásfüggvény által meghatározott mérték. (a) Véges mérték-e ? (b) Számítsuk ki: ([0; 10[) (]0; 10[) ([ 1; 1]) 4. Legyen a

: B ! R halmazfüggvény olyan, hogy ([a; b]) =

Z

b

1

x2 dx :

a

Adjuk meg -t két mérték különbségeként! 5. Legyen a

mérték az F elsozlásfüggvény által meghatározott mérték, azaz

(a) F (x) = x2

x

0 ([a; b[) = F (b)

(b) F (x) =

0 1

1 2x

F (a) :

ha x 1 ha x > 1

Adjuk meg az alábbi halmazok mértékét: [0; 2[; ]2; 4]; [ 10; 5]; R+ ; ]2; +1] 6. Legyen

= R2 ; F2 = f[a; b[ [c; d[j a

b; c

d 2 Rg, additív-e a

([a; b[ [c; d[) = b halmazfüggvény? 3

a

7. Legyen

a számegyenes B Borel halmazain az F (x) =

1 2+x2

2

e

x

ha x 0 ha 0 < x

eloszlásfüggvény által meghatározott mérték. (a) Véges mérték-e ? (b) Számítsuk ki: ([0; ln 10[) (]0; 1[) ([ 1; 1]) 8. Válasszunk találomra két számot a [0; 1] intervallumból, és az (a)

= [0; 1] intervallum rész-intervallumainak mértéke legyen (I) = P (a két szám maximuma 2 I) ; adjuk meg

+3p

= [0; 1]

(kiterjeszésének) eloszlásfüggvényét! Megadható-e hozzá s½ur½uségfüggvény? [0; 1] intervallum rész-intervallumainak mértéke legyen (I

adjuk meg

J) = P (a két szám maximuma 2 I

és az els½onek választott 2 J) ;

(kiterjeszésének) eloszlásfüggvényét! Megadható-e hozzá s½ur½uségfüggvény?

4

4-5. hét 1. Legyen Z (a) (b)

R egy véges vagy megszámlálható halmaz, ellen½orízzük, hogy P (A) = z2A\Z 1 P P (A) = z2A\Z pz ahol pz > 0 és z2Z pz = 1

-véges mértékek B-n, és valószín½uségi mérték, azaz (R) =1: Vázoljuk eloszlásfüggvényeiket, ha Z = f1; 2; ; N g illetve Z = N. 2. Legyen (a) A =

(b) A =

= R, mik lesznek a mérhet½o függvények, ha (] (]

1; 0[; [0; +1[)

1; 0[; [0; 1[; [1; 2[; [2; 3[; [3; +1[)

3. Adjuk meg az Af

-algebrát és a 2)2

(a) f (x) = (x

(b) f (x) = [x] x 2 (c) f (x) = x2

x2

4. Adjuk meg az Af (a) f (x) = (x

2)2 x2

mértéket, ha

= f1; 2; 3g

= [1; 4[

= [0; 2[

-algebrát és a

(b) f (x) = [x] x 2 (c) f (x) = x2

x2

f

x2

A=2

A = B[1;4[

A = B[1;2] f

= [0; 2[

=m

=m

mértéket, ha

= f1; 2; 3g

= [1; 4[

a "számláló" mérték;

A=2

A = B[1;4[

A = B[1;2]

a "számláló" mérték;

=m

=m

Ismétl½o feladatok 1. Milyen feltétel mellett teljesül: A [ (B \ Ac ) = B 2. Legyenek A; B 2 , ellen½orízzük, hogy Ac ; A r B; A \ B teljes eseményrendszer, azaz az

egy diszjunkt halmazokra történ½o partíciója!

3. Hozzuk egyszer½ubb alakra az (A [ B) \ (C [ B) kifejezést, ha A

B

C.

4. Legyenek F = [1; 5[2 R G = [2; 4[2 R H = [4; 15[2 R I = [ 2; 3] 2 R J =]1; 3[2 R (a) Írjk fel az F r G; F \ Gc \ H c illetve I r J; I \ J c \ H c halmazokat páronként F beli illetve I beli intervallumok úniójaként! (b) Állítsuk el½o az F; G; H halmazokat a f[ 1; c[j c 2 Rg halmazrendszer elemeivel! 5

5. Legyenek F = [1; 5[ [3; 10[2 R2 G = [2; 4[ [5; 12[2 R2 I = [ 2; 3] ]0; 5[2 R2 J = [0; 2] ]1; 3[2 R2

H = [4; 15[ [2; 3[2 R2

(a) Írjk fel az F r G; F \ Gc \ H c illetve I r J; I \ J c \ H c halmazokat páronként F2 beli illetve I2 beli intervallumok úniójaként! (b) Állítsuk el½o az F; G; H halmazokat a f[ 1; c[ [ 1; d[j c; d 2 Rg halmazrendszer elemeivel! 6. Legyen = [0; 5], milyen halmazok alkotják, és hány eleme van a algebrának? 7. Kockát gurítunk, és vezessük be a kimenetelek

(f[0; 1[; [1; 2[; [2; 3[; [3; 4[g)

-

= f1; 2; 3; 4; 5; 6g halmazában a következ½o eseményeket:

A0 = ; Ak az eredmény legfeljebb k

k = 1; 2; 3; 4; 5; 6 :

(a) Halmazgy½ur½ut alkot-e a H = fAk j k = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g? 8. Egy tanulócsoport tagjai közül öten nem beszélnek idegen nyelvet, 8 tanuló legalább egy, 4 tanuló legalább két és 2 tanuló három idegen nyelvet beszél. Hány f½os a tanulócsoport? 9. Legyen f (x) = (x -án?

2)2

x2

= f1; 2; 3g, adjuk meg Af -et! Mi lesz

f,

ha

a "számláló" mérték

10. Legyen f (x) = [x] x 2 -ra?

= [1; 4[, adjuk meg Af -et! Mi lesz

f,

ha

a Lebesgue mérték lesz½ukítése

11. Legyen f (x) = x2 -ra?

= [0; 2[, adjuk meg Af -et! Mi lesz

f,

ha

a Lebesgue mérték lesz½ukítése

x2

6

6. hét 1. Legyen Z (a) (b)

R egy véges vagy megszámlálható halmaz, ellen½orízzük, hogy P (A) = z2A\Z 1 P P (A) = z2A\Z pz ahol pz > 0 és z2Z pz = 1

-véges mértékek B-n, és valószín½uségi mérték, azaz (R) =1: Vázoljuk eloszlásfüggvényeiket, ha Z = f1; 2; ; N g illetve Z = N. [x]

1) az 1.a. feladat mértéke, f (x) = ([x]+1 x 0, számítsuk ki, ha létezik Z 1 Z 1 f (x) d (x) f 2 (x) d (x) :

2. Legyne

0

3. Lgyen

0

az 1.b. feladat mértéke, és számítsuk ki az Z 1 x (dx)

Z

1

1

x2 d

1

integrálok értékét, ha (a) Z = f1; 2; 3;

; ng

(b) Z = fx1 ; x2 ;

pk =

; xn g

(c) Z = f0; 1; 2; 3;

g

k 2 Z; 1 n

p k = p xk =

; ng

(d) Z = f0; 1; 2; 3;

1 n

n k

pk =

pk =

k

k!

pk (1

f (x) =

p)n

k

k 2 Z ; ahol 0 < p < 1;

k 2 Z ; ahol 0 < ;

e

+4p Legyen

xk 2 Z;

( 1)n n+1

ha n

0

x
számítsuk ki a számegyenesen az f függvény (a) (Riemann-) improprius integrálját, (b) Lebesgue mérték szerinti integrálját, ha létezik! (+3p) Ha F egy véges mérték eloszlásfüggvénye B-n, mutassuk meg, hogy csak legfeljebb megszámlálhatóan sok helyen lehet szakadása, theát m.m. folytonos! 4. Legyen a

mérték a 8 < 0 x a (a) F (x) = : b a 1

(b) F (x) =

0 e

1

(c) F (x) = (x) = (d) F (x) =

1 2

+

1

számegyenes Borel halmazain az ha x a ha a < x ha b < x x

Rx

b

ha x 0 ha 0 < x

p1 1 2

e

x2 2

a
2R

dx

arctan x

eloszlásfüggvény által meghatározott Lebesgue-Stieltjes mérték, számítsuk ki az Z 1 Z 1 x dF (x) x2 dF (x) 1

1

integrálokat, ha léteznek. 7

5. Legyen

X

(A) =

1 n

(A) =

(Q)

([0; 3[)

n2A\N+

Számítsuk ki! (a)

([0; 1[)

([0; 3[)

(b) F (x) = (] (c) (d) (e)

x dF (x) [0;3[

R1

1

(a) (b) (c)

0

1 2

([0; 1[) d dm R1 0

([0;

7. Legyen F (x) = x2 (a) (b) (c)

([0; 1[) d dm R1 x 0

dF (x)

1

+

x dF (x)

R

R1

dF (x)

6. Legyen F (x) =

;

p

15])

1 A

R

n2A\N+

(]

;

p

15])

(Q)

([0; 1[)

1; x[) x 2 R

d d

R

(]

X

R3

x2 d [0;3[

0

( 1)[x] dF (x)

3[)

R0

1

(]

x dF (x)

;

p

3 ]) 3

R1

1

x 2 [0; 1], (A) =

(Q\[0; 1])

0

0

R3 0

x2 dF (x)

R1

1 0 x

R

x2 d

( 1)[x] dF (x) n

arctan x x 2 R, (A) =

p

R1

x2 d R1

(Q)

R

A

dF

R3 0

R1 0

x2

( 1)[x] n

d d

d d d

d

A 2 B, számítsuk ki, ha van értelme:

x dF (x) A

dF

dF (x)

A 2 B[0;1] , számítsuk ki, ha van értelme:

R1 0

8

x

3

dF (x)

7. hét 1. Válasszunk egy pontot az = [0; 1] [0; 1] intervallumban a geometriai valószín½uség szerint, és jelölje X(u; v) = maxfu; vg (u; v) 2 . Számítsuk ki az Z ZZ p p X dm x dPX [0;1]

integrálokat! 2. Legyen a

Borel-mérték az

8 <

ha x 0 ha 0 < x 1 F (x) = : ha x > 1 R eloszlásfüggvénnyel de…niált mérték, és számítsuk ki az B f (x) dF (x) integrált, ha (a) f (x) = x x 2 R

x 6= 0 1 x=0 x 6= 0 0 x=0

3. Számítsuk ki: R2 x d cos x 0 R1 tx e d(1 e 0 4. Számítsuk ki: Z Z

B=R; [0; 1]; ]0; 1[; ]0; +1[

R1p 0

x

Z

x d ln x R1 d

)jt=0

dt

Z

2 2 d x y+xy 2

0

R1 1

1 x

d ln x

et x d(1

Z

xy d x

Z

Z

e

x

)jt=0

d2 dt2

R1 0

2 2

x sin y dx y

[0;1] [0; 2 ]

x

)jt=0

2

x sin y dx2 y 2

[0;1] [0; 2 ] x 2y

=e

x

x x2 2

0

dP (x) dm

=

dP (x) dm

= 1 x 2 [0; 1]

6. Legyen

e

2 y+xy 2

5. Legyem m a számegyenesen a Lebesgue mérték, számítsuk ki az dP (x) dm

et x d(1

[0;1] [0;1] x y

[0;1] [0;1]

Z

1 12

B=R; [0; 1]; ]0; 1[; ]0; +1[

1 x

(c) f (x) =

0 + 1

B=R; [0; 1]; ]0; 1[; ]0; +1[

1 x

(b) f (x) =

5 x 6

p1 2

e

R1

1

etx dP integrált, ha

x2R

az origó k½ozéppontú egységsugarú körlemez, P (A) = X(x; y) = x

Y (x; y) = y

(a) Mi lesz A(X;Y ) ?

(b) Adjuk meg X; Y; (X; Y ) eloszlásfüggvényét! (c) R2 -en szorzatmértéket határoz-e meg (X; Y )?

9

m2 (A)

A 2 B2 . Legyenek továbbá

(x; y) 2

:

(d) Adjuk meg R =

p

X 2 + Y 2;

(e) A(X;Y ) -mérhet½o-e (R; )?

=

8 > > < > > :

0 arccos X R + arccos X R

ha ha ha ha

X 0Y =0 X<0Y =0 ; (R; ) eloszlásfüggvényét! Y >0 Y <0

(f) R2 -en szorzatmértéket határoz-e meg (R; )?

(g) Számítsuk ki a következ½o integrálokat! RR p R p X 2 + Y 2 dP x2 + y 2 dF(X;Y ) (x; y) R2 R R RR X dP x dF (x) x dF(X;Y ) (x; y) X R R2

10

R

RR r dF (r) r dF(X; ) (r; ') R R R2 RR r cos ' dF(X; ) (r; ') R2

8. hét 1. Vizsgáljuk az alábbi függvénysorozatok konvergencia tulajdoságait: fn (x) =

0 ha x n n ha n < x

n = 1; 2;

fn (x) =

0 ha x n 1 ha n < x n

n = 1; 2;

fn (x) = n sin x

n = 1; 2;

=R

=R (A) = m(A) A 2 B P (A) = n2A 1 A 2 B

=R

fn (x) =

0 ha x n 1 ha n < x x

n = 1; 2;

fn (x) =

0 ha x n 1 ha n < x x

fn (x) =

0 ha x n 1 ha n < x x

(A) = m(A) A 2 B

= [0; +1[

(A) = m(A) A 2 B

n = 1; 2;

= [0; +1[

(A) =

n = 1; 2;

= [0; +1[

(A) =

2. Legyen = f1; 2; ; ng; A = 2 ; f : ! R függvények?

(A) =

P

k2A

P

n2A

P

1 A2B

1 n2A n

A2B

1: Mik lesznek, és milyen struktúrát alkotnak az

P 3. Legyen = f1; 2; ; n; g; A = 2 ; (A) = k2A 1: Mik lesznek, és milyen struktúrát alkotnak az f : ! R integrálható, négyzetesen integrálható függvények? 4. Legyen

= R+ 0

A = B R+0

= m, fn (x) =

p n

x ha 0 x 1 1 ha 1 < x

n = 1; 2;

Vizsgáljuk az (fn )1 n=1 függvénysorozat konvergencia tulajdonságait! 5. Dobjunk egy érmét és válasszunk egy véletlen számot a [0; 1] intervallumban! Az X v.v. értéke legyen a választott szám, ha az érme dobás eredménye fej, és eggyel több, ha írás. Adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását! 6. Dobjunk egy érmét és egy kockát, valamint válasszunk egy véletlen számot a [0; 1] intervallumban! A kockadobás eredményét½ol függ½oen, ha a dobás hatos az X v.v. értéke legyen 0 vagy 1 az érme dobás fej ill. írás kimenetelének megfelel½oen.Adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását! 7. Adjuk meg az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvényét! ( GX (w) = E eXw

)

(3p) A momentumgeneráló függvénnyel igazoljuk, hogy két független standard normális eloszlású v.v. négyzetének összege exponenciális eloszlású!

11

9-10. hét 1. Válasszunk két véletlen számot (egymástól függetlenül) a [0; 1] intervallumban, és adjuk meg az (X; Y ) : [0; 1] ! R2

(x; y) 7! (x; maxfx; yg)

v.v.v. eloszlásfüggvényét! Abszolut folytonos-e P(X;Y ) a kétdimenziós Lebesgue-mértékre vonatkozóan? 2. Legyen X egyenletes eloszlású v.v. a [0; 1] intervallumban, és Y = X 2 . Adjuk meg az Y

aX + b

lineáris regressziós közelítést! 3. Legyen

= [0; 1],

= m:

Keressünk f0 (x) = a0 f1 (x) = b0 + b1 x f2 (x) = c0 + c1 x + c2 x2 alakban páronként "mer½oleges" polinomokat! Ellen½orízzük, hogy a f0 (x) = 1 f2n+1 (x) =

1 sin (2 nx) 2

f2n (x) =

1 cos (2 nx) 2

n = 1; 2;

függvények ortonormált rendszert alkotnak! 4. Legyen ( ; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, A; B 2 A és 0 < P (B) < 1. Milyen függvények alkotják az 1B (A1B ) mérhet½o négyzetesen integrálható függvények alterét? Keressük meg 1A mer½oleges vetületét ebben az altérben! 5. Legyen ( ; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, A 2 A és Y = értékkészlet½u mérhet½o függvény.

P

k

yk 1fY =yk g egy megszámlálható

Milyen függvények alkotják az Y (AY ) mérhet½o négyzetesen integrálható függvények alterét? Keressük meg 1A mer½oleges vetületét ebben az altérben! 6. Legyen ( ; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, X 2 L2n , alteret alkotnak-e a + an X n

pn (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 +

ai 2 R i = 0; 1; 2;

;n

(az X v.v. legfeljebb n-edfokú polinomfüggvényei) az L2 ( ; AX ; P ) térben? (4p) Ha igen, zárt-e ez az altér n = 1 esetén? 7. Legyen ( ; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, X = értékkészlet½u mérhet½o függvények.

P

l

xl 1fX=xl g és Y =

P

k

yk 1fY =yk g megszámlálható

Milyen függvények alkotják az Y (AY ) mérhet½o négyzetesen integrálható függvények alterét? Keressük meg X mer½oleges vetületét ebben az altérben! 8. Dobjunk kétszer egy kockát, és jelölje X az els½o eredményt, Y pedig a két eredmény minimumát. Keressük azt a H függvényt, amivel D (X H(Y ))2 minimális! 12

11-12. hét 1. Legyen a (X; Y ) v.v.v. diszkrét eloszlása: Y

X

1 2 3 0:01 0:25 0:04 0:12 0:08 0:50

10 20

Adjuk meg az E(Y j X) feltételes várható értéket! Mennyi a maradék szórásnégyzet? 2. Kockát dobunk kétszer. Jelölje a két eredmény minimumát X; maximumát Y . Adjuk meg az E(Y jX) feltételes várható értéket! 3. Legyen a (X; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvénye: (a) f (x; y) = (b) f (x; y) = (c)

(

(

2y x2

c

c

ha 0 < y < x < 1

0

egyébként

y x2

ha 1 < x 0 < y < 1

0

egyébként

f (x; y) =

(

c(x + y) ha 0 < x < 1 0 < y < 1

f (x; y) =

(

2 e

(d)

egyébként

0 y x

ha 0 < y

és 0 < x < 1

egyébként

0

:

Adja meg az E(Y jX) feltételes várható értéket, és a közelítés maradék szórását! 8 1 > n < 0 1 ha x x+ n 1 4. Legyen Fn (x) = < x n1 n = 1; 2; ha 2 n > n : 1 ha 1 < x (a) Adjuk meg a (m.m) limn!1 Fn

(b) Adjuk meg a (w) limn!1 Fn 5. Az (X; Y ) :

határértéket ha létezik!

határértéket ha létezik!

! R2 v.v.v. s½ur½uségfüggvénye: f (x; y) = c 3x3 e

xy

0

x

1 0 < y.

(a) Adjuk meg X és Y eloszlását, várható értékét és szórását! (b) Számítsuk ki az E(XY ) várható értéket! (c) Függetlenek-e X és Y ? (d) Adjuk meg az E(Y jX = ) feltételes várható értéket, és a maradék szórásnégyzetet! 6. Tudjuk, hogy a fér…ak magassága N (180; 10), a n½ok magassága pedig N (172; 10) eloszlású véletlen mennyiség. Ha egy 60 fér…ból és 40 n½ob½ol álló társaságból találomra választott személy 175cm magas, mennyi annak valószín½usége, hogy n½ot, illetve fér…t választottunk? Adjunk döntési szabályt a magasság alapján egy találomra választott személy nemére! 7. Hagyományos izzólámpából és energiatakarékos kompakt ég½ob½ol 60 illetve 40 darab van egy raktárban. Mindkét típus élettartama exponenciális eloszlású 1000 illetve 8000 óra várható élettartammal. Ha találomra választunk egy ég½ot a raktárból, 13

(a) mennyi lesz az élettartam várható értéke és szórása? (b) Ha a választott ég½o 5000 óra után ég ki, melyik típust választottuk a legnagyobb valószín½uséggel? (+3p) Legyenek a

1; 2; : : : ; n

2 U(0; d) valószín½uségi változók függetlenek, és jelölje a legnagyobbat n

Adjuk meg az E( k j n ) k = 1; 2; : : : ; n (+) Legyenek

i

i = 1; 2;

= max ( 1 ;

2; : : : ; n)

.

feltételes várható értéket!

; r független Poisson eloszlású v.v.-k

i

; r paraméterrel, adjuk meg

i = 1; 2;

(+2p) a P

1

= k1 ;

2

= k2 ;

;

r

= kr j

feltételes eloszlást! (+2p) az E feltételes várható értéket!

k

j

r X i=1

i

=n

!

14

E

k

l

r X

i

=n

i=1

j

r X i=1

i

!

=n

!

13. hét 1. Legyen az X v.v. N (0; 1) eloszlású, Y pedig exponenciális eloszlású 10 várható értékkel két független v.v.! Adjuk meg a Z = Y 2 + X v.v. lineáris regressziós közelítését az Y v.v.-val! Mennyi a közelítés hibája, hasonlítsuk azt össze a Z E(ZjY ) közelítés maradék szórásával! 2. Egy

véletlen mennyiség feltételes s½ur½uségfüggvénye az A1 esemény bekövetkezése esetén f1 (x) =

A2 = Ac1 esetén pedig

1 ha 0 < x < 1 ; 0 egyébként 3x2 ha 0 < x < 1 : 0 egyébként

f2 (x) = Ha P (A) = 41 ; adjuk meg (a)

s½ur½uségfüggvényét, várható értékét, szórását;

(b) E( j A) és E( j A) értékét;

(c) a P (A j ) és P (A j ) feltételes valószín½uségeket;

(+3p) a döntési szabályt a véletlen mennyiség meg…gyelt értékéb½ol az A illetve Ac események bekövetkezésére. Mennyi a döntési hiba valószín½usége? 3. Kétféle izzólámpából 60 illetve 40 van egy raktárban. Mindkét típus élettartama exponenciális eloszlású, várható élettartamuk pedig (ebben a sorrenben)120 ill. 200 óra. Véletlenszer½uen választunk egy izzót a raktárból, adjuk meg a m½uködési id½o eloszlását! Ha a választott izzó 210 óráig m½uködik, mennyi annak valószín½usége, hogy az egyik ill. másik csoportból való? (+3p) Adjuk meg a Bayes döntést, és a döntés hibavalószín½uségét! (+1p) Mennyi a választott izzó élettartamának várható értéke és szórása? 4. Legyen a Z = (X; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvénye f (x; y) = c(x + y) x; y 2 [0; 1]. Adjuk meg Z kovariancia mátrixtát és várható értékét. 5. Legyenek X és Y független v.v.-k binomiális, n = 100 p = 0:1 paraméterekkel, és 4 várható érték½u Poisson eloszlásúak! Legyenek továbbá Z1 = X 2Y 8 Z2 = X + Y + 6 U = X Y + és adjuk meg Z = (Z1 ; Z2 ) kovariancia mátrixát és várható érték vektorát, továbbá a Z és U kovariancia mátrixát! 6. A ( 1 ;

2; 3)

v.v.v. kovariancia mátrixa és várható érték vektora: 2

(a) Határozza meg a

a

3

3 3 1 6 1 5; 1 1

6 4 3 V = 1

1

+b

2

2

3 1 m = 4 2 5: 3

+ c regressziós közelítés paramétereit, és maradék szórását!

(b) Határozza meg a 1 a 2 + b 3 + c regressziós közelítés paramétereit, és maradék szórását, és a többszörös korrelációs együtthatót! (c) Határozza meg a

1 2

a b

3+

c d

regressziós közelítés paramétereit, és maradék szórását! 15

(d) Határozza meg a (e) Határozza meg a

1; 2j 3 1; 3j 2

parciális korrelációs együtthatót! parciális korrelációs együtthatót!

7. A X = (X1 ; X2 ) v.v.v. kovariancia mátrixa: cov(X; X) =

34 12 12 41

E(X) =

10 20

(a) Adjuk meg a f½ofaktor és f½okomponens súlyokat! (b) Határozza meg az (2; 1) meg…gyelt értékhez tartozó f½okomponens és f½ofaktor értékeket! 8. Keressük meg a ( 1; 2) (0; 1) (1; 2) (2; 4) 2 R2 pontokhoz azt az egyenest, melyt½ol való távolságok négyzetösszege minimális! Hasonlítsuk össze a közelítés hibáját az y = ax + b regressziós egyenes hibájával!

16

14. hét Ismétl½o feladatok 1. Egy betör½o magasságát három szemtanú egymástól és a rabló magasságától is független azonos eloszású véletlen Z1 ; Z2 ; Z3 hibával adta meg, vagyis ha az Y véletlen mennyiség a meg…gyelt betör½o magassága, a szemtanúk által közölt értékek: X1 = Y + Z1

X2 = Y + Z2

X3 = Y + Z3 :

Tudjuk továbbá, hogy E(Y ) = 180 D(Y ) = 10 E(Xk ) = 0 D(Zk ) = 2 k = 1; 2; 3 Adjuk meg az X = (X1 ; X2 ; X3 ) v.v.v. várható érték vektorát és kovariancia mátrixát, és az Y

aX1 + bX2 + cX3 + d

regressziós közelítést! 2. Legyen az X : esetén

! R v.v. feltételes s½ur½uségfüggvénye a 0:25 valószín½uség½u A esemény bekövetkezése fA (x) = 2x 0 < x < 1

és Ac esetén fAc (x) = 3x2

0<x<1:

(a) Adjuk meg X várható értékét és szórását! (b) Milyen valószín½uséggel következik be az A esemény, ha X értéke 0.1? (c) Milyen x 2 [0; 1] esetén teljesül P (A j X = x) > P (Ac j X = x) ? 3. Legyen az X : ! Rp v.v.v. feltételes eloszlása egy p valószín½uség½u A esemény bekövetkezése esetén N (m1 ; V ) és Ac esetém N (m1 ; V ). Adjuk meg, hogy mely x 2 Rp esetén teljesül: P (A j X = x) > P (Ac j X = x) . 4. A 32 lapos magyar kártya csomagból három lapot választunk visszatevéssel. Jelölje: X1 X2 X3 X3

a a a a

piros lapok száma a három között zöld lapok száma a három között makk lapok száma a három között tök lapok száma a három között

Adjuk meg X = (X1 ; X2 ; X3 ; X4 ) eloszlását, várható érték vektorát és kovariancia mátrixát! 5. Egy r számú kimenetellel rendelkez½o véletlen kísérletben az egyes kimenetelek valószín½uségei: p 1 ; p2 ;

; pr 2 [0; 1]

r X

pi = 1 :

i=1

A kísérletet n-szer függetlenül ismételve, jelölje Xk

a k-adik kimenetel bekövetkezéseinek számát k = 1; 2;

Adjuk meg X = (X1 ; X2 ;

;r

; Xr ) eloszlását, várható érték vektorát és kovariancia mátrixát! 17

6. Az X = (X1 ; X2 ) v.v.v. s½ur½uségfüggvénye: f (x; y) = c ha 0 < x < y < 1 (a) Adjuk meg X várható érték vektorát és kovariancia mátrixát! (b) Adjuk meg az X1

aX2 + b regressziós közelítést!

(c) A f½okomponensek egyeneseit! 02 3 2 1 4 @ 4 5 4 2 ; 1 7. Legyen (X1 ; X2 ; X3 ) 2 N 3 2

1 4 2

31 2 2 5A ; 3

(a) adjuk meg az E(X2 j X1 ; X3 ) feltételes várható értéket!

(b) Adjuk meg az X1

aX3 + b regressziós közelítést, ha X2 = 2 !

(c) Mennyi annak valószín½usége, hogy X2 értéke legalább 3, ha X1 = X2 = 2 ? (3p) Oldjuk meg az 1. feladatot n számú szemtanú esetén, és Y 2 N (m; ) Xk 2 N (0; ) feltételezésével! Mi lesz az E(Y j X1 ; X2 ; ; Xn ) feltételes várható érték?

18

k = 1; 2;

;n